Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem57 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem57 42210
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. In this theorem, it is proven the non-trivial case (the closed set D is nonempty). Here D is used to represent A in the paper, because the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem57.1 𝑡𝐷
stoweidlem57.2 𝑡𝑈
stoweidlem57.3 𝑡𝜑
stoweidlem57.4 𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
stoweidlem57.5 𝑉 = {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
stoweidlem57.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem57.7 𝑇 = 𝐽
stoweidlem57.8 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem57.9 𝑈 = (𝑇𝐵)
stoweidlem57.10 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem57.11 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem57.12 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.13 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.14 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.15 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem57.16 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem57.17 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem57.18 (𝜑 → (𝐵𝐷) = ∅)
stoweidlem57.19 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
stoweidlem57.20 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem57.21 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem57 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑎,𝑓,𝑡   𝑞,𝑎,𝑟,𝑓,𝑡,𝐴   𝐴,𝑒,𝑓,𝑡   𝐷,𝑎,𝑒,𝑓   𝑇,𝑎,𝑒,𝑓,𝑡   𝑈,𝑎,𝑒,𝑓   𝜑,𝑎,𝑒,𝑓   𝑒,𝑔,,𝑓,𝑡,𝐴   𝑤,𝑒,,𝑡,𝐴   𝑒,𝐸,𝑓,𝑔,,𝑡   𝑔,𝑟,,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,,𝑡,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑟   𝑓,𝑉,𝑔,𝑟   𝑓,𝑌,𝑔,𝑟   𝑔,𝑞,𝐷   𝐷,,𝑟   𝑔,𝐽,,𝑡   𝑇,𝑔,,𝑟   𝑈,𝑔,,𝑟   𝜑,𝑔,,𝑟   𝑤,𝑟,𝐸   𝐴,𝑞   𝐷,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝜑,𝑞   𝑤,𝐷   𝑤,𝐵   𝑡,𝐾   𝜑,𝑤   𝑤,𝐽   𝑤,𝑇   𝑤,𝑈   𝑤,𝑌   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑡)   𝐵(𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑎)   𝐷(𝑡)   𝑈(𝑥,𝑡)   𝐸(𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑒,𝑓,𝑟,𝑞,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑎)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)   𝑌(𝑥,𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem stoweidlem57
Dummy variables 𝑠 𝑚 𝑖 𝑣 𝑦 𝑢 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem57.2 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑈
2 stoweidlem57.3 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝜑
3 stoweidlem57.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝐷
43nfcri 2975 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑠𝐷
52, 4nfan 1893 . . . . . . . . . 10 𝑡(𝜑𝑠𝐷)
6 stoweidlem57.6 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (topGen‘ran (,))
7 stoweidlem57.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝐽 ∈ Comp)
9 stoweidlem57.7 . . . . . . . . . 10 𝑇 = 𝐽
10 stoweidlem57.8 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
11 stoweidlem57.11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐶)
1211adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝐴𝐶)
13 stoweidlem57.12 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
14133adant1r 1171 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem57.13 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
16153adant1r 1171 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem57.14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
1817adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
19 stoweidlem57.15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
2019adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
21 stoweidlem57.9 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (𝑇𝐵)
22 stoweidlem57.16 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
23 cmptop 21921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
249iscld 21553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)))
257, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)))
2622, 25mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽))
2726simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)
2821, 27eqeltrid 2921 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐽)
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑈𝐽)
30 stoweidlem57.17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
319cldss 21555 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐷𝑇)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷𝑇)
3332sselda 3970 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠𝑇)
34 stoweidlem57.18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐷) = ∅)
35 disjr 4402 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝐷) = ∅ ↔ ∀𝑠𝐷 ¬ 𝑠𝐵)
3634, 35sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑠𝐷 ¬ 𝑠𝐵)
3736r19.21bi 3212 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐷) → ¬ 𝑠𝐵)
3833, 37eldifd 3950 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠 ∈ (𝑇𝐵))
3938, 21syl6eleqr 2928 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠𝑈)
401, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 29, 39stoweidlem56 42209 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐷) → ∃𝑤𝐽 ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))))
41 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑤𝐽)
42 simprll 775 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑠𝑤)
43 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))
44 stoweidlem57.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
4544rabeq2i 3492 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑉 ↔ (𝑤𝐽 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))))
4641, 43, 45sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑤𝑉)
4741, 42, 46jca32 516 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → (𝑤𝐽 ∧ (𝑠𝑤𝑤𝑉)))
4847reximi2 3248 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐽 ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))) → ∃𝑤𝐽 (𝑠𝑤𝑤𝑉))
49 rexex 3244 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐽 (𝑠𝑤𝑤𝑉) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
5040, 48, 493syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐷) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
51 nfcv 2981 . . . . . . . . 9 𝑤𝑠
52 nfrab1 3389 . . . . . . . . . 10 𝑤{𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
5344, 52nfcxfr 2979 . . . . . . . . 9 𝑤𝑉
5451, 53elunif 41140 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑉 ↔ ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
5550, 54sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠 𝑉)
5655ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠𝐷𝑠 𝑉))
5756ssrdv 3976 . . . . 5 (𝜑𝐷 𝑉)
58 cmpcld 21928 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
597, 30, 58syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
607, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Top)
619cmpsub 21926 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐷𝑇) → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
6260, 32, 61syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
6359, 62mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
64 ssrab2 4059 . . . . . . . 8 {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))} ⊆ 𝐽
6544, 64eqsstri 4004 . . . . . . 7 𝑉𝐽
6644, 7rabexd 5232 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ V)
67 elpwg 4547 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 𝐽𝑉𝐽))
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝒫 𝐽𝑉𝐽))
6965, 68mpbiri 259 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ 𝒫 𝐽)
70 unieq 4844 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑉 𝑘 = 𝑉)
7170sseq2d 4002 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑉 → (𝐷 𝑘𝐷 𝑉))
72 pweq 4544 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑉 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 𝑉)
7372ineq1d 4191 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑉 → (𝒫 𝑘 ∩ Fin) = (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
7473rexeqdv 3421 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑉 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7571, 74imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑉 → ((𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢) ↔ (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
7675rspccva 3625 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7763, 69, 76syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7857, 77mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢)
79 elinel1 4175 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑉)
80 elpwi 4553 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉𝑢𝑉)
8180ssdifssd 4122 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑢 ∖ {∅}) ⊆ 𝑉)
82 vex 3502 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ∈ V
83 difexg 5227 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ V)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∖ {∅}) ∈ V
8584elpw 4548 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉 ↔ (𝑢 ∖ {∅}) ⊆ 𝑉)
8681, 85sylibr 235 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉)
8779, 86syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉)
88 elinel2 4176 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
89 diffi 8742 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ Fin → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ Fin)
9088, 89syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ Fin)
9187, 90elind 4174 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
92913ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
93 unidif0 5256 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∖ {∅}) = 𝑢
9493sseq2i 3999 . . . . . . . 8 (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ↔ 𝐷 𝑢)
9594biimpri 229 . . . . . . 7 (𝐷 𝑢𝐷 (𝑢 ∖ {∅}))
96953ad2ant3 1129 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → 𝐷 (𝑢 ∖ {∅}))
97 eldifsni 4720 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅}) → 𝑤 ≠ ∅)
9897rgen 3152 . . . . . . 7 𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅
9998a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)
100 unieq 4844 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → 𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}))
101100sseq2d 4002 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → (𝐷 𝑟𝐷 (𝑢 ∖ {∅})))
102 raleq 3410 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → (∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅))
103101, 102anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → ((𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅) ↔ (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)))
104103rspcev 3626 . . . . . 6 (((𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)) → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
10592, 96, 99, 104syl12anc 834 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
106105rexlimdv3a 3290 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢 → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)))
10778, 106mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
108 nfv 1908 . . . . . 6 𝜑
109 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . 12 +
110 nfre1 3310 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
111109, 110nfral 3230 . . . . . . . . . . 11 𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
112 nfcv 2981 . . . . . . . . . . 11 𝐽
113111, 112nfrab 3391 . . . . . . . . . 10 {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
11444, 113nfcxfr 2979 . . . . . . . . 9 𝑉
115114nfpw 4557 . . . . . . . 8 𝒫 𝑉
116 nfcv 2981 . . . . . . . 8 Fin
117115, 116nfin 4196 . . . . . . 7 (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
118117nfcri 2975 . . . . . 6 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
119 nfv 1908 . . . . . 6 (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
120108, 118, 119nf3an 1895 . . . . 5 (𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
121 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . 12 𝑡+
122 nfcv 2981 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡𝐴
123 nfra1 3223 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)
124 nfra1 3223 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒
125 nfra1 3223 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)
126123, 124, 125nf3an 1895 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
127122, 126nfrex 3313 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
128121, 127nfral 3230 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
129 nfcv 2981 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝐽
130128, 129nfrab 3391 . . . . . . . . . 10 𝑡{𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
13144, 130nfcxfr 2979 . . . . . . . . 9 𝑡𝑉
132131nfpw 4557 . . . . . . . 8 𝑡𝒫 𝑉
133 nfcv 2981 . . . . . . . 8 𝑡Fin
134132, 133nfin 4196 . . . . . . 7 𝑡(𝒫 𝑉 ∩ Fin)
135134nfcri 2975 . . . . . 6 𝑡 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
136 nfcv 2981 . . . . . . . 8 𝑡 𝑟
1373, 136nfss 3963 . . . . . . 7 𝑡 𝐷 𝑟
138 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑡𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅
139137, 138nfan 1893 . . . . . 6 𝑡(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
1402, 135, 139nf3an 1895 . . . . 5 𝑡(𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
141 nfv 1908 . . . . . 6 𝑤𝜑
14253nfpw 4557 . . . . . . . 8 𝑤𝒫 𝑉
143 nfcv 2981 . . . . . . . 8 𝑤Fin
144142, 143nfin 4196 . . . . . . 7 𝑤(𝒫 𝑉 ∩ Fin)
145144nfcri 2975 . . . . . 6 𝑤 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
146 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑤 𝐷 𝑟
147 nfra1 3223 . . . . . . 7 𝑤𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅
148146, 147nfan 1893 . . . . . 6 𝑤(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
149141, 145, 148nf3an 1895 . . . . 5 𝑤(𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
150 stoweidlem57.4 . . . . 5 𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
151 simp2 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
152 simp3l 1195 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐷 𝑟)
153 stoweidlem57.19 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
1541533ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐷 ≠ ∅)
155 stoweidlem57.20 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1561553ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
15726simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑇)
1581573ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐵𝑇)
159663ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝑉 ∈ V)
160 retop 23287 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
1616, 160eqeltri 2913 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
162 cnfex 41152 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
16360, 161, 162sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
16411, 10syl6sseq 4020 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
165163, 164ssexd 5224 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
1661653ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ V)
167120, 140, 149, 21, 150, 44, 151, 152, 154, 156, 158, 159, 166stoweidlem39 42192 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
168167rexlimdv3a 3290 . . 3 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))))
169107, 168mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
170 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
171 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑖 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
172 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑖 𝐷 ran 𝑣
173 nfv 1908 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌
174 nfra1 3223 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
175173, 174nfan 1893 . . . . . . . . 9 𝑖(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
176175nfex 2337 . . . . . . . 8 𝑖𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
177171, 172, 176nf3an 1895 . . . . . . 7 𝑖(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
178170, 177nfan 1893 . . . . . 6 𝑖((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
179 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑡 𝑚 ∈ ℕ
1802, 179nfan 1893 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
181 nfcv 2981 . . . . . . . . 9 𝑡𝑣
182 nfcv 2981 . . . . . . . . 9 𝑡(1...𝑚)
183181, 182, 131nff 6506 . . . . . . . 8 𝑡 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
184 nfcv 2981 . . . . . . . . 9 𝑡 ran 𝑣
1853, 184nfss 3963 . . . . . . . 8 𝑡 𝐷 ran 𝑣
186 nfcv 2981 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑦
187123, 122nfrab 3391 . . . . . . . . . . . 12 𝑡{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
188150, 187nfcxfr 2979 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑌
189186, 182, 188nff 6506 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌
190 nfra1 3223 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚)
191 nfra1 3223 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)
192190, 191nfan 1893 . . . . . . . . . . 11 𝑡(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
193182, 192nfral 3230 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
194189, 193nfan 1893 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
195194nfex 2337 . . . . . . . 8 𝑡𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
196183, 185, 195nf3an 1895 . . . . . . 7 𝑡(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
197180, 196nfan 1893 . . . . . 6 𝑡((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
198 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑦(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
199 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑦 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
200 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑦 𝐷 ran 𝑣
201 nfe1 2147 . . . . . . . 8 𝑦𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
202199, 200, 201nf3an 1895 . . . . . . 7 𝑦(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
203198, 202nfan 1893 . . . . . 6 𝑦((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
204 nfv 1908 . . . . . . 7 𝑤(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
205 nfcv 2981 . . . . . . . . 9 𝑤𝑣
206 nfcv 2981 . . . . . . . . 9 𝑤(1...𝑚)
207205, 206, 53nff 6506 . . . . . . . 8 𝑤 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
208 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑤 𝐷 ran 𝑣
209 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑤𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
210207, 208, 209nf3an 1895 . . . . . . 7 𝑤(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
211204, 210nfan 1893 . . . . . 6 𝑤((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
212 eqid 2825 . . . . . 6 {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
213 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}, 𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)))) = (𝑓 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}, 𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
214 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
215 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , ((𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))‘𝑚)) = (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , ((𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))‘𝑚))
216 simp1ll 1230 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → 𝜑)
217216, 15syld3an1 1404 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
21811sselda 3970 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓𝐶)
2196, 9, 10, 218fcnre 41149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
220219ad4ant14 748 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
221 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℕ)
222 simpr1 1188 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉)
2239cldss 21555 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐵𝑇)
22422, 223syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑇)
225224ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐵𝑇)
226 simpr2 1189 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐷 ran 𝑣)
22732ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐷𝑇)
228 feq3 6493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} → (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}))
229150, 228ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)})
230229biimpi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)})
231230anim1i 614 . . . . . . . . 9 ((𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))) → (𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
232231eximi 1828 . . . . . . . 8 (∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
2332323ad2ant3 1129 . . . . . . 7 ((𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
234233adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
235 uniexg 7460 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ V)
2367, 235syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐽 ∈ V)
2379, 236eqeltrid 2921 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ V)
238237ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑇 ∈ V)
239155ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
240 stoweidlem57.21 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
241240ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐸 < (1 / 3))
242178, 197, 203, 211, 9, 212, 213, 214, 215, 44, 217, 220, 221, 222, 225, 226, 227, 234, 238, 239, 241stoweidlem54 42207 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
243242ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
244243exlimdv 1927 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
245244rexlimdva 3288 . 2 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
246169, 245mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wex 1773  wnf 1777  wcel 2107  wnfc 2965  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  {crab 3146  Vcvv 3499  cdif 3936  cin 3938  wss 3939  c0 4294  𝒫 cpw 4541  {csn 4563   cuni 4836   class class class wbr 5062  cmpt 5142  ran crn 5554  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cmpo 7153  Fincfn 8501  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  cn 11630  3c3 11685  +crp 12382  (,)cioo 12731  ...cfz 12885  seqcseq 13362  t crest 16686  topGenctg 16703  Topctop 21419  Clsdccld 21542   Cn ccn 21750  Compccmp 21912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-cnfld 20464  df-top 21420  df-topon 21437  df-topsp 21459  df-bases 21472  df-cld 21545  df-cn 21753  df-cnp 21754  df-cmp 21913  df-tx 22088  df-hmeo 22281  df-xms 22847  df-ms 22848  df-tms 22849
This theorem is referenced by:  stoweidlem58  42211
  Copyright terms: Public domain W3C validator