Theorem chlej1 29271

Description: Add join to both sides of Hilbert lattice ordering. (Contributed by NM, 22-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chlej1	⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Proof of Theorem chlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 28985	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
2		chsh 28985	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
3		chsh 28985	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ Cℋ → 𝐶 ∈ Sℋ )
4		shlej1 29121	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐶 ∈ Sℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	syl3anl 1411	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3924  (class class class)co 7142   S_ℋ csh 28689   C_ℋ cch 28690   ∨_ℋ chj 28694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-hilex 28760  ax-hfvadd 28761  ax-hv0cl 28764  ax-hfvmul 28766  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his2 28844  ax-his3 28845

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5446  df-po 5460  df-so 5461  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-ltxr 10666  df-sh 28968  df-ch 28982  df-oc 29013  df-chj 29071

This theorem is referenced by:  dmdbr2  30064  chirredlem1  30151  mdsymlem5  30168