Theorem stoweidlem53 46082

Description: This lemma is used to prove the existence of a function 𝑝 as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 𝑝 is in the subalgebra, such that 0 ≤ 𝑝 ≤ 1, p_(t₀) = 0, and 0 < 𝑝 on 𝑇 ∖ 𝑈. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem53.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem53.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem53.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem53.4	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem53.5	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem53.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem53.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem53.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem53.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem53.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem53.14	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem53.15	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
stoweidlem53.16	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem53	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   ℎ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝐴,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝐴   𝑥,𝑄   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑄(𝑡,ℎ,𝑟,𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem53

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem53.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
2		stoweidlem53.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem53.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		stoweidlem53.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
5		stoweidlem53.5	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
6		stoweidlem53.6	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7		stoweidlem53.7	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
8		stoweidlem53.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
9		stoweidlem53.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
10		stoweidlem53.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
11		stoweidlem53.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
12		stoweidlem53.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
13		stoweidlem53.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
14		stoweidlem53.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
15		stoweidlem53.16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	stoweidlem50 46079	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
17		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑢 ∈ Fin
18		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑢
19		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡(ℎ‘𝑍) = 0
20		nfra1 3266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)
21	19, 20	nfan 1899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))
22		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝐴
23	21, 22	nfrabw 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡{ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
24	4, 23	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑄
25		nfrab1 3436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
26	25	nfeq2 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
27	24, 26	nfrexw 3293	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
28		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝐽
29	27, 28	nfrabw 3454	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
30	5, 29	nfcxfr 2896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑊
31	18, 30	nfss 3951	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑢 ⊆ 𝑊
32		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
33	32, 1	nfdif 4104	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
34		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡∪ 𝑢
35	33, 34	nfss 3951	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
36	17, 31, 35	nf3an 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
37	2, 36	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
38		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
39		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑢 ∈ Fin
40		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤𝑢
41		nfrab1 3436	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
42	5, 41	nfcxfr 2896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤𝑊
43	40, 42	nfss 3951	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑢 ⊆ 𝑊
44		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
45	39, 43, 44	nf3an 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
46	38, 45	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
47		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝜑
48		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ 𝑢 ∈ Fin
49		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑢
50		nfre1 3267	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎℎ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
51		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎℎ𝐽
52	50, 51	nfrabw 3454	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
53	5, 52	nfcxfr 2896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑊
54	49, 53	nfss 3951	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ 𝑢 ⊆ 𝑊
55		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
56	48, 54, 55	nf3an 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
57	47, 56	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
58		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑢 ↦ {ℎ ∈ 𝑄 ∣ 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}) = (𝑤 ∈ 𝑢 ↦ {ℎ ∈ 𝑄 ∣ 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}})
59		cmptop 23333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
60	8, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
61		retop 24700	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
62	3, 61	eqeltri 2830	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ Top
63		cnfex 45052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
64	60, 62, 63	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
65	9, 7	sseqtrdi 3999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
66	64, 65	ssexd 5294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
67	66	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐴 ∈ V)
68		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
69		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝑊)
70		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
71		stoweidlem53.15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
72	71	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
73	37, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72	stoweidlem35 46064	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → ∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
74	16, 73	exlimddv 1935	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
75		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
76		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑚 ∈ ℕ
77		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
78		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑇 ∖ 𝑈)
79		nfre1 3267	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
80	78, 79	nfralw 3291	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
81	77, 80	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
82	76, 81	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))
83	75, 82	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
84		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑚 ∈ ℕ
85		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑞
86		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(1...𝑚)
87	85, 86, 24	nff 6702	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
88		nfra1 3266	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
89	87, 88	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
90	84, 89	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))
91	2, 90	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
92		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞‘𝑦)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞‘𝑦)‘𝑡)))
93		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
94		simprrl 780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄)
95		simprrr 781	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
96	65	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
97	10	3adant1r 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
98	11	3adant1r 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
99	12	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
100		elssuni 4913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
101	100, 6	sseqtrrdi 4000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
102	14, 101	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
103	102, 15	sseldd 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
104	103	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑍 ∈ 𝑇)
105	83, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104	stoweidlem44 46073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
106	105	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡))))
107	106	exlimdvv 1934	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡))))
108	74, 107	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ∪ cuni 4883   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  ℕcn 12240  (,)cioo 13362  ...cfz 13524  Σcsu 15702  topGenctg 17451  Topctop 22831   Cn ccn 23162  Compccmp 23324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-cmp 23325  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261

This theorem is referenced by:  stoweidlem55  46084