Theorem cnextrel 23549

Description: In the general case, a continuous extension is a relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextfrel.1	⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
cnextfrel.2	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnextrel	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Rel ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))

Proof of Theorem cnextrel

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5693	. . . 4 ⊢ Rel ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
2	1	rgenw 3066	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)Rel ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
3		reliun 5814	. . 3 ⊢ (Rel ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ ∀𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)Rel ({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
4	2, 3	mpbir 230	. 2 ⊢ Rel ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
5		cnextfrel.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
6		cnextfrel.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
7	5, 6	cnextfval 23548	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
8	7	releqd 5776	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (Rel ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ Rel ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
9	4, 8	mpbiri 258	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Rel ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ∪ cuni 4907  ∪ ciun 4996   × cxp 5673  Rel wrel 5680  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ↾_t crest 17362  Topctop 22377  clsccl 22504  neicnei 22583   fLimf cflf 23421  CnExtccnext 23545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-pm 8819  df-cnext 23546

This theorem is referenced by:  cnextfun  23550