Theorem cnptop1 23265

Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnptop1	⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cnptop1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscnp2 23262	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝑦)))))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽))
5	4	simp1d 1141	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3962  ∪ cuni 4911   “ cima 5691  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Topctop 22914   CnP ccnp 23248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-map 8866  df-top 22915  df-topon 22932  df-cnp 23251

This theorem is referenced by:  cnpco  23290  cncnp2  23304  cnpresti  23311  cnprest2  23313  lmcnp  23327