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Theorem cnextfun 23438
Description: If the target space is Hausdorff, a continuous extension is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfrel.1 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextfrel.2 𝐡 = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnextfun (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))

Proof of Theorem cnextfun
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 22705 . . 3 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
2 cnextfrel.1 . . . 4 𝐢 = βˆͺ 𝐽
3 cnextfrel.2 . . . 4 𝐡 = βˆͺ 𝐾
42, 3cnextrel 23437 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Rel ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
51, 4sylanl2 680 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Rel ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
6 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ 𝐾 ∈ Haus)
72toptopon 22289 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
87biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
98ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
10 simplrr 777 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
119, 7sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
122clsss3 22433 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝐢)
1311, 10, 12syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) βŠ† 𝐢)
14 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
1513, 14sseldd 3949 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
16 trnei 23266 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄)))
1716biimpa 478 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜πΆ) ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
189, 10, 15, 14, 17syl31anc 1374 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄))
19 simplrl 776 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
203hausflf 23371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Haus ∧ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) ∈ (Filβ€˜π΄) ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
216, 18, 19, 20syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) ∧ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
2221ex 414 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
2322alrimiv 1931 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
24 moanimv 2616 . . . . 5 (βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
2524albii 1822 . . . 4 (βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
2623, 25sylibr 233 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
27 df-br 5110 . . . . . . 7 (π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
2827a1i 11 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦 ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)))
292, 3cnextfval 23436 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
301, 29sylanl2 680 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
3130eleq2d 2820 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ↔ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
32 opeliunxp 5703 . . . . . . 7 (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
3332a1i 11 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
3428, 31, 333bitrd 305 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
3534mobidv 2544 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (βˆƒ*𝑦 π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦 ↔ βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
3635albidv 1924 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ (βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦 ↔ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))))
3726, 36mpbird 257 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦)
38 dffun6 6513 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ↔ (Rel ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) ∧ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)𝑦))
395, 37, 38sylanbrc 584 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2533   βŠ† wss 3914  {csn 4590  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  Rel wrel 5642  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   β†Ύt crest 17310  Topctop 22265  TopOnctopon 22282  clsccl 22392  neicnei 22471  Hauscha 22682  Filcfil 23219   fLimf cflf 23309  CnExtccnext 23433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-pm 8774  df-rest 17312  df-fbas 20816  df-top 22266  df-topon 22283  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-haus 22689  df-fil 23220  df-flim 23313  df-flf 23314  df-cnext 23434
This theorem is referenced by:  cnextfvval  23439  cnextf  23440  cnextfres  23443
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