Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem57 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem57 46013
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. In this theorem, it is proven the non-trivial case (the closed set D is nonempty). Here D is used to represent A in the paper, because the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem57.1 𝑡𝐷
stoweidlem57.2 𝑡𝑈
stoweidlem57.3 𝑡𝜑
stoweidlem57.4 𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
stoweidlem57.5 𝑉 = {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
stoweidlem57.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem57.7 𝑇 = 𝐽
stoweidlem57.8 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem57.9 𝑈 = (𝑇𝐵)
stoweidlem57.10 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem57.11 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem57.12 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.13 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.14 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.15 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem57.16 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem57.17 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem57.18 (𝜑 → (𝐵𝐷) = ∅)
stoweidlem57.19 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
stoweidlem57.20 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem57.21 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem57 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑎,𝑓,𝑡   𝑞,𝑎,𝑟,𝑓,𝑡,𝐴   𝐴,𝑒,𝑓,𝑡   𝐷,𝑎,𝑒,𝑓   𝑇,𝑎,𝑒,𝑓,𝑡   𝑈,𝑎,𝑒,𝑓   𝜑,𝑎,𝑒,𝑓   𝑒,𝑔,,𝑓,𝑡,𝐴   𝑤,𝑒,,𝑡,𝐴   𝑒,𝐸,𝑓,𝑔,,𝑡   𝑔,𝑟,,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,,𝑡,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑟   𝑓,𝑉,𝑔,𝑟   𝑓,𝑌,𝑔,𝑟   𝑔,𝑞,𝐷   𝐷,,𝑟   𝑔,𝐽,,𝑡   𝑇,𝑔,,𝑟   𝑈,𝑔,,𝑟   𝜑,𝑔,,𝑟   𝑤,𝑟,𝐸   𝐴,𝑞   𝐷,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝜑,𝑞   𝑤,𝐷   𝑤,𝐵   𝑡,𝐾   𝜑,𝑤   𝑤,𝐽   𝑤,𝑇   𝑤,𝑈   𝑤,𝑌   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑡)   𝐵(𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑎)   𝐷(𝑡)   𝑈(𝑥,𝑡)   𝐸(𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑒,𝑓,𝑟,𝑞,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑎)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)   𝑌(𝑥,𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem stoweidlem57
Dummy variables 𝑠 𝑚 𝑖 𝑣 𝑦 𝑢 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem57.2 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑈
2 stoweidlem57.3 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝜑
3 stoweidlem57.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝐷
43nfcri 2895 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑠𝐷
52, 4nfan 1897 . . . . . . . . . 10 𝑡(𝜑𝑠𝐷)
6 stoweidlem57.6 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (topGen‘ran (,))
7 stoweidlem57.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝐽 ∈ Comp)
9 stoweidlem57.7 . . . . . . . . . 10 𝑇 = 𝐽
10 stoweidlem57.8 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
11 stoweidlem57.11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐶)
1211adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝐴𝐶)
13 stoweidlem57.12 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
14133adant1r 1176 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem57.13 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
16153adant1r 1176 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem57.14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
1817adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
19 stoweidlem57.15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
2019adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
21 stoweidlem57.9 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (𝑇𝐵)
22 stoweidlem57.16 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
23 cmptop 23419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
249iscld 23051 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)))
257, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)))
2622, 25mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽))
2726simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)
2821, 27eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐽)
2928adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑈𝐽)
30 stoweidlem57.17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
319cldss 23053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐷𝑇)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷𝑇)
3332sselda 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠𝑇)
34 stoweidlem57.18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐷) = ∅)
35 disjr 4457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝐷) = ∅ ↔ ∀𝑠𝐷 ¬ 𝑠𝐵)
3634, 35sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑠𝐷 ¬ 𝑠𝐵)
3736r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐷) → ¬ 𝑠𝐵)
3833, 37eldifd 3974 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠 ∈ (𝑇𝐵))
3938, 21eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠𝑈)
401, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 29, 39stoweidlem56 46012 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐷) → ∃𝑤𝐽 ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))))
41 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑤𝐽)
42 simprll 779 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑠𝑤)
43 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))
44 stoweidlem57.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
4544reqabi 3457 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑉 ↔ (𝑤𝐽 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))))
4641, 43, 45sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑤𝑉)
4741, 42, 46jca32 515 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → (𝑤𝐽 ∧ (𝑠𝑤𝑤𝑉)))
4847reximi2 3077 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐽 ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))) → ∃𝑤𝐽 (𝑠𝑤𝑤𝑉))
49 rexex 3074 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐽 (𝑠𝑤𝑤𝑉) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
5040, 48, 493syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐷) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
51 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑤𝑠
52 nfrab1 3454 . . . . . . . . . 10 𝑤{𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
5344, 52nfcxfr 2901 . . . . . . . . 9 𝑤𝑉
5451, 53elunif 44954 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑉 ↔ ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
5550, 54sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠 𝑉)
5655ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠𝐷𝑠 𝑉))
5756ssrdv 4001 . . . . 5 (𝜑𝐷 𝑉)
58 cmpcld 23426 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
597, 30, 58syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
607, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Top)
619cmpsub 23424 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐷𝑇) → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
6260, 32, 61syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
6359, 62mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
64 ssrab2 4090 . . . . . . . 8 {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))} ⊆ 𝐽
6544, 64eqsstri 4030 . . . . . . 7 𝑉𝐽
6644, 7rabexd 5346 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ V)
67 elpwg 4608 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 𝐽𝑉𝐽))
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝒫 𝐽𝑉𝐽))
6965, 68mpbiri 258 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ 𝒫 𝐽)
70 unieq 4923 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑉 𝑘 = 𝑉)
7170sseq2d 4028 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑉 → (𝐷 𝑘𝐷 𝑉))
72 pweq 4619 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑉 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 𝑉)
7372ineq1d 4227 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑉 → (𝒫 𝑘 ∩ Fin) = (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
7473rexeqdv 3325 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑉 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7571, 74imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑉 → ((𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢) ↔ (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
7675rspccva 3621 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7763, 69, 76syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7857, 77mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢)
79 elinel1 4211 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑉)
80 elpwi 4612 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉𝑢𝑉)
8180ssdifssd 4157 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑢 ∖ {∅}) ⊆ 𝑉)
82 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ∈ V
83 difexg 5335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ V)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∖ {∅}) ∈ V
8584elpw 4609 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉 ↔ (𝑢 ∖ {∅}) ⊆ 𝑉)
8681, 85sylibr 234 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉)
8779, 86syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉)
88 elinel2 4212 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
89 diffi 9214 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ Fin → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ Fin)
9088, 89syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ Fin)
9187, 90elind 4210 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
92913ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
93 unidif0 5366 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∖ {∅}) = 𝑢
9493sseq2i 4025 . . . . . . . 8 (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ↔ 𝐷 𝑢)
9594biimpri 228 . . . . . . 7 (𝐷 𝑢𝐷 (𝑢 ∖ {∅}))
96953ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → 𝐷 (𝑢 ∖ {∅}))
97 eldifsni 4795 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅}) → 𝑤 ≠ ∅)
9897rgen 3061 . . . . . . 7 𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅
9998a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)
100 unieq 4923 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → 𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}))
101100sseq2d 4028 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → (𝐷 𝑟𝐷 (𝑢 ∖ {∅})))
102 raleq 3321 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → (∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅))
103101, 102anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → ((𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅) ↔ (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)))
104103rspcev 3622 . . . . . 6 (((𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)) → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
10592, 96, 99, 104syl12anc 837 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
106105rexlimdv3a 3157 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢 → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)))
10778, 106mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
108 nfv 1912 . . . . . 6 𝜑
109 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 +
110 nfre1 3283 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
111109, 110nfralw 3309 . . . . . . . . . . 11 𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
112 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝐽
113111, 112nfrabw 3473 . . . . . . . . . 10 {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
11444, 113nfcxfr 2901 . . . . . . . . 9 𝑉
115114nfpw 4624 . . . . . . . 8 𝒫 𝑉
116 nfcv 2903 . . . . . . . 8 Fin
117115, 116nfin 4232 . . . . . . 7 (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
118117nfcri 2895 . . . . . 6 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
119 nfv 1912 . . . . . 6 (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
120108, 118, 119nf3an 1899 . . . . 5 (𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
121 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑡+
122 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡𝐴
123 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)
124 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒
125 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)
126123, 124, 125nf3an 1899 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
127122, 126nfrexw 3311 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
128121, 127nfralw 3309 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
129 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝐽
130128, 129nfrabw 3473 . . . . . . . . . 10 𝑡{𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
13144, 130nfcxfr 2901 . . . . . . . . 9 𝑡𝑉
132131nfpw 4624 . . . . . . . 8 𝑡𝒫 𝑉
133 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑡Fin
134132, 133nfin 4232 . . . . . . 7 𝑡(𝒫 𝑉 ∩ Fin)
135134nfcri 2895 . . . . . 6 𝑡 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
136 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑡 𝑟
1373, 136nfss 3988 . . . . . . 7 𝑡 𝐷 𝑟
138 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑡𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅
139137, 138nfan 1897 . . . . . 6 𝑡(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
1402, 135, 139nf3an 1899 . . . . 5 𝑡(𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
141 nfv 1912 . . . . . 6 𝑤𝜑
14253nfpw 4624 . . . . . . . 8 𝑤𝒫 𝑉
143 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑤Fin
144142, 143nfin 4232 . . . . . . 7 𝑤(𝒫 𝑉 ∩ Fin)
145144nfcri 2895 . . . . . 6 𝑤 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
146 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑤 𝐷 𝑟
147 nfra1 3282 . . . . . . 7 𝑤𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅
148146, 147nfan 1897 . . . . . 6 𝑤(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
149141, 145, 148nf3an 1899 . . . . 5 𝑤(𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
150 stoweidlem57.4 . . . . 5 𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
151 simp2 1136 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
152 simp3l 1200 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐷 𝑟)
153 stoweidlem57.19 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
1541533ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐷 ≠ ∅)
155 stoweidlem57.20 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1561553ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
15726simpld 494 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑇)
1581573ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐵𝑇)
159663ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝑉 ∈ V)
160 retop 24798 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
1616, 160eqeltri 2835 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
162 cnfex 44966 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
16360, 161, 162sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
16411, 10sseqtrdi 4046 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
165163, 164ssexd 5330 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
1661653ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ V)
167120, 140, 149, 21, 150, 44, 151, 152, 154, 156, 158, 159, 166stoweidlem39 45995 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
168167rexlimdv3a 3157 . . 3 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))))
169107, 168mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
170 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
171 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑖 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
172 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑖 𝐷 ran 𝑣
173 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌
174 nfra1 3282 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
175173, 174nfan 1897 . . . . . . . . 9 𝑖(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
176175nfex 2323 . . . . . . . 8 𝑖𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
177171, 172, 176nf3an 1899 . . . . . . 7 𝑖(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
178170, 177nfan 1897 . . . . . 6 𝑖((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
179 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑡 𝑚 ∈ ℕ
1802, 179nfan 1897 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
181 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑡𝑣
182 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑡(1...𝑚)
183181, 182, 131nff 6733 . . . . . . . 8 𝑡 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
184 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑡 ran 𝑣
1853, 184nfss 3988 . . . . . . . 8 𝑡 𝐷 ran 𝑣
186 nfcv 2903 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑦
187123, 122nfrabw 3473 . . . . . . . . . . . 12 𝑡{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
188150, 187nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑌
189186, 182, 188nff 6733 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌
190 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚)
191 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)
192190, 191nfan 1897 . . . . . . . . . . 11 𝑡(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
193182, 192nfralw 3309 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
194189, 193nfan 1897 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
195194nfex 2323 . . . . . . . 8 𝑡𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
196183, 185, 195nf3an 1899 . . . . . . 7 𝑡(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
197180, 196nfan 1897 . . . . . 6 𝑡((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
198 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑦(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
199 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑦 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
200 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑦 𝐷 ran 𝑣
201 nfe1 2148 . . . . . . . 8 𝑦𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
202199, 200, 201nf3an 1899 . . . . . . 7 𝑦(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
203198, 202nfan 1897 . . . . . 6 𝑦((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
204 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑤(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
205 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑤𝑣
206 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑤(1...𝑚)
207205, 206, 53nff 6733 . . . . . . . 8 𝑤 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
208 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑤 𝐷 ran 𝑣
209 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑤𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
210207, 208, 209nf3an 1899 . . . . . . 7 𝑤(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
211204, 210nfan 1897 . . . . . 6 𝑤((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
212 eqid 2735 . . . . . 6 {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
213 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}, 𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)))) = (𝑓 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}, 𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
214 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
215 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , ((𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))‘𝑚)) = (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , ((𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))‘𝑚))
216 simp1ll 1235 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → 𝜑)
217216, 15syld3an1 1409 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
21811sselda 3995 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓𝐶)
2196, 9, 10, 218fcnre 44963 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
220219ad4ant14 752 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
221 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℕ)
222 simpr1 1193 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉)
2239cldss 23053 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐵𝑇)
22422, 223syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑇)
225224ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐵𝑇)
226 simpr2 1194 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐷 ran 𝑣)
22732ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐷𝑇)
228 feq3 6719 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} → (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}))
229150, 228ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)})
230229biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)})
231230anim1i 615 . . . . . . . . 9 ((𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))) → (𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
232231eximi 1832 . . . . . . . 8 (∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
2332323ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
234233adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
2357uniexd 7761 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐽 ∈ V)
2369, 235eqeltrid 2843 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ V)
237236ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑇 ∈ V)
238155ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
239 stoweidlem57.21 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
240239ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐸 < (1 / 3))
241178, 197, 203, 211, 9, 212, 213, 214, 215, 44, 217, 220, 221, 222, 225, 226, 227, 234, 237, 238, 240stoweidlem54 46010 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
242241ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
243242exlimdv 1931 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
244243rexlimdva 3153 . 2 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
245169, 244mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  3c3 12320  +crp 13032  (,)cioo 13384  ...cfz 13544  seqcseq 14039  t crest 17467  topGenctg 17484  Topctop 22915  Clsdccld 23040   Cn ccn 23248  Compccmp 23410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348
This theorem is referenced by:  stoweidlem58  46014
  Copyright terms: Public domain W3C validator