Theorem chirredlem3 32411

Description: Lemma for chirredi 32413. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chirred.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chirred.2	⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
chirredlem3	⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))

Distinct variable group:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 32363	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
2		chirred.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3	2	chirredlem2 32410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = 𝑞)
4	3	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
5		atelch 32363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑟 ∈ Cℋ )
7		atelch 32363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
8		chjcl 31376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
9	7, 8	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
10	9	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
12		pjoml2 31630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
13	6, 10, 11, 12	syl3an 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
14	13	3com12 1124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
15	14	3expb 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
16	4, 15	eqtr3d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
17	16	ineq2d 4220	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
18		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑟))
19		chirred.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)
20	18, 19	vtoclga 3577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑟)
21		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
22	21, 19	vtoclga 3577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)
23	20, 22	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
24		fh1 31637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
25	2, 24	mp3anl1 1457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
26	23, 25	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
27	5, 26	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
28	27	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
29	28	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
30	29	ad2ant2r 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
31	30	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
32		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑝))
33	32, 19	vtoclga 3577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑝)
34	33, 22	anim12i 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
35		fh1 31637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
36	2, 35	mp3anl1 1457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
37	34, 36	mpdan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
38	7, 37	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
39	38	ad2ant2r 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
41	17, 31, 40	3eqtr3d 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
42		sseqin2 4223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
43	42	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
44	43	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
45	44	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
46		incom 4209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑞) = (𝑞 ∩ 𝐴)
47		chsh 31243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → 𝑞 ∈ Sℋ )
48	2	chshii 31246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
49		orthin 31465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
50	47, 48, 49	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
51	50	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ)
52	46, 51	eqtrid 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴 ∩ 𝑞) = 0ℋ)
53	52	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑞) = 0ℋ)
54	45, 53	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = (𝑟 ∨ℋ 0ℋ))
55		sseqin2 4223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
56	55	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
59	58, 53	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = (𝑝 ∨ℋ 0ℋ))
60	41, 54, 59	3eqtr3d 2785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = (𝑝 ∨ℋ 0ℋ))
61		chj0 31516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ Cℋ → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
62	5, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
63	62	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
64	63	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
65		chj0 31516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
66	7, 65	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
67	66	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
68	60, 64, 67	3eqtr3d 2785	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑟 = 𝑝)
69	68	exp44 437	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → 𝑟 = 𝑝))))
70	69	com34 91	. . 3 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))))
71	1, 70	sylanr1 682	. 2 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))))
72	71	imp32 418	1 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   S_ℋ csh 30947   C_ℋ cch 30948  ⊥cort 30949   ∨_ℋ chj 30952  0_ℋc0h 30954   𝐶_ℋ ccm 30955  HAtomscat 30984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his2 31102  ax-his3 31103  ax-his4 31104  ax-hcompl 31221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-lm 23237  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-ims 30620  df-dip 30720  df-ssp 30741  df-ph 30832  df-cbn 30882  df-hnorm 30987  df-hba 30988  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-hcau 30992  df-sh 31226  df-ch 31240  df-oc 31271  df-ch0 31272  df-shs 31327  df-span 31328  df-chj 31329  df-chsup 31330  df-pjh 31414  df-cm 31602  df-cv 32298  df-at 32357

This theorem is referenced by:  chirredlem4  32412