Theorem cnextfun 23981

Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextfrel.1	⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
cnextfrel.2	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnextfun	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))

Proof of Theorem cnextfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 23248	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
2		cnextfrel.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
3		cnextfrel.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
4	2, 3	cnextrel 23980	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Rel ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
5	1, 4	sylanl2 680	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Rel ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
6		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐾 ∈ Haus)
7	2	toptopon 22832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
8	7	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
9	8	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
10		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11	9, 7	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
12	2	clsss3 22976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ⊆ 𝐶)
13	11, 10, 12	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ⊆ 𝐶)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
15	13, 14	sseldd 3981	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
16		trnei 23809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
17	16	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
18	9, 10, 15, 14, 17	syl31anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
19		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
20	3	hausflf 23914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
21	6, 18, 19, 20	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
22	21	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
23	22	alrimiv 1923	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ∀𝑥(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
24		moanimv 2611	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
25	24	albii 1814	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
26	23, 25	sylibr 233	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
27		df-br 5149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)))
29	2, 3	cnextfval 23979	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
30	1, 29	sylanl2 680	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
31	30	eleq2d 2815	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
32		opeliunxp 5745	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
34	28, 31, 33	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
35	34	mobidv 2539	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (∃*𝑦 𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
36	35	albidv 1916	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → (∀𝑥∃*𝑦 𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦 ↔ ∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))))
37	26, 36	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦)
38		dffun6 6561	. 2 ⊢ (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ↔ (Rel ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)𝑦))
39	5, 37, 38	sylanbrc 582	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085  ∀wal 1532   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃*wmo 2528   ⊆ wss 3947  {csn 4629  ⟨cop 4635  ∪ cuni 4908  ∪ ciun 4996   class class class wbr 5148   × cxp 5676  Rel wrel 5683  Fun wfun 6542  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17402  Topctop 22808  TopOnctopon 22825  clsccl 22935  neicnei 23014  Hauscha 23225  Filcfil 23762   fLimf cflf 23852  CnExtccnext 23976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8847  df-pm 8848  df-rest 17404  df-fbas 21276  df-top 22809  df-topon 22826  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-haus 23232  df-fil 23763  df-flim 23856  df-flf 23857  df-cnext 23977

This theorem is referenced by:  cnextfvval  23982  cnextf  23983  cnextfres  23986