Theorem stoweidlem53 43594

Description: This lemma is used to prove the existence of a function 𝑝 as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: 𝑝 is in the subalgebra, such that 0 ≤ 𝑝 ≤ 1, p_(t₀) = 0, and 0 < 𝑝 on 𝑇 ∖ 𝑈. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem53.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem53.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem53.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem53.4	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem53.5	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem53.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem53.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem53.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem53.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem53.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem53.14	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem53.15	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
stoweidlem53.16	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem53	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   ℎ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝐴,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝐴   𝑥,𝑄   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑄(𝑡,ℎ,𝑟,𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem53

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem53.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
2		stoweidlem53.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem53.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		stoweidlem53.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
5		stoweidlem53.5	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
6		stoweidlem53.6	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7		stoweidlem53.7	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
8		stoweidlem53.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
9		stoweidlem53.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
10		stoweidlem53.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
11		stoweidlem53.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
12		stoweidlem53.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
13		stoweidlem53.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
14		stoweidlem53.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
15		stoweidlem53.16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	stoweidlem50 43591	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
17		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑢 ∈ Fin
18		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑢
19		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡(ℎ‘𝑍) = 0
20		nfra1 3144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)
21	19, 20	nfan 1902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))
22		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝐴
23	21, 22	nfrabw 3318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡{ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
24	4, 23	nfcxfr 2905	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑄
25		nfrab1 3317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
26	25	nfeq2 2924	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
27	24, 26	nfrex 3242	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
28		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝐽
29	27, 28	nfrabw 3318	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
30	5, 29	nfcxfr 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑊
31	18, 30	nfss 3913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑢 ⊆ 𝑊
32		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
33	32, 1	nfdif 4060	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
34		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡∪ 𝑢
35	33, 34	nfss 3913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
36	17, 31, 35	nf3an 1904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
37	2, 36	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
38		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
39		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑢 ∈ Fin
40		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤𝑢
41		nfrab1 3317	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
42	5, 41	nfcxfr 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤𝑊
43	40, 42	nfss 3913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑢 ⊆ 𝑊
44		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
45	39, 43, 44	nf3an 1904	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
46	38, 45	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
47		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝜑
48		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ 𝑢 ∈ Fin
49		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑢
50		nfre1 3239	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎℎ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
51		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎℎ𝐽
52	50, 51	nfrabw 3318	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
53	5, 52	nfcxfr 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑊
54	49, 53	nfss 3913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ 𝑢 ⊆ 𝑊
55		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
56	48, 54, 55	nf3an 1904	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
57	47, 56	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
58		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑢 ↦ {ℎ ∈ 𝑄 ∣ 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}) = (𝑤 ∈ 𝑢 ↦ {ℎ ∈ 𝑄 ∣ 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}})
59		cmptop 22546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
60	8, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
61		retop 23925	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
62	3, 61	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ Top
63		cnfex 42571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
64	60, 62, 63	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
65	9, 7	sseqtrdi 3971	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
66	64, 65	ssexd 5248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
67	66	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐴 ∈ V)
68		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
69		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝑊)
70		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
71		stoweidlem53.15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
72	71	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
73	37, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72	stoweidlem35 43576	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → ∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
74	16, 73	exlimddv 1938	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
75		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
76		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑚 ∈ ℕ
77		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
78		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑇 ∖ 𝑈)
79		nfre1 3239	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
80	78, 79	nfralw 3151	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
81	77, 80	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
82	76, 81	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))
83	75, 82	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
84		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑚 ∈ ℕ
85		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑞
86		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(1...𝑚)
87	85, 86, 24	nff 6596	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
88		nfra1 3144	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
89	87, 88	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
90	84, 89	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))
91	2, 90	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
92		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞‘𝑦)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞‘𝑦)‘𝑡)))
93		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
94		simprrl 778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄)
95		simprrr 779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
96	65	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
97	10	3adant1r 1176	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
98	11	3adant1r 1176	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
99	12	adantlr 712	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
100		elssuni 4871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
101	100, 6	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
102	14, 101	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
103	102, 15	sseldd 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
104	103	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑍 ∈ 𝑇)
105	83, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104	stoweidlem44 43585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
106	105	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡))))
107	106	exlimdvv 1937	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡))))
108	74, 107	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ran crn 5590  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  ℕcn 11973  (,)cioo 13079  ...cfz 13239  Σcsu 15397  topGenctg 17148  Topctop 22042   Cn ccn 22375  Compccmp 22537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475

This theorem is referenced by:  stoweidlem55  43596