Theorem pjpjpre 30672

Description: Decomposition of a vector into projections. This formulation of axpjpj 30673 avoids pjhth 30646. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjpjpre.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cℋ )
pjpjpre.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
pjpjpre	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

Proof of Theorem pjpjpre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjpjpre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))
2		pjpjpre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cℋ )
3		chsh 30477	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
5		shocsh 30537	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
7		shsel 30567	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
8	4, 6, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
9	1, 8	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
10		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
11		simprll 778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ 𝐻)
12		simprlr 779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻))
13		rspe 3247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
14	12, 10, 13	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
15		pjpreeq 30651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
16	2, 1, 15	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
17	16	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
18	11, 14, 17	mpbir2and 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥)
19		shococss 30547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
20	4, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
21	20	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
22	21, 11	sseldd 3984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
23	2	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ∈ Cℋ )
24	23, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ∈ Sℋ )
25		shel 30464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ ℋ)
26	24, 11, 25	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℋ)
27	24, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
28		shel 30464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
29	27, 12, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℋ)
30		ax-hvcom 30254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
31	26, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
32	10, 31	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
33		rspe 3247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
34	22, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
35		choccl 30559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ )
36	2, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ )
37		shocsh 30537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ )
38	6, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ )
39		shless 30612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) ∧ 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻))) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
40	4, 38, 6, 20, 39	syl31anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
41		shscom 30572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ ) → ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
42	6, 38, 41	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
43	40, 42	sseqtrrd 4024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))))
44	43, 1	sseldd 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))))
45		pjpreeq 30651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻)))) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
46	36, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
47	46	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
48	12, 34, 47	mpbir2and 712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦)
49	18, 48	oveq12d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
50	10, 49	eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
51	50	exp32 422	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))))
52	51	rexlimdvv 3211	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))))
53	9, 52	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ℋchba 30172   +_ℎ cva 30173   S_ℋ csh 30181   C_ℋ cch 30182  ⊥cort 30183   +_ℋ cph 30184  proj_ℎcpjh 30190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cau 24773  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-hnorm 30221  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-shs 30561  df-pjh 30648

This theorem is referenced by:  axpjpj  30673