Theorem fh2 31690

Description: Foulis-Holland Theorem. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Second of two parts. Theorem 5 of [Kalmbach] p. 25. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
fh2	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))

Proof of Theorem fh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chincl 31570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
2		chincl 31570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
3		chjcl 31428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ )
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ )
5	4	anandis 679	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ )
6		chjcl 31428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
7		chincl 31570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
8	6, 7	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
9		chsh 31295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ )
11	5, 10	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ))
12	11	3impb 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ))
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ))
14		ledi 31611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
16		chdmj1 31600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
17	1, 2, 16	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
18		chdmm1 31596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)))
20	19	ineq1d 4159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
21	17, 20	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
22	21	3impdi 1352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
23	22	ineq2d 4160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
25		in4 4174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
26		cmcm2 31687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐵)))
27		cmcm 31685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ 𝐵 𝐶ℋ 𝐴))
28		choccl 31377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
29		cmbr3 31679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
30	28, 29	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
31	26, 27, 30	3bitr3d 309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
32	31	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
33		incom 4149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴)
34	32, 33	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
35	34	3adantl3 1170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
36	35	adantrr 718	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
37	36	ineq1d 4159	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
38	25, 37	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
39	24, 38	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
40		in4 4174	. . . . 5 ⊢ (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
41	39, 40	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
42		ococ 31477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
43	42	oveq1d 7382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
44	43	ineq2d 4160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
45	44	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
47		cmcm3 31686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝐶ℋ 𝐶 ↔ (⊥‘𝐵) 𝐶ℋ 𝐶))
48		cmbr3 31679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) 𝐶ℋ 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
49	28, 48	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) 𝐶ℋ 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
50	47, 49	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝐶ℋ 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
51	50	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
52	51	3adantl1 1168	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
53	52	adantrl 717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
54	46, 53	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
55	54	ineq1d 4159	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
56		inass 4168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
57		in12 4169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
58		inass 4168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
59	57, 58	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))
60		chocin 31566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = 0ℋ)
61	2, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = 0ℋ)
62	59, 61	eqtrid 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)
63	62	ineq2d 4160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ))
64	56, 63	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ))
65	64	3adant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ))
66		chm0 31562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ) = 0ℋ)
67	28, 66	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ) = 0ℋ)
68	67	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ) = 0ℋ)
69	65, 68	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)
70	69	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)
71	55, 70	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)
72	41, 71	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)
73		pjoml 31507	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ) ∧ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
74	13, 15, 72, 73	syl12anc 837	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
75	74	eqcomd 2742	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   S_ℋ csh 30999   C_ℋ cch 31000  ⊥cort 31001   ∨_ℋ chj 31004  0_ℋc0h 31006   𝐶_ℋ ccm 31007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156  ax-hcompl 31273

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-lm 23194  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cfil 25222  df-cau 25223  df-cmet 25224  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-gdiv 30567  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-vs 30670  df-nmcv 30671  df-ims 30672  df-dip 30772  df-ssp 30793  df-ph 30884  df-cbn 30934  df-hnorm 31039  df-hba 31040  df-hvsub 31042  df-hlim 31043  df-hcau 31044  df-sh 31278  df-ch 31292  df-oc 31323  df-ch0 31324  df-shs 31379  df-chj 31381  df-cm 31654

This theorem is referenced by:  fh2i  31693  atordi  32455  chirredlem2  32462