HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  fh2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fh2 31423
Description: Foulis-Holland Theorem. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Second of two parts. Theorem 5 of [Kalmbach] p. 25. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
fh2 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))

Proof of Theorem fh2
StepHypRef Expression
1 chincl 31303 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴𝐵) ∈ C )
2 chincl 31303 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐶C ) → (𝐴𝐶) ∈ C )
3 chjcl 31161 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ C ∧ (𝐴𝐶) ∈ C ) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C )
41, 2, 3syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C )
54anandis 677 . . . . . 6 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C )
6 chjcl 31161 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
7 chincl 31303 . . . . . . . 8 ((𝐴C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
86, 7sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C )
9 chsh 31028 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ C → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S )
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S )
115, 10jca 511 . . . . 5 ((𝐴C ∧ (𝐵C𝐶C )) → (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ))
12113impb 1113 . . . 4 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ))
1312adantr 480 . . 3 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ))
14 ledi 31344 . . . 4 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
1514adantr 480 . . 3 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
16 chdmj1 31333 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵) ∈ C ∧ (𝐴𝐶) ∈ C ) → (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶))) = ((⊥‘(𝐴𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
171, 2, 16syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶))) = ((⊥‘(𝐴𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
18 chdmm1 31329 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝐵C ) → (⊥‘(𝐴𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → (⊥‘(𝐴𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)))
2019ineq1d 4208 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → ((⊥‘(𝐴𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
2117, 20eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C ) ∧ (𝐴C𝐶C )) → (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
22213impdi 1348 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
2322ineq2d 4209 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
2423adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
25 in4 4222 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
26 cmcm2 31420 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐶 𝐵𝐴 𝐶 (⊥‘𝐵)))
27 cmcm 31418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐶 𝐵𝐵 𝐶 𝐴))
28 choccl 31110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
29 cmbr3 31412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → (𝐴 𝐶 (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3028, 29sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝐶 (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3126, 27, 303bitr3d 309 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐵 𝐶 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
3231biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝐵 𝐶 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
33 incom 4198 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴)
3432, 33eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 (((𝐴C𝐵C ) ∧ 𝐵 𝐶 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
35343adantl3 1166 . . . . . . . . 9 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 𝐶 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
3635adantrr 716 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
3736ineq1d 4208 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵))) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
3825, 37eqtrid 2780 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
3924, 38eqtrd 2768 . . . . 5 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
40 in4 4222 . . . . 5 (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
4139, 40eqtrdi 2784 . . . 4 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
42 ococ 31210 . . . . . . . . . . 11 (𝐵C → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
4342oveq1d 7430 . . . . . . . . . 10 (𝐵C → ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶) = (𝐵 𝐶))
4443ineq2d 4209 . . . . . . . . 9 (𝐵C → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)))
45443ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)))
4645adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)))
47 cmcm3 31419 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶 𝐶 ↔ (⊥‘𝐵) 𝐶 𝐶))
48 cmbr3 31412 . . . . . . . . . . . 12 (((⊥‘𝐵) ∈ C𝐶C ) → ((⊥‘𝐵) 𝐶 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
4928, 48sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵C𝐶C ) → ((⊥‘𝐵) 𝐶 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
5047, 49bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
5150biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 𝐶 𝐶) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
52513adantl1 1164 . . . . . . . 8 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ 𝐵 𝐶 𝐶) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
5352adantrl 715 . . . . . . 7 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
5446, 53eqtr3d 2770 . . . . . 6 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
5554ineq1d 4208 . . . . 5 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
56 inass 4216 . . . . . . . . 9 (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))))
57 in12 4217 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
58 inass 4216 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))
5957, 58eqtr4i 2759 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = ((𝐴𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))
60 chocin 31299 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐶) ∈ C → ((𝐴𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))) = 0)
612, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴C𝐶C ) → ((𝐴𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))) = 0)
6259, 61eqtrid 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝐴C𝐶C ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = 0)
6362ineq2d 4209 . . . . . . . . 9 ((𝐴C𝐶C ) → ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶))))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0))
6456, 63eqtrid 2780 . . . . . . . 8 ((𝐴C𝐶C ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0))
65643adant2 1129 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0))
66 chm0 31295 . . . . . . . . 9 ((⊥‘𝐵) ∈ C → ((⊥‘𝐵) ∩ 0) = 0)
6728, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵C → ((⊥‘𝐵) ∩ 0) = 0)
68673ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → ((⊥‘𝐵) ∩ 0) = 0)
6965, 68eqtrd 2768 . . . . . 6 ((𝐴C𝐵C𝐶C ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = 0)
7069adantr 480 . . . . 5 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = 0)
7155, 70eqtrd 2768 . . . 4 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴𝐶)))) = 0)
7241, 71eqtrd 2768 . . 3 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = 0)
73 pjoml 31240 . . 3 (((((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ∈ C ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∈ S ) ∧ (((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))) = 0)) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
7413, 15, 72, 73syl12anc 836 . 2 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)))
7574eqcomd 2734 1 (((𝐴C𝐵C𝐶C ) ∧ (𝐵 𝐶 𝐴𝐵 𝐶 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 𝐶)) = ((𝐴𝐵) ∨ (𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3944  wss 3945   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7415   S csh 30732   C cch 30733  cort 30734   chj 30737  0c0h 30739   𝐶 ccm 30740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213  ax-hilex 30803  ax-hfvadd 30804  ax-hvcom 30805  ax-hvass 30806  ax-hv0cl 30807  ax-hvaddid 30808  ax-hfvmul 30809  ax-hvmulid 30810  ax-hvmulass 30811  ax-hvdistr1 30812  ax-hvdistr2 30813  ax-hvmul0 30814  ax-hfi 30883  ax-his1 30886  ax-his2 30887  ax-his3 30888  ax-his4 30889  ax-hcompl 31006
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19018  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-lm 23127  df-haus 23213  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-cfil 25177  df-cau 25178  df-cmet 25179  df-grpo 30297  df-gid 30298  df-ginv 30299  df-gdiv 30300  df-ablo 30349  df-vc 30363  df-nv 30396  df-va 30399  df-ba 30400  df-sm 30401  df-0v 30402  df-vs 30403  df-nmcv 30404  df-ims 30405  df-dip 30505  df-ssp 30526  df-ph 30617  df-cbn 30667  df-hnorm 30772  df-hba 30773  df-hvsub 30775  df-hlim 30776  df-hcau 30777  df-sh 31011  df-ch 31025  df-oc 31056  df-ch0 31057  df-shs 31112  df-chj 31114  df-cm 31387
This theorem is referenced by:  fh2i  31426  atordi  32188  chirredlem2  32195
  Copyright terms: Public domain W3C validator