Theorem evthf 45072

Description: A version of evth 24885 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
evthf.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐹
evthf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑋
evthf.4	⊢ Ⅎ𝑦𝑋
evthf.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
evthf.6	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
evthf.7	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
evthf.8	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
evthf.9	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
evthf.10	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evthf.11	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evthf	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evthf

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthf.7	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		evthf.8	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		evthf.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		evthf.10	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		evthf.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	evth 24885	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎))
7		nfcv 2894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑋
8		evthf.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
9		evthf.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐹
10		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑏
11	9, 10	nffv 6832	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏)
12		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
13		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑎
14	9, 13	nffv 6832	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑎)
15	11, 12, 14	nfbr 5136	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎)
16		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
17		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑦))
18	17	breq1d 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)))
19	7, 8, 15, 16, 18	cbvralfw 3272	. . . 4 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎))
20	19	rexbii 3079	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎))
21		nfcv 2894	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝑋
22		evthf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
23		evthf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
24		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
25	23, 24	nffv 6832	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
26		nfcv 2894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
27		nfcv 2894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
28	23, 27	nffv 6832	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑎)
29	25, 26, 28	nfbr 5136	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
30	22, 29	nfralw 3279	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
31		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)
32		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑥))
33	32	breq2d 5101	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
34	33	ralbidv 3155	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
35	21, 22, 30, 31, 34	cbvrexfw 3273	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
36	20, 35	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
37	6, 36	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ∅c0 4280  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ≤ cle 11147  (,)cioo 13245  topGenctg 17341   Cn ccn 23139  Compccmp 23301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-cmp 23302  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237

This theorem is referenced by:  rfcnnnub  45081