MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfac14lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dfac14lem 23341
Description: Lemma for dfac14 23342. By equipping 𝑆 βˆͺ {𝑃} for some 𝑃 βˆ‰ 𝑆 with the particular point topology, we can show that 𝑃 is in the closure of 𝑆; hence the sequence 𝑃(π‘₯) is in the product of the closures, and we can utilize this instance of ptcls 23340 to extract an element of the closure of Xπ‘˜ ∈ 𝐼𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dfac14lem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
dfac14lem.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
dfac14lem.0 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
dfac14lem.p 𝑃 = 𝒫 βˆͺ 𝑆
dfac14lem.r 𝑅 = {𝑦 ∈ 𝒫 (𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∣ (𝑃 ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}))}
dfac14lem.j 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
dfac14lem.c (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
dfac14lem (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   𝑦,𝑃   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝑆
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝑃(π‘₯)   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯)   𝐼(𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem dfac14lem
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2w 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑃 ∈ 𝑦 ↔ 𝑃 ∈ 𝑧))
2 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑦 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}) ↔ 𝑧 = (𝑆 βˆͺ {𝑃})))
31, 2imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((𝑃 ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 = (𝑆 βˆͺ {𝑃})) ↔ (𝑃 ∈ 𝑧 β†’ 𝑧 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}))))
4 dfac14lem.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = {𝑦 ∈ 𝒫 (𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∣ (𝑃 ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}))}
53, 4elrab2 3685 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑅 ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 (𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∧ (𝑃 ∈ 𝑧 β†’ 𝑧 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}))))
6 dfac14lem.0 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
76adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑆 βˆͺ {𝑃})) β†’ 𝑆 β‰  βˆ…)
8 ineq1 4204 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) = ((𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∩ 𝑆))
9 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 βŠ† (𝑆 βˆͺ {𝑃})
10 sseqin2 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 βŠ† (𝑆 βˆͺ {𝑃}) ↔ ((𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∩ 𝑆) = 𝑆)
119, 10mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∩ 𝑆) = 𝑆
128, 11eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) = 𝑆)
1312neeq1d 2998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}) β†’ ((𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ… ↔ 𝑆 β‰  βˆ…))
147, 13syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑆 βˆͺ {𝑃})) β†’ (𝑧 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
1514imim2d 57 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 (𝑆 βˆͺ {𝑃})) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑧 β†’ 𝑧 = (𝑆 βˆͺ {𝑃})) β†’ (𝑃 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
1615expimpd 452 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑧 ∈ 𝒫 (𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∧ (𝑃 ∈ 𝑧 β†’ 𝑧 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}))) β†’ (𝑃 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
175, 16biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑧 ∈ 𝑅 β†’ (𝑃 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
1817ralrimiv 3143 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 (𝑃 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
19 dfac14lem.s . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
20 snex 5430 . . . . . . . . . . . 12 {𝑃} ∈ V
21 unexg 7738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ π‘Š ∧ {𝑃} ∈ V) β†’ (𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∈ V)
2219, 20, 21sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∈ V)
23 ssun2 4172 . . . . . . . . . . . 12 {𝑃} βŠ† (𝑆 βˆͺ {𝑃})
24 dfac14lem.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = 𝒫 βˆͺ 𝑆
25 uniexg 7732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
26 pwexg 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ 𝑆 ∈ V β†’ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ V)
2719, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝒫 βˆͺ 𝑆 ∈ V)
2824, 27eqeltrid 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑃 ∈ V)
29 snidg 4661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ V β†’ 𝑃 ∈ {𝑃})
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑃 ∈ {𝑃})
3123, 30sselid 3979 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑃 ∈ (𝑆 βˆͺ {𝑃}))
32 epttop 22732 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∈ V ∧ 𝑃 ∈ (𝑆 βˆͺ {𝑃})) β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 (𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∣ (𝑃 ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}))} ∈ (TopOnβ€˜(𝑆 βˆͺ {𝑃})))
3322, 31, 32syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 (𝑆 βˆͺ {𝑃}) ∣ (𝑃 ∈ 𝑦 β†’ 𝑦 = (𝑆 βˆͺ {𝑃}))} ∈ (TopOnβ€˜(𝑆 βˆͺ {𝑃})))
344, 33eqeltrid 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(𝑆 βˆͺ {𝑃})))
35 topontop 22635 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(𝑆 βˆͺ {𝑃})) β†’ 𝑅 ∈ Top)
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Top)
37 toponuni 22636 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(𝑆 βˆͺ {𝑃})) β†’ (𝑆 βˆͺ {𝑃}) = βˆͺ 𝑅)
3834, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 βˆͺ {𝑃}) = βˆͺ 𝑅)
399, 38sseqtrid 4033 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝑅)
4031, 38eleqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝑅)
41 eqid 2730 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
4241elcls 22797 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝑅 ∧ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝑅) β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 (𝑃 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
4336, 39, 40, 42syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑃 ∈ ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑅 (𝑃 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
4418, 43mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑃 ∈ ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†))
4544ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑃 ∈ ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†))
46 dfac14lem.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
47 mptelixpg 8931 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑃) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑃 ∈ ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†)))
4846, 47syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑃) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑃 ∈ ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†)))
4945, 48mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑃) ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†))
5049ne0d 4334 . . 3 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†) β‰  βˆ…)
51 dfac14lem.c . . 3 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 ((clsβ€˜π‘…)β€˜π‘†))
5234ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(𝑆 βˆͺ {𝑃})))
53 dfac14lem.j . . . . . 6 𝐽 = (∏tβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
5453pttopon 23320 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(𝑆 βˆͺ {𝑃}))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (𝑆 βˆͺ {𝑃})))
5546, 52, 54syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (𝑆 βˆͺ {𝑃})))
56 topontop 22635 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (𝑆 βˆͺ {𝑃})) β†’ 𝐽 ∈ Top)
57 cls0 22804 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ…) = βˆ…)
5855, 56, 573syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ…) = βˆ…)
5950, 51, 583netr4d 3016 . 2 (πœ‘ β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆) β‰  ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ…))
60 fveq2 6890 . . 3 (Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 = βˆ… β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆) = ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ…))
6160necon3i 2971 . 2 (((clsβ€˜π½)β€˜Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆) β‰  ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ…) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 β‰  βˆ…)
6259, 61syl 17 1 (πœ‘ β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝑆 β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  Xcixp 8893  βˆtcpt 17388  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  clsccl 22742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-ixp 8894  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745
This theorem is referenced by:  dfac14  23342
  Copyright terms: Public domain W3C validator