Theorem choccl 29655

Description: Closure of complement of Hilbert subspace. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 22-Jul-2001.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
choccl	⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Proof of Theorem choccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 29573	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → 𝐴 ∈ Sℋ )
2		shoccl 29654	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6428   S_ℋ csh 29277   C_ℋ cch 29278  ⊥cort 29279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-inf2 9388  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937  ax-pre-sup 10938  ax-addf 10939  ax-mulf 10940  ax-hilex 29348  ax-hfvadd 29349  ax-hvcom 29350  ax-hvass 29351  ax-hv0cl 29352  ax-hvaddid 29353  ax-hfvmul 29354  ax-hvmulid 29355  ax-hvmulass 29356  ax-hvdistr1 29357  ax-hvdistr2 29358  ax-hvmul0 29359  ax-hfi 29428  ax-his1 29431  ax-his2 29432  ax-his3 29433  ax-his4 29434  ax-hcompl 29551

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-se 5542  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-isom 6437  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-er 8487  df-map 8606  df-pm 8607  df-ixp 8675  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-fsupp 9118  df-fi 9159  df-sup 9190  df-inf 9191  df-oi 9258  df-card 9686  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-div 11622  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-4 12027  df-5 12028  df-6 12029  df-7 12030  df-8 12031  df-9 12032  df-n0 12223  df-z 12309  df-dec 12427  df-uz 12572  df-q 12678  df-rp 12720  df-xneg 12837  df-xadd 12838  df-xmul 12839  df-ioo 13072  df-icc 13075  df-fz 13229  df-fzo 13372  df-seq 13711  df-exp 13772  df-hash 14034  df-cj 14799  df-re 14800  df-im 14801  df-sqrt 14935  df-abs 14936  df-clim 15186  df-sum 15387  df-struct 16837  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-ress 16931  df-plusg 16964  df-mulr 16965  df-starv 16966  df-sca 16967  df-vsca 16968  df-ip 16969  df-tset 16970  df-ple 16971  df-ds 16973  df-unif 16974  df-hom 16975  df-cco 16976  df-rest 17122  df-topn 17123  df-0g 17141  df-gsum 17142  df-topgen 17143  df-pt 17144  df-prds 17147  df-xrs 17202  df-qtop 17207  df-imas 17208  df-xps 17210  df-mre 17284  df-mrc 17285  df-acs 17287  df-mgm 18315  df-sgrp 18364  df-mnd 18375  df-submnd 18420  df-mulg 18690  df-cntz 18912  df-cmn 19377  df-psmet 20578  df-xmet 20579  df-met 20580  df-bl 20581  df-mopn 20582  df-cnfld 20587  df-top 22032  df-topon 22049  df-topsp 22071  df-bases 22085  df-cn 22367  df-cnp 22368  df-lm 22369  df-haus 22455  df-tx 22702  df-hmeo 22895  df-xms 23462  df-ms 23463  df-tms 23464  df-cau 24409  df-grpo 28842  df-gid 28843  df-ginv 28844  df-gdiv 28845  df-ablo 28894  df-vc 28908  df-nv 28941  df-va 28944  df-ba 28945  df-sm 28946  df-0v 28947  df-vs 28948  df-nmcv 28949  df-ims 28950  df-dip 29050  df-hnorm 29317  df-hvsub 29320  df-hlim 29321  df-hcau 29322  df-sh 29556  df-ch 29570  df-oc 29601

This theorem is referenced by:  choccli  29656  pjhtheu2  29765  pjpjpre  29768  pjpjhth  29774  pjop  29776  pjpo  29777  pjoccl  29782  chssoc  29845  chsscon1  29850  chpsscon1  29853  chpsscon2  29854  chdmm2  29875  chdmm3  29876  chdmm4  29877  chdmj1  29878  chdmj2  29879  chdmj3  29880  chdmj4  29881  spansnch  29909  pjspansn  29926  cmcm2  29965  fh1  29967  fh2  29968  cm2j  29969  pjorthi  30018  pjo  30020  pjocvec  30046  hstoc  30571  hstnmoc  30572  hstle1  30575  hst1h  30576  hstle  30579  hstoh  30581  cvcon3  30633  dmdmd  30649  mddmd  30650  ssdmd1  30662  ssdmd2  30663  cvdmd  30686  h1da  30698  atom1d  30702  chirredlem1  30739  chirredlem2  30740  dmdsym  30762