Theorem chscl 31801

Description: The subspace sum of two closed orthogonal spaces is closed. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
chscl	⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem chscl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
2		chsh 31384	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
4		chscl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
5		chsh 31384	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
7		shscl 31478	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
8	3, 6, 7	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
9	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐴 ∈ Cℋ )
10	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐵 ∈ Cℋ )
11		chscl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
12	11	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
13		simprl 780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
14		simprr 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)
15		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝑓‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝑓‘𝑥)))
16		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝑓‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
17	9, 10, 12, 13, 14, 15, 16	chscllem4 31800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
18	17	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
19	18	alrimivv 1947	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓∀𝑧((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
20		isch2 31383	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑧((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
21	8, 19, 20	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∀wal 1557   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℕcn 12204   ⇝_𝑣 chli 31087   S_ℋ csh 31088   C_ℋ cch 31089  ⊥cort 31090   +_ℋ cph 31091  proj_ℎcpjh 31097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146  ax-mulf 11147  ax-hilex 31159  ax-hfvadd 31160  ax-hvcom 31161  ax-hvass 31162  ax-hv0cl 31163  ax-hvaddid 31164  ax-hfvmul 31165  ax-hvmulid 31166  ax-hvmulass 31167  ax-hvdistr1 31168  ax-hvdistr2 31169  ax-hvmul0 31170  ax-hfi 31239  ax-his1 31242  ax-his2 31243  ax-his3 31244  ax-his4 31245  ax-hcompl 31362

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-lm 23277  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-xms 24368  df-tms 24370  df-cau 25306  df-grpo 30653  df-gid 30654  df-ginv 30655  df-gdiv 30656  df-ablo 30705  df-vc 30719  df-nv 30752  df-va 30755  df-ba 30756  df-sm 30757  df-0v 30758  df-vs 30759  df-nmcv 30760  df-ims 30761  df-hnorm 31128  df-hba 31129  df-hvsub 31131  df-hlim 31132  df-hcau 31133  df-sh 31367  df-ch 31381  df-oc 31412  df-ch0 31413  df-shs 31468  df-pjh 31555

This theorem is referenced by:  osumi  31802