Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem53 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem53 45069
Description: This lemma is used to prove the existence of a function 𝑝 as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 𝑝 is in the subalgebra, such that 0 ≀ 𝑝 ≀ 1, p_(t0) = 0, and 0 < 𝑝 on 𝑇 βˆ– π‘ˆ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem53.1 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem53.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem53.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem53.4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem53.5 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
stoweidlem53.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem53.7 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem53.8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem53.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem53.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem53.14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem53.15 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β‰  βˆ…)
stoweidlem53.16 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem53 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Ÿ,π‘ž,𝑑,𝑇   π‘₯,𝑓,π‘ž,𝑑,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž,𝑑   𝑄,𝑓,𝑔,π‘ž   π‘ˆ,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž   𝑓,𝑍,𝑔,β„Ž,π‘ž,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž   𝑀,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝑔,π‘Š   β„Ž,𝐽,𝑑,𝑀   π‘ž,𝑝,𝑑,𝑇   𝐴,𝑝   π‘ˆ,𝑝   𝑍,𝑝   𝐴,π‘Ÿ   π‘ˆ,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   𝑑,𝐾   𝑀,𝑄   𝑀,π‘ˆ   πœ‘,𝑀   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑄   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑍   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑝)   𝐴(𝑀)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑄(𝑑,β„Ž,π‘Ÿ,𝑝)   π‘ˆ(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑍(𝑀,π‘Ÿ)

Proof of Theorem stoweidlem53
Dummy variables 𝑖 π‘š 𝑦 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem53.1 . . . 4 β„²π‘‘π‘ˆ
2 stoweidlem53.2 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem53.3 . . . 4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
4 stoweidlem53.4 . . . 4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
5 stoweidlem53.5 . . . 4 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
6 stoweidlem53.6 . . . 4 𝑇 = βˆͺ 𝐽
7 stoweidlem53.7 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
8 stoweidlem53.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
9 stoweidlem53.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
10 stoweidlem53.10 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
11 stoweidlem53.11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
12 stoweidlem53.12 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
13 stoweidlem53.13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
14 stoweidlem53.14 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
15 stoweidlem53.16 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem50 45066 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
17 nfv 1916 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝑒 ∈ Fin
18 nfcv 2902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝑒
19 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑑(β„Žβ€˜π‘) = 0
20 nfra1 3280 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)
2119, 20nfan 1901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))
22 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑𝐴
2321, 22nfrabw 3467 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
244, 23nfcxfr 2900 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝑄
25 nfrab1 3450 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑{𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
2625nfeq2 2919 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
2724, 26nfrexw 3309 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
28 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑𝐽
2927, 28nfrabw 3467 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑{𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
305, 29nfcxfr 2900 . . . . . . 7 β„²π‘‘π‘Š
3118, 30nfss 3975 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝑒 βŠ† π‘Š
32 nfcv 2902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝑇
3332, 1nfdif 4126 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑇 βˆ– π‘ˆ)
34 nfcv 2902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑βˆͺ 𝑒
3533, 34nfss 3975 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒
3617, 31, 35nf3an 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
372, 36nfan 1901 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
38 nfv 1916 . . . . 5 β„²π‘€πœ‘
39 nfv 1916 . . . . . 6 Ⅎ𝑀 𝑒 ∈ Fin
40 nfcv 2902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑀𝑒
41 nfrab1 3450 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑀{𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
425, 41nfcxfr 2900 . . . . . . 7 β„²π‘€π‘Š
4340, 42nfss 3975 . . . . . 6 Ⅎ𝑀 𝑒 βŠ† π‘Š
44 nfv 1916 . . . . . 6 Ⅎ𝑀(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒
4539, 43, 44nf3an 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑀(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
4638, 45nfan 1901 . . . 4 Ⅎ𝑀(πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
47 nfv 1916 . . . . 5 β„²β„Žπœ‘
48 nfv 1916 . . . . . 6 β„²β„Ž 𝑒 ∈ Fin
49 nfcv 2902 . . . . . . 7 β„²β„Žπ‘’
50 nfre1 3281 . . . . . . . . 9 β„²β„Žβˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
51 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 β„²β„Žπ½
5250, 51nfrabw 3467 . . . . . . . 8 β„²β„Ž{𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
535, 52nfcxfr 2900 . . . . . . 7 β„²β„Žπ‘Š
5449, 53nfss 3975 . . . . . 6 β„²β„Ž 𝑒 βŠ† π‘Š
55 nfv 1916 . . . . . 6 β„²β„Ž(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒
5648, 54, 55nf3an 1903 . . . . 5 β„²β„Ž(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
5747, 56nfan 1901 . . . 4 β„²β„Ž(πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
58 eqid 2731 . . . 4 (𝑀 ∈ 𝑒 ↦ {β„Ž ∈ 𝑄 ∣ 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}) = (𝑀 ∈ 𝑒 ↦ {β„Ž ∈ 𝑄 ∣ 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}})
59 cmptop 23120 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
608, 59syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
61 retop 24499 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
623, 61eqeltri 2828 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Top
63 cnfex 44015 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
6460, 62, 63sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
659, 7sseqtrdi 4033 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
6664, 65ssexd 5325 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
6766adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ V)
68 simpr1 1193 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
69 simpr2 1194 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 βŠ† π‘Š)
70 simpr3 1195 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
71 stoweidlem53.15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β‰  βˆ…)
7271adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β‰  βˆ…)
7337, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72stoweidlem35 45051 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘šβˆƒπ‘ž(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
7416, 73exlimddv 1937 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘šβˆƒπ‘ž(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
75 nfv 1916 . . . . . 6 β„²π‘–πœ‘
76 nfv 1916 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖 π‘š ∈ β„•
77 nfv 1916 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖 π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„
78 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(𝑇 βˆ– π‘ˆ)
79 nfre1 3281 . . . . . . . . 9 β„²π‘–βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)
8078, 79nfralw 3307 . . . . . . . 8 β„²π‘–βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)
8177, 80nfan 1901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
8276, 81nfan 1901 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
8375, 82nfan 1901 . . . . 5 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
84 nfv 1916 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 π‘š ∈ β„•
85 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘π‘ž
86 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(1...π‘š)
8785, 86, 24nff 6714 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„
88 nfra1 3280 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)
8987, 88nfan 1901 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9084, 89nfan 1901 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
912, 90nfan 1901 . . . . 5 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
92 eqid 2731 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / π‘š) Β· Σ𝑦 ∈ (1...π‘š)((π‘žβ€˜π‘¦)β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / π‘š) Β· Σ𝑦 ∈ (1...π‘š)((π‘žβ€˜π‘¦)β€˜π‘‘)))
93 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
94 simprrl 778 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„)
95 simprrr 779 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9665adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
97103adant1r 1176 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
98113adant1r 1176 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
9912adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
100 elssuni 4942 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
101100, 6sseqtrrdi 4034 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
10214, 101syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
103102, 15sseldd 3984 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
104103adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
10583, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104stoweidlem44 45060 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
106105ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘))))
107106exlimdvv 1936 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘šβˆƒπ‘ž(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘))))
10874, 107mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βˆƒwex 1780  β„²wnf 1784   ∈ wcel 2105  β„²wnfc 2882   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118   < clt 11253   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  β„•cn 12217  (,)cioo 13329  ...cfz 13489  Ξ£csu 15637  topGenctg 17388  Topctop 22616   Cn ccn 22949  Compccmp 23111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049
This theorem is referenced by:  stoweidlem55  45071
  Copyright terms: Public domain W3C validator