Theorem cnptop2 23187

Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnptop2	⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cnptop2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscnp2 23183	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝑦)))))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽))
5	4	simp2d 1143	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  ∪ cuni 4863   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Topctop 22837   CnP ccnp 23169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765  df-top 22838  df-topon 22855  df-cnp 23172

This theorem is referenced by:  cnpco  23211  cncnp2  23225  cnpresti  23232  cnprest  23233  lmcnp  23248  cnpflfi  23943  flfcnp  23948  flfcnp2  23951