MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnprest2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnprest2 22441
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 𝑋 = 𝐽
cnprest.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnprest2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))

Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 22393 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
2 cnprest.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
32cnprcl 22396 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃𝑋)
41, 3jca 512 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋))
54a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)))
6 cnptop1 22393 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
72cnprcl 22396 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → 𝑃𝑋)
86, 7jca 512 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋))
98a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)))
10 simpl2 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐹:𝑋𝐵)
11 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝑃𝑋)
1210, 11ffvelrnd 6962 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
1312biantrud 532 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)))
14 elin 3903 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵))
1513, 14bitr4di 289 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ↔ (𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵)))
16 imassrn 5980 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑦) ⊆ ran 𝐹
1710frnd 6608 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ran 𝐹𝐵)
1816, 17sstrid 3932 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵)
1918biantrud 532 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵)))
20 ssin 4164 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))
2119, 20bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))
2221anbi2d 629 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
2322rexbidv 3226 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
2415, 23imbi12d 345 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
2524ralbidv 3112 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
26 vex 3436 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
2726inex1 5241 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥𝐵) ∈ V)
29 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
30 cnprest.2 . . . . . . . . . 10 𝑌 = 𝐾
31 uniexg 7593 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
3230, 31eqeltrid 2843 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top → 𝑌 ∈ V)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝑌 ∈ V)
34 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐵𝑌)
3533, 34ssexd 5248 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐵 ∈ V)
36 elrest 17138 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐾 𝑧 = (𝑥𝐵)))
3729, 35, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐾 𝑧 = (𝑥𝐵)))
38 eleq2 2827 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵)))
39 sseq2 3947 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))
4039anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
4140rexbidv 3226 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
4238, 41imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4342adantl 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4428, 37, 43ralxfr2d 5333 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4525, 44bitr4d 281 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧))))
4610, 34fssd 6618 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐹:𝑋𝑌)
47 simprl 768 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
482, 30iscnp2 22390 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
4948baib 536 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
5047, 29, 11, 49syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
5146, 50mpbirand 704 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))))
522toptopon 22066 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5347, 52sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5430toptopon 22066 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5529, 54sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
56 resttopon 22312 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵𝑌) → (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
5755, 34, 56syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
58 iscnp 22388 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
5953, 57, 11, 58syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
6010, 59mpbirand 704 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧))))
6145, 51, 603bitr4d 311 . . 3 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))
6261ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃))))
635, 9, 62pm5.21ndd 381 1 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065  Vcvv 3432  cin 3886  wss 3887   cuni 4839  ran crn 5590  cima 5592  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  t crest 17131  Topctop 22042  TopOnctopon 22059   CnP ccnp 22376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617  df-en 8734  df-fin 8737  df-fi 9170  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cnp 22379
This theorem is referenced by:  limccnp  25055  limccnp2  25056  dirkercncflem4  43647  dirkercncf  43648  fouriercnp  43767
  Copyright terms: Public domain W3C validator