Theorem cldcls 22929

Description: A closed subset equals its own closure. (Contributed by NM, 15-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cldcls	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem cldcls

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 22913	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3	2	cldss 22916	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
4	2	clsval 22924	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = ∩ {𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥})
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = ∩ {𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥})
6		intmin 4932	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∩ {𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∣ 𝑆 ⊆ 𝑥} = 𝑆)
7	5, 6	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871  ∩ cint 4910  ‘cfv 6511  Topctop 22780  Clsdccld 22903  clsccl 22905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-top 22781  df-cld 22906  df-cls 22908

This theorem is referenced by:  iscld3  22951  clstop  22956  clsss2  22959  cls0  22967  cncls2  23160  lmcld  23190  fclscmp  23917  metnrmlem1a  24747  lebnumlem1  24860  cmetss  25216  minveclem4  25332  hauseqcn  33888  restcls2  48902