Theorem evthf 45214

Description: A version of evth 24912 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
evthf.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐹
evthf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑋
evthf.4	⊢ Ⅎ𝑦𝑋
evthf.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
evthf.6	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
evthf.7	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
evthf.8	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
evthf.9	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
evthf.10	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evthf.11	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evthf	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem evthf

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthf.7	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		evthf.8	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		evthf.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		evthf.10	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		evthf.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	evth 24912	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎))
7		nfcv 2896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑋
8		evthf.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
9		evthf.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐹
10		nfcv 2896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑏
11	9, 10	nffv 6842	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏)
12		nfcv 2896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
13		nfcv 2896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑎
14	9, 13	nffv 6842	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑎)
15	11, 12, 14	nfbr 5143	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎)
16		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
17		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑦))
18	17	breq1d 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)))
19	7, 8, 15, 16, 18	cbvralfw 3274	. . . 4 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎))
20	19	rexbii 3081	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎))
21		nfcv 2896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝑋
22		evthf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
23		evthf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
24		nfcv 2896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
25	23, 24	nffv 6842	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
26		nfcv 2896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
27		nfcv 2896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
28	23, 27	nffv 6842	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑎)
29	25, 26, 28	nfbr 5143	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
30	22, 29	nfralw 3281	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
31		nfv 1915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)
32		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑥))
33	32	breq2d 5108	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
34	33	ralbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
35	21, 22, 30, 31, 34	cbvrexfw 3275	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
36	20, 35	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
37	6, 36	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2881   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  ∅c0 4283  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5096  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ≤ cle 11165  (,)cioo 13259  topGenctg 17355   Cn ccn 23166  Compccmp 23328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-cmp 23329  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264

This theorem is referenced by:  rfcnnnub  45223