MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnprest2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnprest2 23313
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 𝑋 = 𝐽
cnprest.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnprest2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))

Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 23265 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
2 cnprest.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
32cnprcl 23268 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃𝑋)
41, 3jca 511 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋))
54a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)))
6 cnptop1 23265 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
72cnprcl 23268 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → 𝑃𝑋)
86, 7jca 511 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋))
98a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)))
10 simpl2 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐹:𝑋𝐵)
11 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝑃𝑋)
1210, 11ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
1312biantrud 531 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)))
14 elin 3978 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵))
1513, 14bitr4di 289 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ↔ (𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵)))
16 imassrn 6090 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑦) ⊆ ran 𝐹
1710frnd 6744 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ran 𝐹𝐵)
1816, 17sstrid 4006 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵)
1918biantrud 531 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵)))
20 ssin 4246 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))
2119, 20bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))
2221anbi2d 630 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
2322rexbidv 3176 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
2415, 23imbi12d 344 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
2524ralbidv 3175 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
26 vex 3481 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
2726inex1 5322 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥𝐵) ∈ V)
29 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
30 cnprest.2 . . . . . . . . . 10 𝑌 = 𝐾
31 uniexg 7758 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
3230, 31eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top → 𝑌 ∈ V)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝑌 ∈ V)
34 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐵𝑌)
3533, 34ssexd 5329 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐵 ∈ V)
36 elrest 17473 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐾 𝑧 = (𝑥𝐵)))
3729, 35, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐾 𝑧 = (𝑥𝐵)))
38 eleq2 2827 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵)))
39 sseq2 4021 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))
4039anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
4140rexbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
4238, 41imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4342adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4428, 37, 43ralxfr2d 5415 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4525, 44bitr4d 282 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧))))
4610, 34fssd 6753 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐹:𝑋𝑌)
47 simprl 771 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
482, 30iscnp2 23262 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
4948baib 535 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
5047, 29, 11, 49syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
5146, 50mpbirand 707 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))))
522toptopon 22938 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5347, 52sylib 218 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5430toptopon 22938 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5529, 54sylib 218 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
56 resttopon 23184 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵𝑌) → (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
5755, 34, 56syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
58 iscnp 23260 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
5953, 57, 11, 58syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
6010, 59mpbirand 707 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧))))
6145, 51, 603bitr4d 311 . . 3 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))
6261ex 412 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃))))
635, 9, 62pm5.21ndd 379 1 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962   cuni 4911  ran crn 5689  cima 5691  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  t crest 17466  Topctop 22914  TopOnctopon 22931   CnP ccnp 23248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-map 8866  df-en 8984  df-fin 8987  df-fi 9448  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cnp 23251
This theorem is referenced by:  limccnp  25940  limccnp2  25941  dirkercncflem4  46061  dirkercncf  46062  fouriercnp  46181
  Copyright terms: Public domain W3C validator