Theorem pjpjpre 31507

Description: Decomposition of a vector into projections. This formulation of axpjpj 31508 avoids pjhth 31481. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjpjpre.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cℋ )
pjpjpre.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
pjpjpre	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

Proof of Theorem pjpjpre

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjpjpre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)))
2		pjpjpre.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Cℋ )
3		chsh 31312	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Sℋ )
5		shocsh 31372	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
7		shsel 31402	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
8	4, 6, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
9	1, 8	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
10		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
11		simprll 779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ 𝐻)
12		simprlr 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻))
13		rspe 3228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
14	12, 10, 13	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))
15		pjpreeq 31486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
16	2, 1, 15	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥 ↔ (𝑥 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))))
18	11, 14, 17	mpbir2and 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝑥)
19		shococss 31382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
20	4, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
22	21, 11	sseldd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
23	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ∈ Cℋ )
24	23, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐻 ∈ Sℋ )
25		shel 31299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝑥 ∈ 𝐻) → 𝑥 ∈ ℋ)
26	24, 11, 25	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℋ)
27	24, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
28		shel 31299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
29	27, 12, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℋ)
30		ax-hvcom 31089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
31	26, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (𝑦 +ℎ 𝑥))
32	10, 31	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
33		rspe 3228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
34	22, 32, 33	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
35		choccl 31394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ )
36	2, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ )
37		shocsh 31372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ )
38	6, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ )
39		shless 31447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) ∧ 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻))) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
40	4, 38, 6, 20, 39	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
41		shscom 31407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ∈ Sℋ ) → ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
42	6, 38, 41	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))) = ((⊥‘(⊥‘𝐻)) +ℋ (⊥‘𝐻)))
43	40, 42	sseqtrrd 3973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))))
44	43, 1	sseldd 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻))))
45		pjpreeq 31486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⊥‘𝐻) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ((⊥‘𝐻) +ℋ (⊥‘(⊥‘𝐻)))) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
46	36, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
47	46	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦 ↔ (𝑦 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘(⊥‘𝐻))𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
48	12, 34, 47	mpbir2and 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 𝑦)
49	18, 48	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = (𝑥 +ℎ 𝑦))
50	10, 49	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) ∧ 𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦))) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
51	50	exp32 420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐻 ∧ 𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))))
52	51	rexlimdvv 3194	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐻 ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 +ℎ 𝑦) → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))))
53	9, 52	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ℋchba 31007   +_ℎ cva 31008   S_ℋ csh 31016   C_ℋ cch 31017  ⊥cort 31018   +_ℋ cph 31019  proj_ℎcpjh 31025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31087  ax-hfvadd 31088  ax-hvcom 31089  ax-hvass 31090  ax-hv0cl 31091  ax-hvaddid 31092  ax-hfvmul 31093  ax-hvmulid 31094  ax-hvmulass 31095  ax-hvdistr1 31096  ax-hvdistr2 31097  ax-hvmul0 31098  ax-hfi 31167  ax-his1 31170  ax-his2 31171  ax-his3 31172  ax-his4 31173  ax-hcompl 31290

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-lm 23185  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cau 25224  df-grpo 30581  df-gid 30582  df-ginv 30583  df-gdiv 30584  df-ablo 30633  df-vc 30647  df-nv 30680  df-va 30683  df-ba 30684  df-sm 30685  df-0v 30686  df-vs 30687  df-nmcv 30688  df-ims 30689  df-dip 30789  df-hnorm 31056  df-hvsub 31059  df-hlim 31060  df-hcau 31061  df-sh 31295  df-ch 31309  df-oc 31340  df-ch0 31341  df-shs 31396  df-pjh 31483

This theorem is referenced by:  axpjpj  31508