Theorem pjpjpre 31508

Description: Decomposition of a vector into projections. This formulation of axpjpj 31509 avoids pjhth 31482. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjpjpre.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cℋ )
pjpjpre.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
pjpjpre	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

Proof of Theorem pjpjpre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjpjpre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))
2		pjpjpre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cℋ )
3		chsh 31313	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
5		shocsh 31373	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
7		shsel 31403	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
8	4, 6, 7	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
9	1, 8	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
10		simprr 778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
11		simprll 784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ 𝐻)
12		simprlr 785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻))
13		rspe 3229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
14	12, 10, 13	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
15		pjpreeq 31487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
16	2, 1, 15	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
18	11, 14, 17	mpbir2and 719	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥)
19		shococss 31383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
20	4, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
22	21, 11	sseldd 3916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
23	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ∈ Cℋ )
24	23, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ∈ Sℋ )
25		shel 31300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ ℋ)
26	24, 11, 25	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℋ)
27	24, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
28		shel 31300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
29	27, 12, 28	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℋ)
30		ax-hvcom 31090	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
31	26, 29, 30	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
32	10, 31	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
33		rspe 3229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
34	22, 32, 33	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
35		choccl 31395	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ )
36	2, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ )
37		shocsh 31373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ )
38	6, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ )
39		shless 31448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) ∧ 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻))) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
40	4, 38, 6, 20, 39	syl31anc 1381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
41		shscom 31408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ ) → ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
42	6, 38, 41	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
43	40, 42	sseqtrrd 3952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))))
44	43, 1	sseldd 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))))
45		pjpreeq 31487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻)))) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
46	36, 44, 45	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
47	46	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
48	12, 34, 47	mpbir2and 719	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦)
49	18, 48	oveq12d 7374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
50	10, 49	eqtr4d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
51	50	exp32 421	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))))
52	51	rexlimdvv 3195	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))))
53	9, 52	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   S_ℋ csh 31017   C_ℋ cch 31018  ⊥cort 31019   +_ℋ cph 31020  proj_ℎcpjh 31026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174  ax-hcompl 31291

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-lm 23212  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cau 25241  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-dip 30790  df-hnorm 31057  df-hvsub 31060  df-hlim 31061  df-hcau 31062  df-sh 31296  df-ch 31310  df-oc 31341  df-ch0 31342  df-shs 31397  df-pjh 31484

This theorem is referenced by:  axpjpj  31509