Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem57 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem57 42219
Description: There exists a function x as in the proof of Lemma 2 in [BrosowskiDeutsh] p. 91. In this theorem, it is proven the non-trivial case (the closed set D is nonempty). Here D is used to represent A in the paper, because the variable A is used for the subalgebra of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem57.1 𝑡𝐷
stoweidlem57.2 𝑡𝑈
stoweidlem57.3 𝑡𝜑
stoweidlem57.4 𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
stoweidlem57.5 𝑉 = {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
stoweidlem57.6 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem57.7 𝑇 = 𝐽
stoweidlem57.8 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem57.9 𝑈 = (𝑇𝐵)
stoweidlem57.10 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem57.11 (𝜑𝐴𝐶)
stoweidlem57.12 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.13 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.14 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
stoweidlem57.15 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
stoweidlem57.16 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem57.17 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
stoweidlem57.18 (𝜑 → (𝐵𝐷) = ∅)
stoweidlem57.19 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
stoweidlem57.20 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem57.21 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem57 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑎,𝑓,𝑡   𝑞,𝑎,𝑟,𝑓,𝑡,𝐴   𝐴,𝑒,𝑓,𝑡   𝐷,𝑎,𝑒,𝑓   𝑇,𝑎,𝑒,𝑓,𝑡   𝑈,𝑎,𝑒,𝑓   𝜑,𝑎,𝑒,𝑓   𝑒,𝑔,,𝑓,𝑡,𝐴   𝑤,𝑒,,𝑡,𝐴   𝑒,𝐸,𝑓,𝑔,,𝑡   𝑔,𝑟,,𝐴   𝑥,𝑓,𝑔,,𝑡,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑟   𝑓,𝑉,𝑔,𝑟   𝑓,𝑌,𝑔,𝑟   𝑔,𝑞,𝐷   𝐷,,𝑟   𝑔,𝐽,,𝑡   𝑇,𝑔,,𝑟   𝑈,𝑔,,𝑟   𝜑,𝑔,,𝑟   𝑤,𝑟,𝐸   𝐴,𝑞   𝐷,𝑞   𝑇,𝑞   𝑈,𝑞   𝜑,𝑞   𝑤,𝐷   𝑤,𝐵   𝑡,𝐾   𝜑,𝑤   𝑤,𝐽   𝑤,𝑇   𝑤,𝑈   𝑤,𝑌   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐸   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑡)   𝐵(𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑎)   𝐷(𝑡)   𝑈(𝑥,𝑡)   𝐸(𝑞,𝑎)   𝐽(𝑥,𝑒,𝑓,𝑟,𝑞,𝑎)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑟,𝑞,𝑎)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)   𝑌(𝑥,𝑡,𝑒,,𝑞,𝑎)

Proof of Theorem stoweidlem57
Dummy variables 𝑠 𝑚 𝑖 𝑣 𝑦 𝑢 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem57.2 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑈
2 stoweidlem57.3 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝜑
3 stoweidlem57.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝐷
43nfcri 2968 . . . . . . . . . . 11 𝑡 𝑠𝐷
52, 4nfan 1891 . . . . . . . . . 10 𝑡(𝜑𝑠𝐷)
6 stoweidlem57.6 . . . . . . . . . 10 𝐾 = (topGen‘ran (,))
7 stoweidlem57.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝐽 ∈ Comp)
9 stoweidlem57.7 . . . . . . . . . 10 𝑇 = 𝐽
10 stoweidlem57.8 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
11 stoweidlem57.11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐶)
1211adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝐴𝐶)
13 stoweidlem57.12 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
14133adant1r 1169 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) + (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
15 stoweidlem57.13 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
16153adant1r 1169 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
17 stoweidlem57.14 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
1817adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝑡𝑇𝑎) ∈ 𝐴)
19 stoweidlem57.15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
2019adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠𝐷) ∧ (𝑟𝑇𝑡𝑇𝑟𝑡)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞𝑟) ≠ (𝑞𝑡))
21 stoweidlem57.9 . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (𝑇𝐵)
22 stoweidlem57.16 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
23 cmptop 21931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
249iscld 21563 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top → (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)))
257, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)))
2622, 25mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝑇 ∧ (𝑇𝐵) ∈ 𝐽))
2726simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇𝐵) ∈ 𝐽)
2821, 27eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐽)
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑈𝐽)
30 stoweidlem57.17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽))
319cldss 21565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐷𝑇)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷𝑇)
3332sselda 3964 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠𝑇)
34 stoweidlem57.18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐷) = ∅)
35 disjr 4396 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝐷) = ∅ ↔ ∀𝑠𝐷 ¬ 𝑠𝐵)
3634, 35sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑠𝐷 ¬ 𝑠𝐵)
3736r19.21bi 3205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐷) → ¬ 𝑠𝐵)
3833, 37eldifd 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠 ∈ (𝑇𝐵))
3938, 21eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠𝑈)
401, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 29, 39stoweidlem56 42218 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐷) → ∃𝑤𝐽 ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))))
41 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑤𝐽)
42 simprll 775 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑠𝑤)
43 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))
44 stoweidlem57.5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
4544rabeq2i 3485 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤𝑉 ↔ (𝑤𝐽 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))))
4641, 43, 45sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → 𝑤𝑉)
4741, 42, 46jca32 516 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐽 ∧ ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)))) → (𝑤𝐽 ∧ (𝑠𝑤𝑤𝑉)))
4847reximi2 3241 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐽 ((𝑠𝑤𝑤𝑈) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))) → ∃𝑤𝐽 (𝑠𝑤𝑤𝑉))
49 rexex 3237 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐽 (𝑠𝑤𝑤𝑉) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
5040, 48, 493syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐷) → ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
51 nfcv 2974 . . . . . . . . 9 𝑤𝑠
52 nfrab1 3382 . . . . . . . . . 10 𝑤{𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
5344, 52nfcxfr 2972 . . . . . . . . 9 𝑤𝑉
5451, 53elunif 41150 . . . . . . . 8 (𝑠 𝑉 ↔ ∃𝑤(𝑠𝑤𝑤𝑉))
5550, 54sylibr 235 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐷) → 𝑠 𝑉)
5655ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠𝐷𝑠 𝑉))
5756ssrdv 3970 . . . . 5 (𝜑𝐷 𝑉)
58 cmpcld 21938 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Comp ∧ 𝐷 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
597, 30, 58syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t 𝐷) ∈ Comp)
607, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Top)
619cmpsub 21936 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐷𝑇) → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
6260, 32, 61syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝐷) ∈ Comp ↔ ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
6359, 62mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
64 ssrab2 4053 . . . . . . . 8 {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))} ⊆ 𝐽
6544, 64eqsstri 3998 . . . . . . 7 𝑉𝐽
6644, 7rabexd 5227 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ V)
67 elpwg 4541 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 𝐽𝑉𝐽))
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝒫 𝐽𝑉𝐽))
6965, 68mpbiri 259 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ 𝒫 𝐽)
70 unieq 4838 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑉 𝑘 = 𝑉)
7170sseq2d 3996 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑉 → (𝐷 𝑘𝐷 𝑉))
72 pweq 4538 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑉 → 𝒫 𝑘 = 𝒫 𝑉)
7372ineq1d 4185 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑉 → (𝒫 𝑘 ∩ Fin) = (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
7473rexeqdv 3414 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑉 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7571, 74imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑉 → ((𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢) ↔ (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢)))
7675rspccva 3619 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ 𝒫 𝐽(𝐷 𝑘 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑘 ∩ Fin)𝐷 𝑢) ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐽) → (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7763, 69, 76syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 𝑉 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢))
7857, 77mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢)
79 elinel1 4169 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ 𝒫 𝑉)
80 elpwi 4547 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉𝑢𝑉)
8180ssdifssd 4116 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑢 ∖ {∅}) ⊆ 𝑉)
82 vex 3495 . . . . . . . . . . . 12 𝑢 ∈ V
83 difexg 5222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ V → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ V)
8482, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∖ {∅}) ∈ V
8584elpw 4542 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉 ↔ (𝑢 ∖ {∅}) ⊆ 𝑉)
8681, 85sylibr 235 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑉 → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉)
8779, 86syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ 𝒫 𝑉)
88 elinel2 4170 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → 𝑢 ∈ Fin)
89 diffi 8738 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ Fin → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ Fin)
9088, 89syl 17 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ Fin)
9187, 90elind 4168 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
92913ad2ant2 1126 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → (𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
93 unidif0 5251 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∖ {∅}) = 𝑢
9493sseq2i 3993 . . . . . . . 8 (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ↔ 𝐷 𝑢)
9594biimpri 229 . . . . . . 7 (𝐷 𝑢𝐷 (𝑢 ∖ {∅}))
96953ad2ant3 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → 𝐷 (𝑢 ∖ {∅}))
97 eldifsni 4714 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅}) → 𝑤 ≠ ∅)
9897rgen 3145 . . . . . . 7 𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅
9998a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)
100 unieq 4838 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → 𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}))
101100sseq2d 3996 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → (𝐷 𝑟𝐷 (𝑢 ∖ {∅})))
102 raleq 3403 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → (∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅))
103101, 102anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑢 ∖ {∅}) → ((𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅) ↔ (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)))
104103rspcev 3620 . . . . . 6 (((𝑢 ∖ {∅}) ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 (𝑢 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝑢 ∖ {∅})𝑤 ≠ ∅)) → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
10592, 96, 99, 104syl12anc 832 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ 𝐷 𝑢) → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
106105rexlimdv3a 3283 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)𝐷 𝑢 → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)))
10778, 106mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
108 nfv 1906 . . . . . 6 𝜑
109 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . 12 +
110 nfre1 3303 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
111109, 110nfralw 3222 . . . . . . . . . . 11 𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
112 nfcv 2974 . . . . . . . . . . 11 𝐽
113111, 112nfrabw 3383 . . . . . . . . . 10 {𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
11444, 113nfcxfr 2972 . . . . . . . . 9 𝑉
115114nfpw 4551 . . . . . . . 8 𝒫 𝑉
116 nfcv 2974 . . . . . . . 8 Fin
117115, 116nfin 4190 . . . . . . 7 (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
118117nfcri 2968 . . . . . 6 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
119 nfv 1906 . . . . . 6 (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
120108, 118, 119nf3an 1893 . . . . 5 (𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
121 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . 12 𝑡+
122 nfcv 2974 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡𝐴
123 nfra1 3216 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)
124 nfra1 3216 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒
125 nfra1 3216 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡)
126123, 124, 125nf3an 1893 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡(∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
127122, 126nfrex 3306 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
128121, 127nfralw 3222 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))
129 nfcv 2974 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝐽
130128, 129nfrabw 3383 . . . . . . . . . 10 𝑡{𝑤𝐽 ∣ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝑤 (𝑡) < 𝑒 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇𝑈)(1 − 𝑒) < (𝑡))}
13144, 130nfcxfr 2972 . . . . . . . . 9 𝑡𝑉
132131nfpw 4551 . . . . . . . 8 𝑡𝒫 𝑉
133 nfcv 2974 . . . . . . . 8 𝑡Fin
134132, 133nfin 4190 . . . . . . 7 𝑡(𝒫 𝑉 ∩ Fin)
135134nfcri 2968 . . . . . 6 𝑡 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
136 nfcv 2974 . . . . . . . 8 𝑡 𝑟
1373, 136nfss 3957 . . . . . . 7 𝑡 𝐷 𝑟
138 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑡𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅
139137, 138nfan 1891 . . . . . 6 𝑡(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
1402, 135, 139nf3an 1893 . . . . 5 𝑡(𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
141 nfv 1906 . . . . . 6 𝑤𝜑
14253nfpw 4551 . . . . . . . 8 𝑤𝒫 𝑉
143 nfcv 2974 . . . . . . . 8 𝑤Fin
144142, 143nfin 4190 . . . . . . 7 𝑤(𝒫 𝑉 ∩ Fin)
145144nfcri 2968 . . . . . 6 𝑤 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)
146 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑤 𝐷 𝑟
147 nfra1 3216 . . . . . . 7 𝑤𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅
148146, 147nfan 1891 . . . . . 6 𝑤(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)
149141, 145, 148nf3an 1893 . . . . 5 𝑤(𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅))
150 stoweidlem57.4 . . . . 5 𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
151 simp2 1129 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin))
152 simp3l 1193 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐷 𝑟)
153 stoweidlem57.19 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ≠ ∅)
1541533ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐷 ≠ ∅)
155 stoweidlem57.20 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1561553ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐸 ∈ ℝ+)
15726simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑇)
1581573ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐵𝑇)
159663ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝑉 ∈ V)
160 retop 23297 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
1616, 160eqeltri 2906 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
162 cnfex 41162 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
16360, 161, 162sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
16411, 10sseqtrdi 4014 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
165163, 164ssexd 5219 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
1661653ad2ant1 1125 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ V)
167120, 140, 149, 21, 150, 44, 151, 152, 154, 156, 158, 159, 166stoweidlem39 42201 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin) ∧ (𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
168167rexlimdv3a 3283 . . 3 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ (𝒫 𝑉 ∩ Fin)(𝐷 𝑟 ∧ ∀𝑤𝑟 𝑤 ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))))
169107, 168mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
170 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑖(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
171 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑖 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
172 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑖 𝐷 ran 𝑣
173 nfv 1906 . . . . . . . . . 10 𝑖 𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌
174 nfra1 3216 . . . . . . . . . 10 𝑖𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
175173, 174nfan 1891 . . . . . . . . 9 𝑖(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
176175nfex 2334 . . . . . . . 8 𝑖𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
177171, 172, 176nf3an 1893 . . . . . . 7 𝑖(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
178170, 177nfan 1891 . . . . . 6 𝑖((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
179 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑡 𝑚 ∈ ℕ
1802, 179nfan 1891 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
181 nfcv 2974 . . . . . . . . 9 𝑡𝑣
182 nfcv 2974 . . . . . . . . 9 𝑡(1...𝑚)
183181, 182, 131nff 6503 . . . . . . . 8 𝑡 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
184 nfcv 2974 . . . . . . . . 9 𝑡 ran 𝑣
1853, 184nfss 3957 . . . . . . . 8 𝑡 𝐷 ran 𝑣
186 nfcv 2974 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑦
187123, 122nfrabw 3383 . . . . . . . . . . . 12 𝑡{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
188150, 187nfcxfr 2972 . . . . . . . . . . 11 𝑡𝑌
189186, 182, 188nff 6503 . . . . . . . . . 10 𝑡 𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌
190 nfra1 3216 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚)
191 nfra1 3216 . . . . . . . . . . . 12 𝑡𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)
192190, 191nfan 1891 . . . . . . . . . . 11 𝑡(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
193182, 192nfralw 3222 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))
194189, 193nfan 1891 . . . . . . . . 9 𝑡(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
195194nfex 2334 . . . . . . . 8 𝑡𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
196183, 185, 195nf3an 1893 . . . . . . 7 𝑡(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
197180, 196nfan 1891 . . . . . 6 𝑡((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
198 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑦(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
199 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑦 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
200 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑦 𝐷 ran 𝑣
201 nfe1 2145 . . . . . . . 8 𝑦𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
202199, 200, 201nf3an 1893 . . . . . . 7 𝑦(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
203198, 202nfan 1891 . . . . . 6 𝑦((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
204 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑤(𝜑𝑚 ∈ ℕ)
205 nfcv 2974 . . . . . . . . 9 𝑤𝑣
206 nfcv 2974 . . . . . . . . 9 𝑤(1...𝑚)
207205, 206, 53nff 6503 . . . . . . . 8 𝑤 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉
208 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑤 𝐷 ran 𝑣
209 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑤𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
210207, 208, 209nf3an 1893 . . . . . . 7 𝑤(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
211204, 210nfan 1891 . . . . . 6 𝑤((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))))
212 eqid 2818 . . . . . 6 {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}
213 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}, 𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡)))) = (𝑓 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}, 𝑔 ∈ {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ↦ (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))))
214 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))
215 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , ((𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))‘𝑚)) = (𝑡𝑇 ↦ (seq1( · , ((𝑡𝑇 ↦ (𝑖 ∈ (1...𝑚) ↦ ((𝑦𝑖)‘𝑡)))‘𝑡))‘𝑚))
216 simp1ll 1228 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → 𝜑)
217216, 15syld3an1 1402 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴𝑔𝐴) → (𝑡𝑇 ↦ ((𝑓𝑡) · (𝑔𝑡))) ∈ 𝐴)
21811sselda 3964 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓𝐶)
2196, 9, 10, 218fcnre 41159 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
220219ad4ant14 748 . . . . . 6 ((((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) ∧ 𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
221 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑚 ∈ ℕ)
222 simpr1 1186 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉)
2239cldss 21565 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐵𝑇)
22422, 223syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝑇)
225224ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐵𝑇)
226 simpr2 1187 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐷 ran 𝑣)
22732ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐷𝑇)
228 feq3 6490 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 = {𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} → (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)}))
229150, 228ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)})
230229biimpi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)})
231230anim1i 614 . . . . . . . . 9 ((𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))) → (𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
232231eximi 1826 . . . . . . . 8 (∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
2332323ad2ant3 1127 . . . . . . 7 ((𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
234233adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶{𝐴 ∣ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)} ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))
2357uniexd 7457 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐽 ∈ V)
2369, 235eqeltrid 2914 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ V)
237236ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝑇 ∈ V)
238155ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
239 stoweidlem57.21 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
240239ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → 𝐸 < (1 / 3))
241178, 197, 203, 211, 9, 212, 213, 214, 215, 44, 217, 220, 221, 222, 225, 226, 227, 234, 237, 238, 240stoweidlem54 42216 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡))))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
242241ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
243242exlimdv 1925 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
244243rexlimdva 3281 . 2 (𝜑 → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑣(𝑣:(1...𝑚)⟶𝑉𝐷 ran 𝑣 ∧ ∃𝑦(𝑦:(1...𝑚)⟶𝑌 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑚)(∀𝑡 ∈ (𝑣𝑖)((𝑦𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑚) ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − (𝐸 / 𝑚)) < ((𝑦𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡))))
245169, 244mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑥𝑡) ∧ (𝑥𝑡) ≤ 1) ∧ ∀𝑡𝐷 (𝑥𝑡) < 𝐸 ∧ ∀𝑡𝐵 (1 − 𝐸) < (𝑥𝑡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wnf 1775  wcel 2105  wnfc 2958  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   cuni 4830   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  Fincfn 8497  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  3c3 11681  +crp 12377  (,)cioo 12726  ...cfz 12880  seqcseq 13357  t crest 16682  topGenctg 16699  Topctop 21429  Clsdccld 21552   Cn ccn 21760  Compccmp 21922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859
This theorem is referenced by:  stoweidlem58  42220
  Copyright terms: Public domain W3C validator