Theorem cnextfun 24202

Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextfrel.1	⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
cnextfrel.2	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnextfun	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))

Proof of Theorem cnextfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 23469	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
2		cnextfrel.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
3		cnextfrel.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
4	2, 3	cnextrel 24201	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Rel ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
5	1, 4	sylanl2 693	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Rel ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
6		simpllr 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐾 ∈ Haus)
7	2	toptopon 23055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
8	7	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
9	8	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
10		simplrr 789	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11	9, 7	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
12	2	clsss3 23197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ⊆ 𝐶)
13	11, 10, 12	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ⊆ 𝐶)
14		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
15	13, 14	sseldd 3939	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
16		trnei 24030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
17	16	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
18	9, 10, 15, 14, 17	syl31anc 1400	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
19		simplrl 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
20	3	hausflf 24135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
21	6, 18, 19, 20	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
22	21	ex 417	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
23	22	alrimiv 1957	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
24		moanimv 2647	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
25	24	albii 1849	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
26	23, 25	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
27		df-br 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)))
29	2, 3	cnextfval 24200	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
30	1, 29	sylanl2 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
31	30	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
32		opeliunxp 5730	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
34	28, 31, 33	3bitrd 308	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
35	34	mobidv 2577	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (∃*𝑦 𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
36	35	albidv 1950	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦 ↔ ∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
37	26, 36	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦)
38		dffun6 6549	. 2 ⊢ (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ (Rel ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦))
39	5, 37, 38	sylanbrc 594	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃*wmo 2565   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ⟨cop 4596  ∪ cuni 4873  ∪ ciun 4957   class class class wbr 5110   × cxp 5661  Rel wrel 5668  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17474  Topctop 23031  TopOnctopon 23048  clsccl 23156  neicnei 23235  Hauscha 23446  Filcfil 23983   fLimf cflf 24073  CnExtccnext 24197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8827  df-pm 8828  df-rest 17476  df-fbas 21500  df-top 23032  df-topon 23049  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-haus 23453  df-fil 23984  df-flim 24077  df-flf 24078  df-cnext 24198

This theorem is referenced by:  cnextfvval  24203  cnextf  24204  cnextfres  24207