HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjpjpre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjpjpre 28967
Description: Decomposition of a vector into projections. This formulation of axpjpj 28968 avoids pjhth 28941. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjpjpre.1 (𝜑𝐻C )
pjpjpre.2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)))
Assertion
Ref Expression
pjpjpre (𝜑𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

Proof of Theorem pjpjpre
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjpjpre.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)))
2 pjpjpre.1 . . . . 5 (𝜑𝐻C )
3 chsh 28770 . . . . 5 (𝐻C𝐻S )
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻S )
5 shocsh 28832 . . . . 5 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ S )
7 shsel 28862 . . . 4 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
84, 6, 7syl2anc 576 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
91, 8mpbid 224 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
10 simprr 760 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
11 simprll 766 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝑥𝐻)
12 simprlr 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻))
13 rspe 3243 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
1412, 10, 13syl2anc 576 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
15 pjpreeq 28946 . . . . . . . . 9 ((𝐻C𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
162, 1, 15syl2anc 576 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
1716adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → (((proj𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
1811, 14, 17mpbir2and 700 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → ((proj𝐻)‘𝐴) = 𝑥)
19 shococss 28842 . . . . . . . . . . 11 (𝐻S𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
204, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
2120adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
2221, 11sseldd 3855 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
232adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐻C )
2423, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐻S )
25 shel 28757 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻S𝑥𝐻) → 𝑥 ∈ ℋ)
2624, 11, 25syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℋ)
2724, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → (⊥‘𝐻) ∈ S )
28 shel 28757 . . . . . . . . . . 11 (((⊥‘𝐻) ∈ S𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
2927, 12, 28syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℋ)
30 ax-hvcom 28547 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
3126, 29, 30syl2anc 576 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
3210, 31eqtrd 2808 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
33 rspe 3243 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑦 + 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
3422, 32, 33syl2anc 576 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 + 𝑥))
35 choccl 28854 . . . . . . . . . 10 (𝐻C → (⊥‘𝐻) ∈ C )
362, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ C )
37 shocsh 28832 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊥‘𝐻) ∈ S → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ S )
386, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ S )
39 shless 28907 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐻S ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) ∧ 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻))) → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) + (⊥‘𝐻)))
404, 38, 6, 20, 39syl31anc 1353 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) + (⊥‘𝐻)))
41 shscom 28867 . . . . . . . . . . . 12 (((⊥‘𝐻) ∈ S ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ S ) → ((⊥‘𝐻) + (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) + (⊥‘𝐻)))
426, 38, 41syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⊥‘𝐻) + (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) + (⊥‘𝐻)))
4340, 42sseqtr4d 3894 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘𝐻) + (⊥‘(⊥‘𝐻))))
4443, 1sseldd 3855 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) + (⊥‘(⊥‘𝐻))))
45 pjpreeq 28946 . . . . . . . . 9 (((⊥‘𝐻) ∈ C𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) + (⊥‘(⊥‘𝐻)))) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
4636, 44, 45syl2anc 576 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
4746adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 + 𝑥))))
4812, 34, 47mpbir2and 700 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦)
4918, 48oveq12d 6988 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = (𝑥 + 𝑦))
5010, 49eqtr4d 2811 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 + 𝑦))) → 𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
5150exp32 413 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 = (𝑥 + 𝑦) → 𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))))
5251rexlimdvv 3232 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) → 𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))))
539, 52mpd 15 1 (𝜑𝐴 = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wrex 3083  wss 3825  cfv 6182  (class class class)co 6970  chba 28465   + cva 28466   S csh 28474   C cch 28475  cort 28476   + cph 28477  projcpjh 28483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405  ax-addf 10406  ax-mulf 10407  ax-hilex 28545  ax-hfvadd 28546  ax-hvcom 28547  ax-hvass 28548  ax-hv0cl 28549  ax-hvaddid 28550  ax-hfvmul 28551  ax-hvmulid 28552  ax-hvmulass 28553  ax-hvdistr1 28554  ax-hvdistr2 28555  ax-hvmul0 28556  ax-hfi 28625  ax-his1 28628  ax-his2 28629  ax-his3 28630  ax-his4 28631  ax-hcompl 28748
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-fi 8662  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-card 9154  df-cda 9380  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-ioo 12551  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-sum 14894  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-starv 16426  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ds 16433  df-unif 16434  df-hom 16435  df-cco 16436  df-rest 16542  df-topn 16543  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-topgen 16563  df-pt 16564  df-prds 16567  df-xrs 16621  df-qtop 16626  df-imas 16627  df-xps 16629  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-submnd 17794  df-mulg 18002  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-met 20231  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-cnfld 20238  df-top 21196  df-topon 21213  df-topsp 21235  df-bases 21248  df-cn 21529  df-cnp 21530  df-lm 21531  df-haus 21617  df-tx 21864  df-hmeo 22057  df-xms 22623  df-ms 22624  df-tms 22625  df-cau 23552  df-grpo 28037  df-gid 28038  df-ginv 28039  df-gdiv 28040  df-ablo 28089  df-vc 28103  df-nv 28136  df-va 28139  df-ba 28140  df-sm 28141  df-0v 28142  df-vs 28143  df-nmcv 28144  df-ims 28145  df-dip 28245  df-hnorm 28514  df-hvsub 28517  df-hlim 28518  df-hcau 28519  df-sh 28753  df-ch 28767  df-oc 28798  df-ch0 28799  df-shs 28856  df-pjh 28943
This theorem is referenced by:  axpjpj  28968
  Copyright terms: Public domain W3C validator