HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chirredlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chirredlem3 29577
Description: Lemma for chirredi 29579. (Contributed by NM, 15-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
chirred.1 𝐴C
chirred.2 (𝑥C𝐴 𝐶 𝑥)
Assertion
Ref Expression
chirredlem3 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑟𝐴𝑟 = 𝑝))
Distinct variable group:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirredlem3
StepHypRef Expression
1 atelch 29529 . . 3 (𝑞 ∈ HAtoms → 𝑞C )
2 chirred.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴C
32chirredlem2 29576 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 𝑞)) = 𝑞)
43oveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑟 ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 𝑞))) = (𝑟 𝑞))
5 atelch 29529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ HAtoms → 𝑟C )
65adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) → 𝑟C )
7 atelch 29529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ HAtoms → 𝑝C )
8 chjcl 28542 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝C𝑞C ) → (𝑝 𝑞) ∈ C )
97, 8sylan 571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞C ) → (𝑝 𝑞) ∈ C )
109ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑝 𝑞) ∈ C )
11 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))
12 pjoml2 28796 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟C ∧ (𝑝 𝑞) ∈ C𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑟 ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 𝑞))) = (𝑝 𝑞))
136, 10, 11, 12syl3an 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑟 ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 𝑞))) = (𝑝 𝑞))
14133com12 1146 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑟 ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 𝑞))) = (𝑝 𝑞))
15143expb 1142 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑟 ((⊥‘𝑟) ∩ (𝑝 𝑞))) = (𝑝 𝑞))
164, 15eqtr3d 2840 . . . . . . . . 9 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑟 𝑞) = (𝑝 𝑞))
1716ineq2d 4011 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 𝑞)) = (𝐴 ∩ (𝑝 𝑞)))
18 breq2 4846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 𝐶 𝑥𝐴 𝐶 𝑟))
19 chirred.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥C𝐴 𝐶 𝑥)
2018, 19vtoclga 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟C𝐴 𝐶 𝑟)
21 breq2 4846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑞 → (𝐴 𝐶 𝑥𝐴 𝐶 𝑞))
2221, 19vtoclga 3463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞C𝐴 𝐶 𝑞)
2320, 22anim12i 602 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑟C𝑞C ) → (𝐴 𝐶 𝑟𝐴 𝐶 𝑞))
24 fh1 28803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴C𝑟C𝑞C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝑟𝐴 𝐶 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑟 𝑞)) = ((𝐴𝑟) ∨ (𝐴𝑞)))
252, 24mp3anl1 1572 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑟C𝑞C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝑟𝐴 𝐶 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑟 𝑞)) = ((𝐴𝑟) ∨ (𝐴𝑞)))
2623, 25mpdan 670 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟C𝑞C ) → (𝐴 ∩ (𝑟 𝑞)) = ((𝐴𝑟) ∨ (𝐴𝑞)))
275, 26sylan 571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑞C ) → (𝐴 ∩ (𝑟 𝑞)) = ((𝐴𝑟) ∨ (𝐴𝑞)))
2827ancoms 448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞C𝑟 ∈ HAtoms) → (𝐴 ∩ (𝑟 𝑞)) = ((𝐴𝑟) ∨ (𝐴𝑞)))
2928adantrr 699 . . . . . . . . . 10 ((𝑞C ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴)) → (𝐴 ∩ (𝑟 𝑞)) = ((𝐴𝑟) ∨ (𝐴𝑞)))
3029ad2ant2r 744 . . . . . . . . 9 (((𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 𝑞)) = ((𝐴𝑟) ∨ (𝐴𝑞)))
3130adantll 696 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑟 𝑞)) = ((𝐴𝑟) ∨ (𝐴𝑞)))
32 breq2 4846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑝 → (𝐴 𝐶 𝑥𝐴 𝐶 𝑝))
3332, 19vtoclga 3463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝C𝐴 𝐶 𝑝)
3433, 22anim12i 602 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝C𝑞C ) → (𝐴 𝐶 𝑝𝐴 𝐶 𝑞))
35 fh1 28803 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴C𝑝C𝑞C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝑝𝐴 𝐶 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑝 𝑞)) = ((𝐴𝑝) ∨ (𝐴𝑞)))
362, 35mp3anl1 1572 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝C𝑞C ) ∧ (𝐴 𝐶 𝑝𝐴 𝐶 𝑞)) → (𝐴 ∩ (𝑝 𝑞)) = ((𝐴𝑝) ∨ (𝐴𝑞)))
3734, 36mpdan 670 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝C𝑞C ) → (𝐴 ∩ (𝑝 𝑞)) = ((𝐴𝑝) ∨ (𝐴𝑞)))
387, 37sylan 571 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑞C ) → (𝐴 ∩ (𝑝 𝑞)) = ((𝐴𝑝) ∨ (𝐴𝑞)))
3938ad2ant2r 744 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝐴 ∩ (𝑝 𝑞)) = ((𝐴𝑝) ∨ (𝐴𝑞)))
4039adantr 468 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝐴 ∩ (𝑝 𝑞)) = ((𝐴𝑝) ∨ (𝐴𝑞)))
4117, 31, 403eqtr3d 2846 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → ((𝐴𝑟) ∨ (𝐴𝑞)) = ((𝐴𝑝) ∨ (𝐴𝑞)))
42 sseqin2 4014 . . . . . . . . . . 11 (𝑟𝐴 ↔ (𝐴𝑟) = 𝑟)
4342biimpi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑟𝐴 → (𝐴𝑟) = 𝑟)
4443ad2antlr 709 . . . . . . . . 9 (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝐴𝑟) = 𝑟)
4544adantl 469 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝐴𝑟) = 𝑟)
46 incom 4002 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑞) = (𝑞𝐴)
47 chsh 28407 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞C𝑞S )
482chshii 28410 . . . . . . . . . . . 12 𝐴S
49 orthin 28631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞S𝐴S ) → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑞𝐴) = 0))
5047, 48, 49sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 (𝑞C → (𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴) → (𝑞𝐴) = 0))
5150imp 395 . . . . . . . . . 10 ((𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝑞𝐴) = 0)
5246, 51syl5eq 2850 . . . . . . . . 9 ((𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴)) → (𝐴𝑞) = 0)
5352ad2antlr 709 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝐴𝑞) = 0)
5445, 53oveq12d 6890 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → ((𝐴𝑟) ∨ (𝐴𝑞)) = (𝑟 0))
55 sseqin2 4014 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐴 ↔ (𝐴𝑝) = 𝑝)
5655biimpi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝐴 → (𝐴𝑝) = 𝑝)
5756adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) → (𝐴𝑝) = 𝑝)
5857ad2antrr 708 . . . . . . . 8 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝐴𝑝) = 𝑝)
5958, 53oveq12d 6890 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → ((𝐴𝑝) ∨ (𝐴𝑞)) = (𝑝 0))
6041, 54, 593eqtr3d 2846 . . . . . 6 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑟 0) = (𝑝 0))
61 chj0 28682 . . . . . . . . 9 (𝑟C → (𝑟 0) = 𝑟)
625, 61syl 17 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 0) = 𝑟)
6362ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞)) → (𝑟 0) = 𝑟)
6463adantl 469 . . . . . 6 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑟 0) = 𝑟)
65 chj0 28682 . . . . . . . 8 (𝑝C → (𝑝 0) = 𝑝)
667, 65syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ HAtoms → (𝑝 0) = 𝑝)
6766ad3antrrr 712 . . . . . 6 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑝 0) = 𝑝)
6860, 64, 673eqtr3d 2846 . . . . 5 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ ((𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → 𝑟 = 𝑝)
6968exp44 426 . . . 4 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟𝐴 → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → 𝑟 = 𝑝))))
7069com34 91 . . 3 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞C𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → (𝑟𝐴𝑟 = 𝑝))))
711, 70sylanr1 664 . 2 (((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) → (𝑟 ∈ HAtoms → (𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞) → (𝑟𝐴𝑟 = 𝑝))))
7271imp32 407 1 ((((𝑝 ∈ HAtoms ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑞 ∈ HAtoms ∧ 𝑞 ⊆ (⊥‘𝐴))) ∧ (𝑟 ∈ HAtoms ∧ 𝑟 ⊆ (𝑝 𝑞))) → (𝑟𝐴𝑟 = 𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  cin 3766  wss 3767   class class class wbr 4842  cfv 6099  (class class class)co 6872   S csh 28111   C cch 28112  cort 28113   chj 28116  0c0h 28118   𝐶 ccm 28119  HAtomscat 28148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-inf2 8783  ax-cc 9540  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296  ax-pre-sup 10297  ax-addf 10298  ax-mulf 10299  ax-hilex 28182  ax-hfvadd 28183  ax-hvcom 28184  ax-hvass 28185  ax-hv0cl 28186  ax-hvaddid 28187  ax-hfvmul 28188  ax-hvmulid 28189  ax-hvmulass 28190  ax-hvdistr1 28191  ax-hvdistr2 28192  ax-hvmul0 28193  ax-hfi 28262  ax-his1 28265  ax-his2 28266  ax-his3 28267  ax-his4 28268  ax-hcompl 28385
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-se 5269  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-of 7125  df-om 7294  df-1st 7396  df-2nd 7397  df-supp 7528  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-1o 7794  df-2o 7795  df-oadd 7798  df-omul 7799  df-er 7977  df-map 8092  df-pm 8093  df-ixp 8144  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-fin 8194  df-fsupp 8513  df-fi 8554  df-sup 8585  df-inf 8586  df-oi 8652  df-card 9046  df-acn 9049  df-cda 9273  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-div 10968  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-4 11364  df-5 11365  df-6 11366  df-7 11367  df-8 11368  df-9 11369  df-n0 11558  df-z 11642  df-dec 11758  df-uz 11903  df-q 12006  df-rp 12045  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12395  df-ico 12397  df-icc 12398  df-fz 12548  df-fzo 12688  df-fl 12815  df-seq 13023  df-exp 13082  df-hash 13336  df-cj 14060  df-re 14061  df-im 14062  df-sqrt 14196  df-abs 14197  df-clim 14440  df-rlim 14441  df-sum 14638  df-struct 16068  df-ndx 16069  df-slot 16070  df-base 16072  df-sets 16073  df-ress 16074  df-plusg 16164  df-mulr 16165  df-starv 16166  df-sca 16167  df-vsca 16168  df-ip 16169  df-tset 16170  df-ple 16171  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16286  df-topn 16287  df-0g 16305  df-gsum 16306  df-topgen 16307  df-pt 16308  df-prds 16311  df-xrs 16365  df-qtop 16370  df-imas 16371  df-xps 16373  df-mre 16449  df-mrc 16450  df-acs 16452  df-mgm 17445  df-sgrp 17487  df-mnd 17498  df-submnd 17539  df-mulg 17744  df-cntz 17949  df-cmn 18394  df-psmet 19944  df-xmet 19945  df-met 19946  df-bl 19947  df-mopn 19948  df-fbas 19949  df-fg 19950  df-cnfld 19953  df-top 20910  df-topon 20927  df-topsp 20949  df-bases 20962  df-cld 21035  df-ntr 21036  df-cls 21037  df-nei 21114  df-cn 21243  df-cnp 21244  df-lm 21245  df-haus 21331  df-tx 21577  df-hmeo 21770  df-fil 21861  df-fm 21953  df-flim 21954  df-flf 21955  df-xms 22336  df-ms 22337  df-tms 22338  df-cfil 23263  df-cau 23264  df-cmet 23265  df-grpo 27674  df-gid 27675  df-ginv 27676  df-gdiv 27677  df-ablo 27726  df-vc 27740  df-nv 27773  df-va 27776  df-ba 27777  df-sm 27778  df-0v 27779  df-vs 27780  df-nmcv 27781  df-ims 27782  df-dip 27882  df-ssp 27903  df-ph 27994  df-cbn 28045  df-hnorm 28151  df-hba 28152  df-hvsub 28154  df-hlim 28155  df-hcau 28156  df-sh 28390  df-ch 28404  df-oc 28435  df-ch0 28436  df-shs 28493  df-span 28494  df-chj 28495  df-chsup 28496  df-pjh 28580  df-cm 28768  df-cv 29464  df-at 29523
This theorem is referenced by:  chirredlem4  29578
  Copyright terms: Public domain W3C validator