Theorem stoweidlem53 44704

Description: This lemma is used to prove the existence of a function 𝑝 as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 𝑝 is in the subalgebra, such that 0 ≤ 𝑝 ≤ 1, p_(t₀) = 0, and 0 < 𝑝 on 𝑇 ∖ 𝑈. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem53.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem53.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem53.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem53.4	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem53.5	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem53.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem53.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem53.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem53.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem53.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem53.14	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem53.15	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
stoweidlem53.16	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem53	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   ℎ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝐴,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝐴   𝑥,𝑄   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑄(𝑡,ℎ,𝑟,𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem53

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem53.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
2		stoweidlem53.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem53.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		stoweidlem53.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
5		stoweidlem53.5	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
6		stoweidlem53.6	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7		stoweidlem53.7	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
8		stoweidlem53.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
9		stoweidlem53.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
10		stoweidlem53.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
11		stoweidlem53.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
12		stoweidlem53.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
13		stoweidlem53.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
14		stoweidlem53.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
15		stoweidlem53.16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	stoweidlem50 44701	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
17		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑢 ∈ Fin
18		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑢
19		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡(ℎ‘𝑍) = 0
20		nfra1 3282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)
21	19, 20	nfan 1903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))
22		nfcv 2904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝐴
23	21, 22	nfrabw 3469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡{ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
24	4, 23	nfcxfr 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑄
25		nfrab1 3452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
26	25	nfeq2 2921	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
27	24, 26	nfrexw 3311	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
28		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝐽
29	27, 28	nfrabw 3469	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
30	5, 29	nfcxfr 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑊
31	18, 30	nfss 3973	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑢 ⊆ 𝑊
32		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
33	32, 1	nfdif 4124	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
34		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡∪ 𝑢
35	33, 34	nfss 3973	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
36	17, 31, 35	nf3an 1905	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
37	2, 36	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
38		nfv 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
39		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑢 ∈ Fin
40		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤𝑢
41		nfrab1 3452	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
42	5, 41	nfcxfr 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤𝑊
43	40, 42	nfss 3973	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑢 ⊆ 𝑊
44		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
45	39, 43, 44	nf3an 1905	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
46	38, 45	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
47		nfv 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝜑
48		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ 𝑢 ∈ Fin
49		nfcv 2904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑢
50		nfre1 3283	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎℎ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
51		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎℎ𝐽
52	50, 51	nfrabw 3469	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
53	5, 52	nfcxfr 2902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑊
54	49, 53	nfss 3973	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ 𝑢 ⊆ 𝑊
55		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
56	48, 54, 55	nf3an 1905	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
57	47, 56	nfan 1903	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
58		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑢 ↦ {ℎ ∈ 𝑄 ∣ 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}) = (𝑤 ∈ 𝑢 ↦ {ℎ ∈ 𝑄 ∣ 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}})
59		cmptop 22881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
60	8, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
61		retop 24260	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
62	3, 61	eqeltri 2830	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ Top
63		cnfex 43645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
64	60, 62, 63	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
65	9, 7	sseqtrdi 4031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
66	64, 65	ssexd 5323	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
67	66	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐴 ∈ V)
68		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
69		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝑊)
70		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
71		stoweidlem53.15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
72	71	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
73	37, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72	stoweidlem35 44686	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → ∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
74	16, 73	exlimddv 1939	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
75		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
76		nfv 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑚 ∈ ℕ
77		nfv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
78		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑇 ∖ 𝑈)
79		nfre1 3283	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
80	78, 79	nfralw 3309	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
81	77, 80	nfan 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
82	76, 81	nfan 1903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))
83	75, 82	nfan 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
84		nfv 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑚 ∈ ℕ
85		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑞
86		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(1...𝑚)
87	85, 86, 24	nff 6710	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
88		nfra1 3282	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
89	87, 88	nfan 1903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
90	84, 89	nfan 1903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))
91	2, 90	nfan 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
92		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞‘𝑦)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞‘𝑦)‘𝑡)))
93		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
94		simprrl 780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄)
95		simprrr 781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
96	65	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
97	10	3adant1r 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
98	11	3adant1r 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
99	12	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
100		elssuni 4940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
101	100, 6	sseqtrrdi 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
102	14, 101	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
103	102, 15	sseldd 3982	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
104	103	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑍 ∈ 𝑇)
105	83, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104	stoweidlem44 44695	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
106	105	ex 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡))))
107	106	exlimdvv 1938	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡))))
108	74, 107	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ∃wex 1782  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Fincfn 8935  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11867  ℕcn 12208  (,)cioo 13320  ...cfz 13480  Σcsu 15628  topGenctg 17379  Topctop 22377   Cn ccn 22710  Compccmp 22872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-cmp 22873  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810

This theorem is referenced by:  stoweidlem55  44706