Theorem chirredlem3 32463

Description: Lemma for chirredi 32465. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chirred.1	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
chirred.2	⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
chirredlem3	⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))

Distinct variable group:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atelch 32415	. . 3 ⊢ (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞 ∈ Cℋ )
2		chirred.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
3	2	chirredlem2 32462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = 𝑞)
4	3	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑟 ∨ℋ 𝑞))
5		atelch 32415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟 ∈ Cℋ )
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) → 𝑟 ∈ Cℋ )
7		atelch 32415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝 ∈ Cℋ )
8		chjcl 31428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
9	7, 8	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
10	9	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ )
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
12		pjoml2 31682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
13	6, 10, 11, 12	syl3an 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
14	13	3com12 1124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
15	14	3expb 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
16	4, 15	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 𝑞) = (𝑝 ∨ℋ 𝑞))
17	16	ineq2d 4160	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)))
18		breq2 5089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑟))
19		chirred.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)
20	18, 19	vtoclga 3520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑟)
21		breq2 5089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
22	21, 19	vtoclga 3520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)
23	20, 22	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
24		fh1 31689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
25	2, 24	mp3anl1 1458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑟 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
26	23, 25	mpdan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
27	5, 26	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
28	27	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑟 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
29	28	adantrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴)) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
30	29	ad2ant2r 748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
31	30	adantll 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
32		breq2 5089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑝 → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ 𝐴 𝐶ℋ 𝑝))
33	32, 19	vtoclga 3520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → 𝐴 𝐶ℋ 𝑝)
34	33, 22	anim12i 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞))
35		fh1 31689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
36	2, 35	mp3anl1 1458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐴 𝐶ℋ 𝑝 ∧ 𝐴 𝐶ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
37	34, 36	mpdan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
38	7, 37	sylan 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
39	38	ad2ant2r 748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
41	17, 31, 40	3eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)))
42		sseqin2 4163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
43	42	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
44	43	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
45	44	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑟) = 𝑟)
46		incom 4149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑞) = (𝑞 ∩ 𝐴)
47		chsh 31295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → 𝑞 ∈ Sℋ )
48	2	chshii 31298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
49		orthin 31517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑞 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
50	47, 48, 49	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 ∈ Cℋ → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ))
51	50	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑞 ∩ 𝐴) = 0ℋ)
52	46, 51	eqtrid 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴 ∩ 𝑞) = 0ℋ)
53	52	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑞) = 0ℋ)
54	45, 53	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑟) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = (𝑟 ∨ℋ 0ℋ))
55		sseqin2 4163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
56	55	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
58	57	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝐴 ∩ 𝑝) = 𝑝)
59	58, 53	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → ((𝐴 ∩ 𝑝) ∨ℋ (𝐴 ∩ 𝑞)) = (𝑝 ∨ℋ 0ℋ))
60	41, 54, 59	3eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = (𝑝 ∨ℋ 0ℋ))
61		chj0 31568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ Cℋ → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
62	5, 61	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
63	62	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞)) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
64	63	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑟)
65		chj0 31568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ Cℋ → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
66	7, 65	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
67	66	ad3antrrr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑝 ∨ℋ 0ℋ) = 𝑝)
68	60, 64, 67	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → 𝑟 = 𝑝)
69	68	exp44 437	. . . 4 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ 𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → 𝑟 = 𝑝))))
70	69	com34 91	. . 3 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ Cℋ ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))))
71	1, 70	sylanr1 683	. 2 ⊢ (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))))
72	71	imp32 418	1 ⊢ ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 ∨ℋ 𝑞))) → (𝑟 ⊆ 𝐴 → 𝑟 = 𝑝))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   S_ℋ csh 30999   C_ℋ cch 31000  ⊥cort 31001   ∨_ℋ chj 31004  0_ℋc0h 31006   𝐶_ℋ ccm 31007  HAtomscat 31036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31070  ax-hfvadd 31071  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvmulass 31078  ax-hvdistr1 31079  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081  ax-hfi 31150  ax-his1 31153  ax-his2 31154  ax-his3 31155  ax-his4 31156  ax-hcompl 31273

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-lm 23194  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cfil 25222  df-cau 25223  df-cmet 25224  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-gdiv 30567  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-vs 30670  df-nmcv 30671  df-ims 30672  df-dip 30772  df-ssp 30793  df-ph 30884  df-cbn 30934  df-hnorm 31039  df-hba 31040  df-hvsub 31042  df-hlim 31043  df-hcau 31044  df-sh 31278  df-ch 31292  df-oc 31323  df-ch0 31324  df-shs 31379  df-span 31380  df-chj 31381  df-chsup 31382  df-pjh 31466  df-cm 31654  df-cv 32350  df-at 32409

This theorem is referenced by:  chirredlem4  32464