Theorem evthf 46043

Description: A version of evth 25280 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
evthf.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐹
evthf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑋
evthf.4	⊢ Ⅎ𝑦𝑋
evthf.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
evthf.6	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
evthf.7	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
evthf.8	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
evthf.9	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
evthf.10	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evthf.11	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evthf	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem evthf

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthf.7	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		evthf.8	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		evthf.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		evthf.10	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		evthf.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	evth 25280	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎))
7		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑋
8		evthf.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
9		evthf.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐹
10		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑏
11	9, 10	nffv 6895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏)
12		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
13		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑎
14	9, 13	nffv 6895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑎)
15	11, 12, 14	nfbr 5152	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎)
16		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
17		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑦))
18	17	breq1d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)))
19	7, 8, 15, 16, 18	cbvralfw 3303	. . . 4 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎))
20	19	rexbii 3110	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎))
21		nfcv 2923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝑋
22		evthf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
23		evthf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
24		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
25	23, 24	nffv 6895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
26		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
27		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
28	23, 27	nffv 6895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑎)
29	25, 26, 28	nfbr 5152	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
30	22, 29	nfralw 3310	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
31		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)
32		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑥))
33	32	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
34	33	ralbidv 3186	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
35	21, 22, 30, 31, 34	cbvrexfw 3304	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
36	20, 35	bitri 278	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
37	6, 36	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ran crn 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ≤ cle 11344  (,)cioo 13476  topGenctg 17608   Cn ccn 23542  Compccmp 23704

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641

This theorem is used by:  rfcnnnub  46052