Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem53 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem53 45067
Description: This lemma is used to prove the existence of a function 𝑝 as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 𝑝 is in the subalgebra, such that 0 ≀ 𝑝 ≀ 1, p_(t0) = 0, and 0 < 𝑝 on 𝑇 βˆ– π‘ˆ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem53.1 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem53.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem53.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem53.4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem53.5 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
stoweidlem53.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem53.7 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem53.8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem53.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem53.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem53.14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem53.15 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β‰  βˆ…)
stoweidlem53.16 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem53 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Ÿ,π‘ž,𝑑,𝑇   π‘₯,𝑓,π‘ž,𝑑,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž,𝑑   𝑄,𝑓,𝑔,π‘ž   π‘ˆ,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž   𝑓,𝑍,𝑔,β„Ž,π‘ž,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž   𝑀,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝑔,π‘Š   β„Ž,𝐽,𝑑,𝑀   π‘ž,𝑝,𝑑,𝑇   𝐴,𝑝   π‘ˆ,𝑝   𝑍,𝑝   𝐴,π‘Ÿ   π‘ˆ,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   𝑑,𝐾   𝑀,𝑄   𝑀,π‘ˆ   πœ‘,𝑀   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑄   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑍   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑝)   𝐴(𝑀)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑄(𝑑,β„Ž,π‘Ÿ,𝑝)   π‘ˆ(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑍(𝑀,π‘Ÿ)

Proof of Theorem stoweidlem53
Dummy variables 𝑖 π‘š 𝑦 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem53.1 . . . 4 β„²π‘‘π‘ˆ
2 stoweidlem53.2 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem53.3 . . . 4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
4 stoweidlem53.4 . . . 4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
5 stoweidlem53.5 . . . 4 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
6 stoweidlem53.6 . . . 4 𝑇 = βˆͺ 𝐽
7 stoweidlem53.7 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
8 stoweidlem53.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
9 stoweidlem53.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
10 stoweidlem53.10 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
11 stoweidlem53.11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
12 stoweidlem53.12 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
13 stoweidlem53.13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
14 stoweidlem53.14 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
15 stoweidlem53.16 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem50 45064 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
17 nfv 1915 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝑒 ∈ Fin
18 nfcv 2901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝑒
19 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑑(β„Žβ€˜π‘) = 0
20 nfra1 3279 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)
2119, 20nfan 1900 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))
22 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑𝐴
2321, 22nfrabw 3466 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
244, 23nfcxfr 2899 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝑄
25 nfrab1 3449 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑{𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
2625nfeq2 2918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
2724, 26nfrexw 3308 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
28 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑𝐽
2927, 28nfrabw 3466 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑{𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
305, 29nfcxfr 2899 . . . . . . 7 β„²π‘‘π‘Š
3118, 30nfss 3973 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝑒 βŠ† π‘Š
32 nfcv 2901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝑇
3332, 1nfdif 4124 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑇 βˆ– π‘ˆ)
34 nfcv 2901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑βˆͺ 𝑒
3533, 34nfss 3973 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒
3617, 31, 35nf3an 1902 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
372, 36nfan 1900 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
38 nfv 1915 . . . . 5 β„²π‘€πœ‘
39 nfv 1915 . . . . . 6 Ⅎ𝑀 𝑒 ∈ Fin
40 nfcv 2901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑀𝑒
41 nfrab1 3449 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑀{𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
425, 41nfcxfr 2899 . . . . . . 7 β„²π‘€π‘Š
4340, 42nfss 3973 . . . . . 6 Ⅎ𝑀 𝑒 βŠ† π‘Š
44 nfv 1915 . . . . . 6 Ⅎ𝑀(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒
4539, 43, 44nf3an 1902 . . . . 5 Ⅎ𝑀(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
4638, 45nfan 1900 . . . 4 Ⅎ𝑀(πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
47 nfv 1915 . . . . 5 β„²β„Žπœ‘
48 nfv 1915 . . . . . 6 β„²β„Ž 𝑒 ∈ Fin
49 nfcv 2901 . . . . . . 7 β„²β„Žπ‘’
50 nfre1 3280 . . . . . . . . 9 β„²β„Žβˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
51 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²β„Žπ½
5250, 51nfrabw 3466 . . . . . . . 8 β„²β„Ž{𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
535, 52nfcxfr 2899 . . . . . . 7 β„²β„Žπ‘Š
5449, 53nfss 3973 . . . . . 6 β„²β„Ž 𝑒 βŠ† π‘Š
55 nfv 1915 . . . . . 6 β„²β„Ž(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒
5648, 54, 55nf3an 1902 . . . . 5 β„²β„Ž(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
5747, 56nfan 1900 . . . 4 β„²β„Ž(πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
58 eqid 2730 . . . 4 (𝑀 ∈ 𝑒 ↦ {β„Ž ∈ 𝑄 ∣ 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}) = (𝑀 ∈ 𝑒 ↦ {β„Ž ∈ 𝑄 ∣ 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}})
59 cmptop 23119 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
608, 59syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
61 retop 24498 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
623, 61eqeltri 2827 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Top
63 cnfex 44014 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
6460, 62, 63sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
659, 7sseqtrdi 4031 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
6664, 65ssexd 5323 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
6766adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ V)
68 simpr1 1192 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
69 simpr2 1193 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 βŠ† π‘Š)
70 simpr3 1194 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
71 stoweidlem53.15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β‰  βˆ…)
7271adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β‰  βˆ…)
7337, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72stoweidlem35 45049 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘šβˆƒπ‘ž(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
7416, 73exlimddv 1936 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘šβˆƒπ‘ž(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
75 nfv 1915 . . . . . 6 β„²π‘–πœ‘
76 nfv 1915 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖 π‘š ∈ β„•
77 nfv 1915 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖 π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„
78 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(𝑇 βˆ– π‘ˆ)
79 nfre1 3280 . . . . . . . . 9 β„²π‘–βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)
8078, 79nfralw 3306 . . . . . . . 8 β„²π‘–βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)
8177, 80nfan 1900 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
8276, 81nfan 1900 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
8375, 82nfan 1900 . . . . 5 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
84 nfv 1915 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 π‘š ∈ β„•
85 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘π‘ž
86 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(1...π‘š)
8785, 86, 24nff 6712 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„
88 nfra1 3279 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)
8987, 88nfan 1900 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9084, 89nfan 1900 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
912, 90nfan 1900 . . . . 5 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
92 eqid 2730 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / π‘š) Β· Σ𝑦 ∈ (1...π‘š)((π‘žβ€˜π‘¦)β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / π‘š) Β· Σ𝑦 ∈ (1...π‘š)((π‘žβ€˜π‘¦)β€˜π‘‘)))
93 simprl 767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
94 simprrl 777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„)
95 simprrr 778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9665adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
97103adant1r 1175 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
98113adant1r 1175 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
9912adantlr 711 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
100 elssuni 4940 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
101100, 6sseqtrrdi 4032 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
10214, 101syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
103102, 15sseldd 3982 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
104103adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
10583, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104stoweidlem44 45058 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
106105ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘))))
107106exlimdvv 1935 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘šβˆƒπ‘ž(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘))))
10874, 107mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104  β„²wnfc 2881   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„•cn 12216  (,)cioo 13328  ...cfz 13488  Ξ£csu 15636  topGenctg 17387  Topctop 22615   Cn ccn 22948  Compccmp 23110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048
This theorem is referenced by:  stoweidlem55  45069
  Copyright terms: Public domain W3C validator