Theorem chirredlem3 32488

Description: Lemma for chirredi 32490. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chirred.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chirred.2	⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
chirredlem3	⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))

Distinct variable group:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 32440	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
2		chirred.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3	2	chirredlem2 32487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = 𝑞)
4	3	oveq2d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
5		atelch 32440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑟 ∈ Cℋ )
7		atelch 32440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
8		chjcl 31453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
9	7, 8	sylan 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
10	9	ad2ant2r 753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
12		pjoml2 31707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
13	6, 10, 11, 12	syl3an 1166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
14	13	3com12 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
15	14	3expb 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
16	4, 15	eqtr3d 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
17	16	ineq2d 4156	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
18		breq2 5083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑟))
19		chirred.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)
20	18, 19	vtoclga 3523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑟)
21		breq2 5083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
22	21, 19	vtoclga 3523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)
23	20, 22	anim12i 619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
24		fh1 31714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
25	2, 24	mp3anl1 1463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
26	23, 25	mpdan 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
27	5, 26	sylan 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
28	27	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
29	28	adantrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
30	29	ad2ant2r 753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
31	30	adantll 720	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
32		breq2 5083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑝))
33	32, 19	vtoclga 3523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑝)
34	33, 22	anim12i 619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
35		fh1 31714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
36	2, 35	mp3anl1 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
37	34, 36	mpdan 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
38	7, 37	sylan 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
39	38	ad2ant2r 753	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
40	39	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
41	17, 31, 40	3eqtr3d 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
42		sseqin2 4159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
43	42	biimpi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
44	43	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
45	44	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
46		incom 4145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑞) = (𝑞 ∩ 𝐴)
47		chsh 31320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → 𝑞 ∈ Sℋ )
48	2	chshii 31323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
49		orthin 31542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
50	47, 48, 49	sylancl 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
51	50	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ)
52	46, 51	eqtrid 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴 ∩ 𝑞) = 0ℋ)
53	52	ad2antlr 733	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑞) = 0ℋ)
54	45, 53	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = (𝑟 ∨ℋ 0ℋ))
55		sseqin2 4159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
56	55	biimpi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
57	56	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
58	57	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
59	58, 53	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = (𝑝 ∨ℋ 0ℋ))
60	41, 54, 59	3eqtr3d 2783	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = (𝑝 ∨ℋ 0ℋ))
61		chj0 31593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ Cℋ → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
62	5, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
63	62	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
64	63	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
65		chj0 31593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
66	7, 65	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
67	66	ad3antrrr 736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
68	60, 64, 67	3eqtr3d 2783	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑟 = 𝑝)
69	68	exp44 438	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → 𝑟 = 𝑝))))
70	69	com34 91	. . 3 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))))
71	1, 70	sylanr1 688	. 2 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))))
72	71	imp32 419	1 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   S_ℋ csh 31024   C_ℋ cch 31025  ⊥cort 31026   ∨_ℋ chj 31029  0_ℋc0h 31031   𝐶_ℋ ccm 31032  HAtomscat 31061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cc 10355  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115  ax-mulf 11116  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hvcom 31097  ax-hvass 31098  ax-hv0cl 31099  ax-hvaddid 31100  ax-hfvmul 31101  ax-hvmulid 31102  ax-hvmulass 31103  ax-hvdistr1 31104  ax-hvdistr2 31105  ax-hvmul0 31106  ax-hfi 31175  ax-his1 31178  ax-his2 31179  ax-his3 31180  ax-his4 31181  ax-hcompl 31298

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-acn 9864  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-lm 23219  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cfil 25247  df-cau 25248  df-cmet 25249  df-grpo 30589  df-gid 30590  df-ginv 30591  df-gdiv 30592  df-ablo 30641  df-vc 30655  df-nv 30688  df-va 30691  df-ba 30692  df-sm 30693  df-0v 30694  df-vs 30695  df-nmcv 30696  df-ims 30697  df-dip 30797  df-ssp 30818  df-ph 30909  df-cbn 30959  df-hnorm 31064  df-hba 31065  df-hvsub 31067  df-hlim 31068  df-hcau 31069  df-sh 31303  df-ch 31317  df-oc 31348  df-ch0 31349  df-shs 31404  df-span 31405  df-chj 31406  df-chsup 31407  df-pjh 31491  df-cm 31679  df-cv 32375  df-at 32434

This theorem is referenced by:  chirredlem4  32489