Theorem cnptop2 23400

Description: Reverse closure for a function continuous at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnptop2	⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cnptop2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscnp2 23396	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑦 → ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ 𝑦)))))
4	3	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽))
5	4	simp2d 1161	1 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872   “ cima 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Topctop 23050   CnP ccnp 23382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-map 8822  df-top 23051  df-topon 23068  df-cnp 23385

This theorem is referenced by:  cnpco  23424  cncnp2  23438  cnpresti  23445  cnprest  23446  lmcnp  23461  cnpflfi  24156  flfcnp  24161  flfcnp2  24164