Theorem chscl 29089

Description: The subspace sum of two closed orthogonal spaces is closed. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
chscl	⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem chscl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
2		chsh 28670	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
4		chscl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
5		chsh 28670	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
7		shscl 28766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
8	3, 6, 7	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
9	1	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐴 ∈ Cℋ )
10	4	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐵 ∈ Cℋ )
11		chscl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
12	11	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
13		simprl 761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
14		simprr 763	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)
15		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝑓‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝑓‘𝑥)))
16		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝑓‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
17	9, 10, 12, 13, 14, 15, 16	chscllem4 29088	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
18	17	ex 403	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
19	18	alrimivv 1971	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓∀𝑧((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
20		isch2 28669	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑧((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
21	8, 19, 20	sylanbrc 578	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386  ∀wal 1599   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4888   ↦ cmpt 4967  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℕcn 11379   ⇝_𝑣 chli 28373   S_ℋ csh 28374   C_ℋ cch 28375  ⊥cort 28376   +_ℋ cph 28377  proj_ℎcpjh 28383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354  ax-hilex 28445  ax-hfvadd 28446  ax-hvcom 28447  ax-hvass 28448  ax-hv0cl 28449  ax-hvaddid 28450  ax-hfvmul 28451  ax-hvmulid 28452  ax-hvmulass 28453  ax-hvdistr1 28454  ax-hvdistr2 28455  ax-hvmul0 28456  ax-hfi 28525  ax-his1 28528  ax-his2 28529  ax-his3 28530  ax-his4 28531  ax-hcompl 28648

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-pm 8145  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-icc 12499  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-topgen 16501  df-pt 16502  df-prds 16505  df-xrs 16559  df-qtop 16564  df-imas 16565  df-xps 16567  df-mre 16643  df-mrc 16644  df-acs 16646  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-mulg 17939  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-cn 21450  df-cnp 21451  df-lm 21452  df-haus 21538  df-tx 21785  df-hmeo 21978  df-xms 22544  df-tms 22546  df-cau 23473  df-grpo 27937  df-gid 27938  df-ginv 27939  df-gdiv 27940  df-ablo 27989  df-vc 28003  df-nv 28036  df-va 28039  df-ba 28040  df-sm 28041  df-0v 28042  df-vs 28043  df-nmcv 28044  df-ims 28045  df-hnorm 28414  df-hba 28415  df-hvsub 28417  df-hlim 28418  df-hcau 28419  df-sh 28653  df-ch 28667  df-oc 28698  df-ch0 28699  df-shs 28756  df-pjh 28843

This theorem is referenced by:  osumi  29090