Theorem pjpjpre 29454

Description: Decomposition of a vector into projections. This formulation of axpjpj 29455 avoids pjhth 29428. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjpjpre.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cℋ )
pjpjpre.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
pjpjpre	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

Proof of Theorem pjpjpre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjpjpre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))
2		pjpjpre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cℋ )
3		chsh 29259	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
5		shocsh 29319	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
7		shsel 29349	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
8	4, 6, 7	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
9	1, 8	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
10		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
11		simprll 779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ 𝐻)
12		simprlr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻))
13		rspe 3213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
14	12, 10, 13	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
15		pjpreeq 29433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
16	2, 1, 15	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
17	16	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
18	11, 14, 17	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥)
19		shococss 29329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
20	4, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
21	20	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
22	21, 11	sseldd 3888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
23	2	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ∈ Cℋ )
24	23, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ∈ Sℋ )
25		shel 29246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ ℋ)
26	24, 11, 25	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℋ)
27	24, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
28		shel 29246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
29	27, 12, 28	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℋ)
30		ax-hvcom 29036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
31	26, 29, 30	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
32	10, 31	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
33		rspe 3213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
34	22, 32, 33	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
35		choccl 29341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ )
36	2, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ )
37		shocsh 29319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ )
38	6, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ )
39		shless 29394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) ∧ 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻))) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
40	4, 38, 6, 20, 39	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
41		shscom 29354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ ) → ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
42	6, 38, 41	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
43	40, 42	sseqtrrd 3928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))))
44	43, 1	sseldd 3888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))))
45		pjpreeq 29433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻)))) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
46	36, 44, 45	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
47	46	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
48	12, 34, 47	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦)
49	18, 48	oveq12d 7209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
50	10, 49	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
51	50	exp32 424	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))))
52	51	rexlimdvv 3202	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))))
53	9, 52	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3052   ⊆ wss 3853  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ℋchba 28954   +_ℎ cva 28955   S_ℋ csh 28963   C_ℋ cch 28964  ⊥cort 28965   +_ℋ cph 28966  proj_ℎcpjh 28972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773  ax-mulf 10774  ax-hilex 29034  ax-hfvadd 29035  ax-hvcom 29036  ax-hvass 29037  ax-hv0cl 29038  ax-hvaddid 29039  ax-hfvmul 29040  ax-hvmulid 29041  ax-hvmulass 29042  ax-hvdistr1 29043  ax-hvdistr2 29044  ax-hvmul0 29045  ax-hfi 29114  ax-his1 29117  ax-his2 29118  ax-his3 29119  ax-his4 29120  ax-hcompl 29237

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-ioo 12904  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-sum 15215  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-hom 16773  df-cco 16774  df-rest 16881  df-topn 16882  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-topgen 16902  df-pt 16903  df-prds 16906  df-xrs 16961  df-qtop 16966  df-imas 16967  df-xps 16969  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-mulg 18443  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-cnfld 20318  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cn 22078  df-cnp 22079  df-lm 22080  df-haus 22166  df-tx 22413  df-hmeo 22606  df-xms 23172  df-ms 23173  df-tms 23174  df-cau 24107  df-grpo 28528  df-gid 28529  df-ginv 28530  df-gdiv 28531  df-ablo 28580  df-vc 28594  df-nv 28627  df-va 28630  df-ba 28631  df-sm 28632  df-0v 28633  df-vs 28634  df-nmcv 28635  df-ims 28636  df-dip 28736  df-hnorm 29003  df-hvsub 29006  df-hlim 29007  df-hcau 29008  df-sh 29242  df-ch 29256  df-oc 29287  df-ch0 29288  df-shs 29343  df-pjh 29430

This theorem is referenced by:  axpjpj  29455