MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfun Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnextfun 23788
Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfrel.1 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextfrel.2 𝐡 = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnextfun (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
Proof of Theorem cnextfun
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 23055 . . 3 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
2 cnextfrel.1 . . . 4 𝐢 = βˆͺ 𝐽
3 cnextfrel.2 . . . 4 𝐡 = βˆͺ 𝐾
42, 3cnextrel 23787 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Rel ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
51, 4sylanl2 677 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Rel ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
6 simpllr 772 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
72toptopon 22639 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
87biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
98ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
10 simplrr 774 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
119, 7sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
122clsss3 22783 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝐢)
1311, 10, 12syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝐢)
14 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
1513, 14sseldd 3982 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
16 trnei 23616 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
1716biimpa 475 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
189, 10, 15, 14, 17syl31anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
19 simplrl 773 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
203hausflf 23721 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Haus ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
216, 18, 19, 20syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
2221ex 411 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
2322alrimiv 1928 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
24 moanimv 2613 . . . . 5 (βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
2524albii 1819 . . . 4 (βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
2623, 25sylibr 233 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
27 df-br 5148 . . . . . . 7 (π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
2827a1i 11 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)))
292, 3cnextfval 23786 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
301, 29sylanl2 677 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
3130eleq2d 2817 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
32 opeliunxp 5742 . . . . . . 7 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
3332a1i 11 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
3428, 31, 333bitrd 304 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
3534mobidv 2541 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (βˆƒ*𝑦 π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦 ↔ βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
3635albidv 1921 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦 ↔ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
3726, 36mpbird 256 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦)
38 dffun6 6555 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ↔ (Rel ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ∧ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦))
395, 37, 38sylanbrc 581 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒ*wmo 2530   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  Rel wrel 5680  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  clsccl 22742  neicnei 22821  Hauscha 23032  Filcfil 23569   fLimf cflf 23659  CnExtccnext 23783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-pm 8825  df-rest 17372  df-fbas 21141  df-top 22616  df-topon 22633  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-haus 23039  df-fil 23570  df-flim 23663  df-flf 23664  df-cnext 23784
This theorem is referenced by:  cnextfvval  23789  cnextf  23790  cnextfres  23793
  Copyright terms: Public domain W3C validator