Theorem choccl 31278

Description: Closure of complement of Hilbert subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 22-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
choccl	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem choccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31196	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
2		shoccl 31277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476   S_ℋ csh 30900   C_ℋ cch 30901  ⊥cort 30902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080  ax-mulf 11081  ax-hilex 30971  ax-hfvadd 30972  ax-hvcom 30973  ax-hvass 30974  ax-hv0cl 30975  ax-hvaddid 30976  ax-hfvmul 30977  ax-hvmulid 30978  ax-hvmulass 30979  ax-hvdistr1 30980  ax-hvdistr2 30981  ax-hvmul0 30982  ax-hfi 31051  ax-his1 31054  ax-his2 31055  ax-his3 31056  ax-his4 31057  ax-hcompl 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-sum 15589  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-lm 23139  df-haus 23225  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cau 25178  df-grpo 30465  df-gid 30466  df-ginv 30467  df-gdiv 30468  df-ablo 30517  df-vc 30531  df-nv 30564  df-va 30567  df-ba 30568  df-sm 30569  df-0v 30570  df-vs 30571  df-nmcv 30572  df-ims 30573  df-dip 30673  df-hnorm 30940  df-hvsub 30943  df-hlim 30944  df-hcau 30945  df-sh 31179  df-ch 31193  df-oc 31224

This theorem is referenced by:  choccli  31279  pjhtheu2  31388  pjpjpre  31391  pjpjhth  31397  pjop  31399  pjpo  31400  pjoccl  31405  chssoc  31468  chsscon1  31473  chpsscon1  31476  chpsscon2  31477  chdmm2  31498  chdmm3  31499  chdmm4  31500  chdmj1  31501  chdmj2  31502  chdmj3  31503  chdmj4  31504  spansnch  31532  pjspansn  31549  cmcm2  31588  fh1  31590  fh2  31591  cm2j  31592  pjorthi  31641  pjo  31643  pjocvec  31669  hstoc  32194  hstnmoc  32195  hstle1  32198  hst1h  32199  hstle  32202  hstoh  32204  cvcon3  32256  dmdmd  32272  mddmd  32273  ssdmd1  32285  ssdmd2  32286  cvdmd  32309  h1da  32321  atom1d  32325  chirredlem1  32362  chirredlem2  32363  dmdsym  32385