Theorem cldcls 23160

Description: A closed subset equals its own closure. (Contributed by NM, 15-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cldcls	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem cldcls

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 23144	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	cldss 23147	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
4	2	clsval 23155	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = ∩ {𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥})
5	1, 3, 4	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = ∩ {𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥})
6		intmin 4929	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∩ {𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} = 𝑆)
7	5, 6	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   ⊆ wss 3907  ∪ cuni 4868  ∩ cint 4908  ‘cfv 6525  Topctop 23011  Clsdccld 23134  clsccl 23136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-top 23012  df-cld 23137  df-cls 23139

This theorem is referenced by:  iscld3  23182  clstop  23187  clsss2  23190  cls0  23198  cncls2  23391  lmcld  23421  fclscmp  24148  metnrmlem1a  24977  lebnumlem1  25081  cmetss  25436  minveclem4  25552  hauseqcn  34205  restcls2  49543