Theorem evthf 46180

Description: A version of evth 25289 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
evthf.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐹
evthf.3	⊢ Ⅎ𝑥𝑋
evthf.4	⊢ Ⅎ𝑦𝑋
evthf.5	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
evthf.6	⊢ Ⅎ𝑦𝜑
evthf.7	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
evthf.8	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
evthf.9	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
evthf.10	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
evthf.11	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
evthf	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑥, 𝑦)   𝑋(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem evthf

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evthf.7	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		evthf.8	. . 3 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3		evthf.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
4		evthf.10	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5		evthf.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
6	1, 2, 3, 4, 5	evth 25289	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎))
7		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝑋
8		evthf.4	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑋
9		evthf.2	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝐹
10		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑏
11	9, 10	nffv 6900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏)
12		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 ≤
13		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝑎
14	9, 13	nffv 6900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑎)
15	11, 12, 14	nfbr 5151	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎)
16		nfv 1946	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
17		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑦))
18	17	breq1d 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)))
19	7, 8, 15, 16, 18	cbvralfw 3302	. . . 4 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎))
20	19	rexbii 3109	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎))
21		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎𝑋
22		evthf.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝑋
23		evthf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
24		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
25	23, 24	nffv 6900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
26		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
27		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑎
28	23, 27	nffv 6900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑎)
29	25, 26, 28	nfbr 5151	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
30	22, 29	nfralw 3309	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎)
31		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)
32		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑥))
33	32	breq2d 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
34	33	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
35	21, 22, 30, 31, 34	cbvrexfw 3303	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
36	20, 35	bitri 278	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∀𝑏 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑏) ≤ (𝐹‘𝑎) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
37	6, 36	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∅c0 4277  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ran crn 5652  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ≤ cle 11351  (,)cioo 13483  topGenctg 17617   Cn ccn 23551  Compccmp 23713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-cmp 23714  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650

This theorem is used by:  rfcnnnub  46189