HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  fh2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fh2 29171
Description: Foulis-Holland Theorem. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Second of two parts. Theorem 5 of [Kalmbach] p. 25. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
fh2 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))

Proof of Theorem fh2
StepHypRef Expression
1 chincl 29051 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴𝐵) ∈ C )
2 chincl 29051 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐶C ) → (𝐴𝐶) ∈ C )
3 chjcl 28909 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ C ∧ (𝐴𝐶) ∈ C ) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C )
41, 2, 3syl2an 586 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C )
54anandis 665 . . . . . 6 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C )
6 chjcl 28909 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
7 chincl 29051 . . . . . . . 8 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
86, 7sylan2 583 . . . . . . 7 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
9 chsh 28774 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S )
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S )
115, 10jca 504 . . . . 5 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ))
12113impb 1095 . . . 4 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ))
1312adantr 473 . . 3 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ))
14 ledi 29092 . . . 4 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
1514adantr 473 . . 3 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
16 chdmj1 29081 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∈ C ∧ (𝐴𝐶) ∈ C ) → (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶))) = ((⊥‘(𝐴𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
171, 2, 16syl2an 586 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶))) = ((⊥‘(𝐴𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
18 chdmm1 29077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘(𝐴𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)))
1918adantr 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → (⊥‘(𝐴𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)))
2019ineq1d 4069 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → ((⊥‘(𝐴𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
2117, 20eqtrd 2808 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
22213impdi 1330 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
2322ineq2d 4070 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
2423adantr 473 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
25 in4 4083 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
26 cmcm2 29168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 (⊥‘𝐵)))
27 cmcm 29166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐶 𝐵𝐵 𝐶 𝐴))
28 choccl 28858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
29 cmbr3 29160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → (𝐴 𝐶 (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3028, 29sylan2 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐶 (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3126, 27, 303bitr3d 301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐵 𝐶 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3231biimpa 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝐵 𝐶 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
33 incom 4060 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴)
3432, 33syl6eq 2824 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝐵 𝐶 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
35343adantl3 1148 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 𝐶 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
3635adantrr 704 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
3736ineq1d 4069 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
3825, 37syl5eq 2820 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
3924, 38eqtrd 2808 . . . . 5 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
40 in4 4083 . . . . 5 (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
4139, 40syl6eq 2824 . . . 4 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
42 ococ 28958 . . . . . . . . . . 11 (𝐵C → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
4342oveq1d 6985 . . . . . . . . . 10 (𝐵C → ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶) = (𝐵 𝐶))
4443ineq2d 4070 . . . . . . . . 9 (𝐵C → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)))
45443ad2ant2 1114 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)))
4645adantr 473 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)))
47 cmcm3 29167 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶 𝐶 ↔ (⊥‘𝐵) 𝐶 𝐶))
48 cmbr3 29160 . . . . . . . . . . . 12 (((⊥‘𝐵) ∈ C𝐶C ) → ((⊥‘𝐵) 𝐶 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
4928, 48sylan 572 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝐶C ) → ((⊥‘𝐵) 𝐶 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
5047, 49bitrd 271 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
5150biimpa 469 . . . . . . . . 9 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 𝐶 𝐶) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
52513adantl1 1146 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 𝐶 𝐶) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
5352adantrl 703 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
5446, 53eqtr3d 2810 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
5554ineq1d 4069 . . . . 5 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
56 inass 4077 . . . . . . . . 9 (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
57 in12 4078 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
58 inass 4077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
5957, 58eqtr4i 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = ((𝐴𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))
60 chocin 29047 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐶) ∈ C → ((𝐴𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))) = 0)
612, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝐶C ) → ((𝐴𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))) = 0)
6259, 61syl5eq 2820 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C𝐶C ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = 0)
6362ineq2d 4070 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐶C ) → ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0))
6456, 63syl5eq 2820 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐶C ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0))
65643adant2 1111 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0))
66 chm0 29043 . . . . . . . . 9 ((⊥‘𝐵) ∈ C → ((⊥‘𝐵) ∩ 0) = 0)
6728, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵C → ((⊥‘𝐵) ∩ 0) = 0)
68673ad2ant2 1114 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((⊥‘𝐵) ∩ 0) = 0)
6965, 68eqtrd 2808 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = 0)
7069adantr 473 . . . . 5 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = 0)
7155, 70eqtrd 2808 . . . 4 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = 0)
7241, 71eqtrd 2808 . . 3 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = 0)
73 pjoml 28988 . . 3 (((((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ) ∧ (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = 0)) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
7413, 15, 72, 73syl12anc 824 . 2 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
7574eqcomd 2778 1 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  cin 3822  wss 3823   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970   S csh 28478   C cch 28479  cort 28480   chj 28483  0c0h 28485   𝐶 ccm 28486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cc 9649  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407  ax-addf 10408  ax-mulf 10409  ax-hilex 28549  ax-hfvadd 28550  ax-hvcom 28551  ax-hvass 28552  ax-hv0cl 28553  ax-hvaddid 28554  ax-hfvmul 28555  ax-hvmulid 28556  ax-hvmulass 28557  ax-hvdistr1 28558  ax-hvdistr2 28559  ax-hvmul0 28560  ax-hfi 28629  ax-his1 28632  ax-his2 28633  ax-his3 28634  ax-his4 28635  ax-hcompl 28752
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-supp 7628  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-2o 7900  df-oadd 7903  df-omul 7904  df-er 8083  df-map 8202  df-pm 8203  df-ixp 8254  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-fsupp 8623  df-fi 8664  df-sup 8695  df-inf 8696  df-oi 8763  df-card 9156  df-acn 9159  df-cda 9382  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-z 11788  df-dec 11906  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-xneg 12318  df-xadd 12319  df-xmul 12320  df-ioo 12552  df-ico 12554  df-icc 12555  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-fl 12971  df-seq 13179  df-exp 13239  df-hash 13500  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-clim 14700  df-rlim 14701  df-sum 14898  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-hom 16439  df-cco 16440  df-rest 16546  df-topn 16547  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-topgen 16567  df-pt 16568  df-prds 16571  df-xrs 16625  df-qtop 16630  df-imas 16631  df-xps 16633  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-submnd 17798  df-mulg 18006  df-cntz 18212  df-cmn 18662  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-fbas 20238  df-fg 20239  df-cnfld 20242  df-top 21200  df-topon 21217  df-topsp 21239  df-bases 21252  df-cld 21325  df-ntr 21326  df-cls 21327  df-nei 21404  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-lm 21535  df-haus 21621  df-tx 21868  df-hmeo 22061  df-fil 22152  df-fm 22244  df-flim 22245  df-flf 22246  df-xms 22627  df-ms 22628  df-tms 22629  df-cfil 23555  df-cau 23556  df-cmet 23557  df-grpo 28041  df-gid 28042  df-ginv 28043  df-gdiv 28044  df-ablo 28093  df-vc 28107  df-nv 28140  df-va 28143  df-ba 28144  df-sm 28145  df-0v 28146  df-vs 28147  df-nmcv 28148  df-ims 28149  df-dip 28249  df-ssp 28270  df-ph 28361  df-cbn 28412  df-hnorm 28518  df-hba 28519  df-hvsub 28521  df-hlim 28522  df-hcau 28523  df-sh 28757  df-ch 28771  df-oc 28802  df-ch0 28803  df-shs 28860  df-chj 28862  df-cm 29135
This theorem is referenced by:  fh2i  29174  atordi  29936  chirredlem2  29943
  Copyright terms: Public domain W3C validator