HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjpjpre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjpjpre 30927
Description: Decomposition of a vector into projections. This formulation of axpjpj 30928 avoids pjhth 30901. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjpjpre.1 (𝜑𝐻C )
pjpjpre.2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)))
Assertion
Ref Expression
pjpjpre (𝜑𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

Proof of Theorem pjpjpre
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjpjpre.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)))
2 pjpjpre.1 . . . . 5 (𝜑𝐻C )
3 chsh 30732 . . . . 5 (𝐻C𝐻S )
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻S )
5 shocsh 30792 . . . . 5 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ S )
7 shsel 30822 . . . 4 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
84, 6, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
91, 8mpbid 231 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
10 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
11 simprll 777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝑥𝐻)
12 simprlr 778 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻))
13 rspe 3246 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
1412, 10, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
15 pjpreeq 30906 . . . . . . . . 9 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
162, 1, 15syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
1811, 14, 17mpbir2and 711 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → ((proj𝐻)‘𝐴) = 𝑥)
19 shococss 30802 . . . . . . . . . . 11 (𝐻S𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
204, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
2221, 11sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
232adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐻C )
2423, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐻S )
25 shel 30719 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻S𝑥𝐻) → 𝑥 ∈ ℋ)
2624, 11, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℋ)
2724, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → (⊥‘𝐻) ∈ S )
28 shel 30719 . . . . . . . . . . 11 (((⊥‘𝐻) ∈ S𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
2927, 12, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℋ)
30 ax-hvcom 30509 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
3126, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
3210, 31eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
33 rspe 3246 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
3422, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
35 choccl 30814 . . . . . . . . . 10 (𝐻C → (⊥‘𝐻) ∈ C )
362, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ C )
37 shocsh 30792 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊥‘𝐻) ∈ S → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ S )
386, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ S )
39 shless 30867 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐻S ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) ∧ 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻))) → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) + (⊥‘𝐻)))
404, 38, 6, 20, 39syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) + (⊥‘𝐻)))
41 shscom 30827 . . . . . . . . . . . 12 (((⊥‘𝐻) ∈ S ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ S ) → ((⊥‘𝐻) + (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) + (⊥‘𝐻)))
426, 38, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⊥‘𝐻) + (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) + (⊥‘𝐻)))
4340, 42sseqtrrd 4023 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘𝐻) + (⊥‘(⊥‘𝐻))))
4443, 1sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) + (⊥‘(⊥‘𝐻))))
45 pjpreeq 30906 . . . . . . . . 9 (((⊥‘𝐻) ∈ C𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) + (⊥‘(⊥‘𝐻)))) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
4636, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
4746adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
4812, 34, 47mpbir2and 711 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦)
4918, 48oveq12d 7429 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = (𝑥 + 𝑦))
5010, 49eqtr4d 2775 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
5150exp32 421 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 = (𝑥 + 𝑦) → 𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))))
5251rexlimdvv 3210 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) → 𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))))
539, 52mpd 15 1 (𝜑𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  wss 3948  cfv 6543  (class class class)co 7411  chba 30427   + cva 30428   S csh 30436   C cch 30437  cort 30438   + cph 30439  projcpjh 30445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30507  ax-hfvadd 30508  ax-hvcom 30509  ax-hvass 30510  ax-hv0cl 30511  ax-hvaddid 30512  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514  ax-hvmulass 30515  ax-hvdistr1 30516  ax-hvdistr2 30517  ax-hvmul0 30518  ax-hfi 30587  ax-his1 30590  ax-his2 30591  ax-his3 30592  ax-his4 30593  ax-hcompl 30710
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cau 24997  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-gdiv 30004  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-vs 30107  df-nmcv 30108  df-ims 30109  df-dip 30209  df-hnorm 30476  df-hvsub 30479  df-hlim 30480  df-hcau 30481  df-sh 30715  df-ch 30729  df-oc 30760  df-ch0 30761  df-shs 30816  df-pjh 30903
This theorem is referenced by:  axpjpj  30928
  Copyright terms: Public domain W3C validator