Theorem evthf 46318

Description: A version of evth 25335 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
evthf.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐹
evthf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑋
evthf.4	⊢ Ⅎ𝑦𝑋
evthf.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
evthf.6	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
evthf.7	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
evthf.8	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
evthf.9	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
evthf.10	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evthf.11	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evthf	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem evthf

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthf.7	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		evthf.8	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		evthf.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		evthf.10	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		evthf.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	evth 25335	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎))
7		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑋
8		evthf.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
9		evthf.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐹
10		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑏
11	9, 10	nffv 6926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏)
12		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
13		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑎
14	9, 13	nffv 6926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑎)
15	11, 12, 14	nfbr 5158	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎)
16		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
17		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑦))
18	17	breq1d 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)))
19	7, 8, 15, 16, 18	cbvralfw 3306	. . . 4 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎))
20	19	rexbii 3113	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎))
21		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝑋
22		evthf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
23		evthf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
24		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
25	23, 24	nffv 6926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
26		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
27		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
28	23, 27	nffv 6926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑎)
29	25, 26, 28	nfbr 5158	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
30	22, 29	nfralw 3313	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
31		nfv 1949	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)
32		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑥))
33	32	breq2d 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
34	33	ralbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
35	21, 22, 30, 31, 34	cbvrexfw 3307	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
36	20, 35	bitri 278	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
37	6, 36	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ∅c0 4281  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5108  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ≤ cle 11383  (,)cioo 13516  topGenctg 17658   Cn ccn 23597  Compccmp 23759

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696

This theorem is used by:  rfcnnnub  46327