Theorem fh2 29171

Description: Foulis-Holland Theorem. If any 2 pairs in a triple of orthomodular lattice elements commute, the triple is distributive. Second of two parts. Theorem 5 of [Kalmbach] p. 25. (Contributed by NM, 14-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
fh2	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))

Proof of Theorem fh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chincl 29051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ )
2		chincl 29051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ )
3		chjcl 28909	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ )
4	1, 2, 3	syl2an 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ )
5	4	anandis 665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ )
6		chjcl 28909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ )
7		chincl 29051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
8	6, 7	sylan2 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ )
9		chsh 28774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Cℋ → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ )
11	5, 10	jca 504	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ))
12	11	3impb 1095	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ))
13	12	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ))
14		ledi 29092	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
15	14	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
16		chdmj1 29081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ ) → (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
17	1, 2, 16	syl2an 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = ((⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
18		chdmm1 29077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)))
19	18	adantr 473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)))
20	19	ineq1d 4069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → ((⊥‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
21	17, 20	eqtrd 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ )) → (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
22	21	3impdi 1330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶))) = (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
23	22	ineq2d 4070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
24	23	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
25		in4 4083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
26		cmcm2 29168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ 𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐵)))
27		cmcm 29166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝐵 ↔ 𝐵 𝐶ℋ 𝐴))
28		choccl 28858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
29		cmbr3 29160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
30	28, 29	sylan2 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ (⊥‘𝐵) ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
31	26, 27, 30	3bitr3d 301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵))))
32	31	biimpa 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)))
33		incom 4060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐵)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴)
34	32, 33	syl6eq 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
35	34	3adantl3 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐴) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
36	35	adantrr 704	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴))
37	36	ineq1d 4069	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ ((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
38	25, 37	syl5eq 2820	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (((⊥‘𝐴) ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
39	24, 38	eqtrd 2808	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
40		in4 4083	. . . . 5 ⊢ (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐴) ∩ ((𝐵 ∨ℋ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
41	39, 40	syl6eq 2824	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
42		ococ 28958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
43	42	oveq1d 6985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶) = (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
44	43	ineq2d 4070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
45	44	3ad2ant2 1114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
46	45	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
47		cmcm3 29167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝐶ℋ 𝐶 ↔ (⊥‘𝐵) 𝐶ℋ 𝐶))
48		cmbr3 29160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) 𝐶ℋ 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
49	28, 48	sylan 572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) 𝐶ℋ 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
50	47, 49	bitrd 271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐵 𝐶ℋ 𝐶 ↔ ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶)))
51	50	biimpa 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
52	51	3adantl1 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
53	52	adantrl 703	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ ((⊥‘(⊥‘𝐵)) ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
54	46, 53	eqtr3d 2810	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶))
55	54	ineq1d 4069	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
56		inass 4077	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))))
57		in12 4078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
58		inass 4077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = (𝐴 ∩ (𝐶 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))
59	57, 58	eqtr4i 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))
60		chocin 29047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐶) ∈ Cℋ → ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = 0ℋ)
61	2, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))) = 0ℋ)
62	59, 61	syl5eq 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)
63	62	ineq2d 4070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) ∩ (𝐶 ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶))))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ))
64	56, 63	syl5eq 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ))
65	64	3adant2 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ))
66		chm0 29043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ → ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ) = 0ℋ)
67	28, 66	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ) = 0ℋ)
68	67	3ad2ant2 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → ((⊥‘𝐵) ∩ 0ℋ) = 0ℋ)
69	65, 68	eqtrd 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)
70	69	adantr 473	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)
71	55, 70	eqtrd 2808	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (((⊥‘𝐵) ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (𝐴 ∩ (⊥‘(𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)
72	41, 71	eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)
73		pjoml 28988	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∈ Cℋ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∈ Sℋ ) ∧ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) ∩ (⊥‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))) = 0ℋ)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
74	13, 15, 72, 73	syl12anc 824	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)) = (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)))
75	74	eqcomd 2778	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 𝐶ℋ 𝐴 ∧ 𝐵 𝐶ℋ 𝐶)) → (𝐴 ∩ (𝐵 ∨ℋ 𝐶)) = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ∩ cin 3822   ⊆ wss 3823   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970   S_ℋ csh 28478   C_ℋ cch 28479  ⊥cort 28480   ∨_ℋ chj 28483  0_ℋc0h 28485   𝐶_ℋ ccm 28486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cc 9649  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407  ax-addf 10408  ax-mulf 10409  ax-hilex 28549  ax-hfvadd 28550  ax-hvcom 28551  ax-hvass 28552  ax-hv0cl 28553  ax-hvaddid 28554  ax-hfvmul 28555  ax-hvmulid 28556  ax-hvmulass 28557  ax-hvdistr1 28558  ax-hvdistr2 28559  ax-hvmul0 28560  ax-hfi 28629  ax-his1 28632  ax-his2 28633  ax-his3 28634  ax-his4 28635  ax-hcompl 28752

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-supp 7628  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-2o 7900  df-oadd 7903  df-omul 7904  df-er 8083  df-map 8202  df-pm 8203  df-ixp 8254  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-fsupp 8623  df-fi 8664  df-sup 8695  df-inf 8696  df-oi 8763  df-card 9156  df-acn 9159  df-cda 9382  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-z 11788  df-dec 11906  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-xneg 12318  df-xadd 12319  df-xmul 12320  df-ioo 12552  df-ico 12554  df-icc 12555  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-fl 12971  df-seq 13179  df-exp 13239  df-hash 13500  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-clim 14700  df-rlim 14701  df-sum 14898  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-hom 16439  df-cco 16440  df-rest 16546  df-topn 16547  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-topgen 16567  df-pt 16568  df-prds 16571  df-xrs 16625  df-qtop 16630  df-imas 16631  df-xps 16633  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-submnd 17798  df-mulg 18006  df-cntz 18212  df-cmn 18662  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-fbas 20238  df-fg 20239  df-cnfld 20242  df-top 21200  df-topon 21217  df-topsp 21239  df-bases 21252  df-cld 21325  df-ntr 21326  df-cls 21327  df-nei 21404  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-lm 21535  df-haus 21621  df-tx 21868  df-hmeo 22061  df-fil 22152  df-fm 22244  df-flim 22245  df-flf 22246  df-xms 22627  df-ms 22628  df-tms 22629  df-cfil 23555  df-cau 23556  df-cmet 23557  df-grpo 28041  df-gid 28042  df-ginv 28043  df-gdiv 28044  df-ablo 28093  df-vc 28107  df-nv 28140  df-va 28143  df-ba 28144  df-sm 28145  df-0v 28146  df-vs 28147  df-nmcv 28148  df-ims 28149  df-dip 28249  df-ssp 28270  df-ph 28361  df-cbn 28412  df-hnorm 28518  df-hba 28519  df-hvsub 28521  df-hlim 28522  df-hcau 28523  df-sh 28757  df-ch 28771  df-oc 28802  df-ch0 28803  df-shs 28860  df-chj 28862  df-cm 29135

This theorem is referenced by:  fh2i  29174  atordi  29936  chirredlem2  29943