Theorem chscl 32040

Description: The subspace sum of two closed orthogonal spaces is closed. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
chscl	⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem chscl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
2		chsh 31623	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
4		chscl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
5		chsh 31623	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
7		shscl 31717	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
8	3, 6, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
9	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐴 ∈ Cℋ )
10	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐵 ∈ Cℋ )
11		chscl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
13		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
14		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)
15		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝑓‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝑓‘𝑥)))
16		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝑓‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
17	9, 10, 12, 13, 14, 15, 16	chscllem4 32039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
18	17	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
19	18	alrimivv 1961	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓∀𝑧((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
20		isch2 31622	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑧((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
21	8, 19, 20	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℕcn 12244   ⇝_𝑣 chli 31326   S_ℋ csh 31327   C_ℋ cch 31328  ⊥cort 31329   +_ℋ cph 31330  proj_ℎcpjh 31336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190  ax-mulf 11191  ax-hilex 31398  ax-hfvadd 31399  ax-hvcom 31400  ax-hvass 31401  ax-hv0cl 31402  ax-hvaddid 31403  ax-hfvmul 31404  ax-hvmulid 31405  ax-hvmulass 31406  ax-hvdistr1 31407  ax-hvdistr2 31408  ax-hvmul0 31409  ax-hfi 31478  ax-his1 31481  ax-his2 31482  ax-his3 31483  ax-his4 31484  ax-hcompl 31601

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-topgen 17514  df-pt 17515  df-prds 17518  df-xrs 17574  df-qtop 17579  df-imas 17580  df-xps 17582  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-mulg 19158  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-lm 23416  df-haus 23502  df-tx 23750  df-hmeo 23943  df-xms 24508  df-tms 24510  df-cau 25446  df-grpo 30892  df-gid 30893  df-ginv 30894  df-gdiv 30895  df-ablo 30944  df-vc 30958  df-nv 30991  df-va 30994  df-ba 30995  df-sm 30996  df-0v 30997  df-vs 30998  df-nmcv 30999  df-ims 31000  df-hnorm 31367  df-hba 31368  df-hvsub 31370  df-hlim 31371  df-hcau 31372  df-sh 31606  df-ch 31620  df-oc 31651  df-ch0 31652  df-shs 31707  df-pjh 31794

This theorem is used by:  osumi  32041