Theorem stoweidlem53 47062

Description: This lemma is used to prove the existence of a function 𝑝 as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 𝑝 is in the subalgebra, such that 0 ≤ 𝑝 ≤ 1, p_(t₀) = 0, and 0 < 𝑝 on 𝑇 ∖ 𝑈. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem53.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem53.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem53.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem53.4	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem53.5	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem53.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem53.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem53.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem53.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem53.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem53.14	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem53.15	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
stoweidlem53.16	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem53	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   ℎ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝐴,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝐴   𝑥,𝑄   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, 𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥, 𝑤, 𝑡, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝑄(𝑡, ℎ, 𝑟, 𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥, 𝑓, 𝑔, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝐾(𝑥, 𝑤, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝑊(𝑥, 𝑤, 𝑡, 𝑓, ℎ, 𝑟, 𝑞, 𝑝)   𝑍(𝑤, 𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem53

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem53.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
2		stoweidlem53.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem53.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		stoweidlem53.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
5		stoweidlem53.5	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
6		stoweidlem53.6	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7		stoweidlem53.7	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
8		stoweidlem53.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
9		stoweidlem53.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
10		stoweidlem53.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
11		stoweidlem53.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
12		stoweidlem53.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
13		stoweidlem53.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
14		stoweidlem53.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
15		stoweidlem53.16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	stoweidlem50 47059	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
17		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑢 ∈ Fin
18		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑢
19		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡(ℎ‘𝑍) = 0
20		nfra1 3287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)
21	19, 20	nfan 1932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))
22		nfcv 2923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝐴
23	21, 22	nfrabw 3448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡{ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
24	4, 23	nfcxfr 2921	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑄
25		nfrab1 3432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
26	25	nfeq2 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
27	24, 26	nfrexw 3311	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
28		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝐽
29	27, 28	nfrabw 3448	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
30	5, 29	nfcxfr 2921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑊
31	18, 30	nfss 3924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑢 ⊆ 𝑊
32		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
33	32, 1	nfdif 4077	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
34		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡∪ 𝑢
35	33, 34	nfss 3924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
36	17, 31, 35	nf3an 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
37	2, 36	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
38		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
39		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑢 ∈ Fin
40		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤𝑢
41		nfrab1 3432	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
42	5, 41	nfcxfr 2921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤𝑊
43	40, 42	nfss 3924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑢 ⊆ 𝑊
44		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
45	39, 43, 44	nf3an 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
46	38, 45	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
47		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝜑
48		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ 𝑢 ∈ Fin
49		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑢
50		nfre1 3288	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎℎ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
51		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎℎ𝐽
52	50, 51	nfrabw 3448	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
53	5, 52	nfcxfr 2921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑊
54	49, 53	nfss 3924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ 𝑢 ⊆ 𝑊
55		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
56	48, 54, 55	nf3an 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
57	47, 56	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
58		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑢 ↦ {ℎ ∈ 𝑄 ∣ 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}) = (𝑤 ∈ 𝑢 ↦ {ℎ ∈ 𝑄 ∣ 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}})
59		cmptop 23713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
60	8, 59	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
61		retop 25080	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
62	3, 61	eqeltri 2857	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ Top
63		cnfex 46044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
64	60, 62, 63	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
65	9, 7	sseqtrdi 3971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
66	64, 65	ssexd 5286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
67	66	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐴 ∈ V)
68		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
69		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝑊)
70		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
71		stoweidlem53.15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
72	71	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
73	37, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72	stoweidlem35 47044	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → ∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
74	16, 73	exlimddv 1968	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
75		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
76		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑚 ∈ ℕ
77		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
78		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑇 ∖ 𝑈)
79		nfre1 3288	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
80	78, 79	nfralw 3310	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
81	77, 80	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
82	76, 81	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))
83	75, 82	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
84		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑚 ∈ ℕ
85		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑞
86		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(1...𝑚)
87	85, 86, 24	nff 6705	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
88		nfra1 3287	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
89	87, 88	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
90	84, 89	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))
91	2, 90	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
92		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞‘𝑦)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞‘𝑦)‘𝑡)))
93		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
94		simprrl 793	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄)
95		simprrr 794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
96	65	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
97	10	3adant1r 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
98	11	3adant1r 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
99	12	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
100		elssuni 4899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
101	100, 6	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
102	14, 101	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
103	102, 15	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
104	103	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑍 ∈ 𝑇)
105	83, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104	stoweidlem44 47053	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
106	105	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡))))
107	106	exlimdvv 1967	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡))))
108	74, 107	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  (,)cioo 13476  ...cfz 13639  Σcsu 15853  topGenctg 17608  Topctop 23211   Cn ccn 23542  Compccmp 23704

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641

This theorem is used by:  stoweidlem55  47064