Theorem pjpjpre 32021

Description: Decomposition of a vector into projections. This formulation of axpjpj 32022 avoids pjhth 31995. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjpjpre.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cℋ )
pjpjpre.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
pjpjpre	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

Proof of Theorem pjpjpre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjpjpre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))
2		pjpjpre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cℋ )
3		chsh 31826	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
5		shocsh 31886	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
7		shsel 31916	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
8	4, 6, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
9	1, 8	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
10		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
11		simprll 791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ 𝐻)
12		simprlr 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻))
13		rspe 3253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
14	12, 10, 13	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
15		pjpreeq 32000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
16	2, 1, 15	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
18	11, 14, 17	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥)
19		shococss 31896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
20	4, 19	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
21	20	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
22	21, 11	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
23	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ∈ Cℋ )
24	23, 3	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ∈ Sℋ )
25		shel 31813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ ℋ)
26	24, 11, 25	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℋ)
27	24, 5	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
28		shel 31813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
29	27, 12, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℋ)
30		ax-hvcom 31603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
31	26, 29, 30	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
32	10, 31	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
33		rspe 3253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
34	22, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
35		choccl 31908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ )
36	2, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ )
37		shocsh 31886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ )
38	6, 37	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ )
39		shless 31961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) ∧ 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻))) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
40	4, 38, 6, 20, 39	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
41		shscom 31921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ ) → ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
42	6, 38, 41	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
43	40, 42	sseqtrrd 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))))
44	43, 1	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))))
45		pjpreeq 32000	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻)))) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
46	36, 44, 45	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
47	46	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
48	12, 34, 47	mpbir2and 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦)
49	18, 48	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
50	10, 49	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
51	50	exp32 426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))))
52	51	rexlimdvv 3219	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))))
53	9, 52	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522   S_ℋ csh 31530   C_ℋ cch 31531  ⊥cort 31532   +_ℋ cph 31533  proj_ℎcpjh 31539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687  ax-hcompl 31804

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-lm 23547  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cau 25577  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-dip 31303  df-hnorm 31570  df-hvsub 31573  df-hlim 31574  df-hcau 31575  df-sh 31809  df-ch 31823  df-oc 31854  df-ch0 31855  df-shs 31910  df-pjh 31997

This theorem is used by:  axpjpj  32022