Theorem chirredlem3 32478

Description: Lemma for chirredi 32480. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chirred.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chirred.2	⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
chirredlem3	⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))

Distinct variable group:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 32430	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
2		chirred.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3	2	chirredlem2 32477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = 𝑞)
4	3	oveq2d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
5		atelch 32430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑟 ∈ Cℋ )
7		atelch 32430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
8		chjcl 31443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
9	7, 8	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
10	9	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
12		pjoml2 31697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
13	6, 10, 11, 12	syl3an 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
14	13	3com12 1124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
15	14	3expb 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
16	4, 15	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
17	16	ineq2d 4161	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
18		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑟))
19		chirred.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)
20	18, 19	vtoclga 3521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑟)
21		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
22	21, 19	vtoclga 3521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)
23	20, 22	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
24		fh1 31704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
25	2, 24	mp3anl1 1458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
26	23, 25	mpdan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
27	5, 26	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
28	27	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
29	28	adantrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
30	29	ad2ant2r 748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
31	30	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
32		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑝))
33	32, 19	vtoclga 3521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑝)
34	33, 22	anim12i 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
35		fh1 31704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
36	2, 35	mp3anl1 1458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
37	34, 36	mpdan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
38	7, 37	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
39	38	ad2ant2r 748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
41	17, 31, 40	3eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
42		sseqin2 4164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
43	42	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
44	43	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
45	44	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
46		incom 4150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑞) = (𝑞 ∩ 𝐴)
47		chsh 31310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → 𝑞 ∈ Sℋ )
48	2	chshii 31313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
49		orthin 31532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
50	47, 48, 49	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
51	50	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ)
52	46, 51	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴 ∩ 𝑞) = 0ℋ)
53	52	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑞) = 0ℋ)
54	45, 53	oveq12d 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = (𝑟 ∨ℋ 0ℋ))
55		sseqin2 4164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
56	55	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
58	57	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
59	58, 53	oveq12d 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = (𝑝 ∨ℋ 0ℋ))
60	41, 54, 59	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = (𝑝 ∨ℋ 0ℋ))
61		chj0 31583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ Cℋ → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
62	5, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
63	62	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
64	63	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
65		chj0 31583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
66	7, 65	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
67	66	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
68	60, 64, 67	3eqtr3d 2780	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑟 = 𝑝)
69	68	exp44 437	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → 𝑟 = 𝑝))))
70	69	com34 91	. . 3 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))))
71	1, 70	sylanr1 683	. 2 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))))
72	71	imp32 418	1 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   S_ℋ csh 31014   C_ℋ cch 31015  ⊥cort 31016   ∨_ℋ chj 31019  0_ℋc0h 31021   𝐶_ℋ ccm 31022  HAtomscat 31051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31085  ax-hfvadd 31086  ax-hvcom 31087  ax-hvass 31088  ax-hv0cl 31089  ax-hvaddid 31090  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093  ax-hvdistr1 31094  ax-hvdistr2 31095  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his2 31169  ax-his3 31170  ax-his4 31171  ax-hcompl 31288

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-lm 23204  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cfil 25232  df-cau 25233  df-cmet 25234  df-grpo 30579  df-gid 30580  df-ginv 30581  df-gdiv 30582  df-ablo 30631  df-vc 30645  df-nv 30678  df-va 30681  df-ba 30682  df-sm 30683  df-0v 30684  df-vs 30685  df-nmcv 30686  df-ims 30687  df-dip 30787  df-ssp 30808  df-ph 30899  df-cbn 30949  df-hnorm 31054  df-hba 31055  df-hvsub 31057  df-hlim 31058  df-hcau 31059  df-sh 31293  df-ch 31307  df-oc 31338  df-ch0 31339  df-shs 31394  df-span 31395  df-chj 31396  df-chsup 31397  df-pjh 31481  df-cm 31669  df-cv 32365  df-at 32424

This theorem is referenced by:  chirredlem4  32479