Theorem chscl 31159

Description: The subspace sum of two closed orthogonal spaces is closed. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
chscl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
chscl.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
chscl.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))

Assertion

Ref	Expression
chscl	⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem chscl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chscl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Cℋ )
2		chsh 30742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Sℋ )
4		chscl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Cℋ )
5		chsh 30742	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → 𝐵 ∈ Sℋ )
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Sℋ )
7		shscl 30836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
8	3, 6, 7	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ )
9	1	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐴 ∈ Cℋ )
10	4	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐵 ∈ Cℋ )
11		chscl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
12	11	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝐵 ⊆ (⊥‘𝐴))
13		simprl 767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵))
14		simprr 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)
15		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝑓‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐴)‘(𝑓‘𝑥)))
16		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝑓‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((projℎ‘𝐵)‘(𝑓‘𝑥)))
17	9, 10, 12, 13, 14, 15, 16	chscllem4 31158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))
18	17	ex 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
19	18	alrimivv 1929	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓∀𝑧((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵)))
20		isch2 30741	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ ↔ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑧((𝑓:ℕ⟶(𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵))))
21	8, 19, 20	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +ℋ 𝐵) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394  ∀wal 1537   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3949   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  ℕcn 12218   ⇝_𝑣 chli 30445   S_ℋ csh 30446   C_ℋ cch 30447  ⊥cort 30448   +_ℋ cph 30449  proj_ℎcpjh 30455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30517  ax-hfvadd 30518  ax-hvcom 30519  ax-hvass 30520  ax-hv0cl 30521  ax-hvaddid 30522  ax-hfvmul 30523  ax-hvmulid 30524  ax-hvmulass 30525  ax-hvdistr1 30526  ax-hvdistr2 30527  ax-hvmul0 30528  ax-hfi 30597  ax-his1 30600  ax-his2 30601  ax-his3 30602  ax-his4 30603  ax-hcompl 30720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-lm 22955  df-haus 23041  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-xms 24048  df-tms 24050  df-cau 25006  df-grpo 30011  df-gid 30012  df-ginv 30013  df-gdiv 30014  df-ablo 30063  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-ba 30114  df-sm 30115  df-0v 30116  df-vs 30117  df-nmcv 30118  df-ims 30119  df-hnorm 30486  df-hba 30487  df-hvsub 30489  df-hlim 30490  df-hcau 30491  df-sh 30725  df-ch 30739  df-oc 30770  df-ch0 30771  df-shs 30826  df-pjh 30913

This theorem is referenced by:  osumi  31160