Theorem cnptop1 23250

Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnptop1	⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem cnptop1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscnp2 23247	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝑦)))))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽))
5	4	simp1d 1143	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Topctop 22899   CnP ccnp 23233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868  df-top 22900  df-topon 22917  df-cnp 23236

This theorem is referenced by:  cnpco  23275  cncnp2  23289  cnpresti  23296  cnprest2  23298  lmcnp  23312