Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem53 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem53 44368
Description: This lemma is used to prove the existence of a function 𝑝 as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 𝑝 is in the subalgebra, such that 0 ≀ 𝑝 ≀ 1, p_(t0) = 0, and 0 < 𝑝 on 𝑇 βˆ– π‘ˆ. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem53.1 β„²π‘‘π‘ˆ
stoweidlem53.2 β„²π‘‘πœ‘
stoweidlem53.3 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
stoweidlem53.4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem53.5 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
stoweidlem53.6 𝑇 = βˆͺ 𝐽
stoweidlem53.7 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem53.8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem53.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
stoweidlem53.10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
stoweidlem53.14 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
stoweidlem53.15 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β‰  βˆ…)
stoweidlem53.16 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem53 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž,𝑑,𝑇   𝑓,π‘Ÿ,π‘ž,𝑑,𝑇   π‘₯,𝑓,π‘ž,𝑑,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž,𝑑   𝑄,𝑓,𝑔,π‘ž   π‘ˆ,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž   𝑓,𝑍,𝑔,β„Ž,π‘ž,𝑑   πœ‘,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘ž   𝑀,𝑔,β„Ž,𝑑,𝑇   𝑔,π‘Š   β„Ž,𝐽,𝑑,𝑀   π‘ž,𝑝,𝑑,𝑇   𝐴,𝑝   π‘ˆ,𝑝   𝑍,𝑝   𝐴,π‘Ÿ   π‘ˆ,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ   𝑑,𝐾   𝑀,𝑄   𝑀,π‘ˆ   πœ‘,𝑀   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑄   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑍   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,𝑝)   𝐴(𝑀)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑄(𝑑,β„Ž,π‘Ÿ,𝑝)   π‘ˆ(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑓,𝑔,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑑,𝑓,β„Ž,π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑍(𝑀,π‘Ÿ)

Proof of Theorem stoweidlem53
Dummy variables 𝑖 π‘š 𝑦 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem53.1 . . . 4 β„²π‘‘π‘ˆ
2 stoweidlem53.2 . . . 4 β„²π‘‘πœ‘
3 stoweidlem53.3 . . . 4 𝐾 = (topGenβ€˜ran (,))
4 stoweidlem53.4 . . . 4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
5 stoweidlem53.5 . . . 4 π‘Š = {𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
6 stoweidlem53.6 . . . 4 𝑇 = βˆͺ 𝐽
7 stoweidlem53.7 . . . 4 𝐢 = (𝐽 Cn 𝐾)
8 stoweidlem53.8 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
9 stoweidlem53.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
10 stoweidlem53.10 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
11 stoweidlem53.11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
12 stoweidlem53.12 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
13 stoweidlem53.13 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝑇 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ π‘Ÿ β‰  𝑑)) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (π‘žβ€˜π‘Ÿ) β‰  (π‘žβ€˜π‘‘))
14 stoweidlem53.14 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
15 stoweidlem53.16 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15stoweidlem50 44365 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
17 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝑒 ∈ Fin
18 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑𝑒
19 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑑(β„Žβ€˜π‘) = 0
20 nfra1 3270 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)
2119, 20nfan 1903 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))
22 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑑𝐴
2321, 22nfrabw 3443 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑{β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
244, 23nfcxfr 2906 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑𝑄
25 nfrab1 3429 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑{𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
2625nfeq2 2925 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
2724, 26nfrexw 3299 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
28 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑𝐽
2927, 28nfrabw 3443 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑{𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
305, 29nfcxfr 2906 . . . . . . 7 β„²π‘‘π‘Š
3118, 30nfss 3941 . . . . . 6 Ⅎ𝑑 𝑒 βŠ† π‘Š
32 nfcv 2908 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑𝑇
3332, 1nfdif 4090 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(𝑇 βˆ– π‘ˆ)
34 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑βˆͺ 𝑒
3533, 34nfss 3941 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒
3617, 31, 35nf3an 1905 . . . . 5 Ⅎ𝑑(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
372, 36nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
38 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘€πœ‘
39 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑀 𝑒 ∈ Fin
40 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑀𝑒
41 nfrab1 3429 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑀{𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
425, 41nfcxfr 2906 . . . . . . 7 β„²π‘€π‘Š
4340, 42nfss 3941 . . . . . 6 Ⅎ𝑀 𝑒 βŠ† π‘Š
44 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑀(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒
4539, 43, 44nf3an 1905 . . . . 5 Ⅎ𝑀(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
4638, 45nfan 1903 . . . 4 Ⅎ𝑀(πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
47 nfv 1918 . . . . 5 β„²β„Žπœ‘
48 nfv 1918 . . . . . 6 β„²β„Ž 𝑒 ∈ Fin
49 nfcv 2908 . . . . . . 7 β„²β„Žπ‘’
50 nfre1 3271 . . . . . . . . 9 β„²β„Žβˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}
51 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²β„Žπ½
5250, 51nfrabw 3443 . . . . . . . 8 β„²β„Ž{𝑀 ∈ 𝐽 ∣ βˆƒβ„Ž ∈ 𝑄 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}
535, 52nfcxfr 2906 . . . . . . 7 β„²β„Žπ‘Š
5449, 53nfss 3941 . . . . . 6 β„²β„Ž 𝑒 βŠ† π‘Š
55 nfv 1918 . . . . . 6 β„²β„Ž(𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒
5648, 54, 55nf3an 1905 . . . . 5 β„²β„Ž(𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
5747, 56nfan 1903 . . . 4 β„²β„Ž(πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒))
58 eqid 2737 . . . 4 (𝑀 ∈ 𝑒 ↦ {β„Ž ∈ 𝑄 ∣ 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}}) = (𝑀 ∈ 𝑒 ↦ {β„Ž ∈ 𝑄 ∣ 𝑀 = {𝑑 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (β„Žβ€˜π‘‘)}})
59 cmptop 22762 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Comp β†’ 𝐽 ∈ Top)
608, 59syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
61 retop 24141 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
623, 61eqeltri 2834 . . . . . . 7 𝐾 ∈ Top
63 cnfex 43307 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
6460, 62, 63sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
659, 7sseqtrdi 3999 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
6664, 65ssexd 5286 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
6766adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ V)
68 simpr1 1195 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 ∈ Fin)
69 simpr2 1196 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝑒 βŠ† π‘Š)
70 simpr3 1197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)
71 stoweidlem53.15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β‰  βˆ…)
7271adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) β‰  βˆ…)
7337, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72stoweidlem35 44350 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ Fin ∧ 𝑒 βŠ† π‘Š ∧ (𝑇 βˆ– π‘ˆ) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘šβˆƒπ‘ž(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
7416, 73exlimddv 1939 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘šβˆƒπ‘ž(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
75 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘–πœ‘
76 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖 π‘š ∈ β„•
77 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖 π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„
78 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(𝑇 βˆ– π‘ˆ)
79 nfre1 3271 . . . . . . . . 9 β„²π‘–βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)
8078, 79nfralw 3297 . . . . . . . 8 β„²π‘–βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)
8177, 80nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
8276, 81nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
8375, 82nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑖(πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
84 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑 π‘š ∈ β„•
85 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘π‘ž
86 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(1...π‘š)
8785, 86, 24nff 6669 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„
88 nfra1 3270 . . . . . . . 8 β„²π‘‘βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)
8987, 88nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9084, 89nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑑(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
912, 90nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))))
92 eqid 2737 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / π‘š) Β· Σ𝑦 ∈ (1...π‘š)((π‘žβ€˜π‘¦)β€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / π‘š) Β· Σ𝑦 ∈ (1...π‘š)((π‘žβ€˜π‘¦)β€˜π‘‘)))
93 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
94 simprrl 780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„)
95 simprrr 781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
9665adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
97103adant1r 1178 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
98113adant1r 1178 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ 𝐴)
9912adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ π‘₯) ∈ 𝐴)
100 elssuni 4903 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ 𝐽)
101100, 6sseqtrrdi 4000 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐽 β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
10214, 101syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑇)
103102, 15sseldd 3950 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
104103adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
10583, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104stoweidlem44 44359 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
106105ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘))))
107106exlimdvv 1938 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘šβˆƒπ‘ž(π‘š ∈ β„• ∧ (π‘ž:(1...π‘š)βŸΆπ‘„ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)βˆƒπ‘– ∈ (1...π‘š)0 < ((π‘žβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘))))
10874, 107mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (π‘β€˜π‘‘) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ≀ 1) ∧ (π‘β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ (𝑇 βˆ– π‘ˆ)0 < (π‘β€˜π‘‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2888   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  (,)cioo 13271  ...cfz 13431  Ξ£csu 15577  topGenctg 17326  Topctop 22258   Cn ccn 22591  Compccmp 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691
This theorem is referenced by:  stoweidlem55  44370
  Copyright terms: Public domain W3C validator