MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnprest2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnprest2 21374
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 𝑋 = 𝐽
cnprest.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnprest2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))

Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 21326 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
2 cnprest.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
32cnprcl 21329 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃𝑋)
41, 3jca 507 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋))
54a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)))
6 cnptop1 21326 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
72cnprcl 21329 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → 𝑃𝑋)
86, 7jca 507 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋))
98a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)))
10 simpl2 1244 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐹:𝑋𝐵)
11 simprr 789 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝑃𝑋)
1210, 11ffvelrnd 6550 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
1312biantrud 527 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)))
14 elin 3958 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵))
1513, 14syl6bbr 280 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ↔ (𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵)))
16 imassrn 5659 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑦) ⊆ ran 𝐹
1710frnd 6230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ran 𝐹𝐵)
1816, 17syl5ss 3772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵)
1918biantrud 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵)))
20 ssin 3994 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))
2119, 20syl6bb 278 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))
2221anbi2d 622 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
2322rexbidv 3199 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
2415, 23imbi12d 335 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
2524ralbidv 3133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
26 vex 3353 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
2726inex1 4960 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥𝐵) ∈ V)
29 simpl1 1242 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
30 cnprest.2 . . . . . . . . . 10 𝑌 = 𝐾
31 uniexg 7153 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
3230, 31syl5eqel 2848 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top → 𝑌 ∈ V)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝑌 ∈ V)
34 simpl3 1246 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐵𝑌)
3533, 34ssexd 4966 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐵 ∈ V)
36 elrest 16356 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐾 𝑧 = (𝑥𝐵)))
3729, 35, 36syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐾 𝑧 = (𝑥𝐵)))
38 eleq2 2833 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵)))
39 sseq2 3787 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))
4039anbi2d 622 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
4140rexbidv 3199 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
4238, 41imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4342adantl 473 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4428, 37, 43ralxfr2d 5045 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4525, 44bitr4d 273 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧))))
46 simprl 787 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
472, 30iscnp2 21323 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
4847baib 531 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
4946, 29, 11, 48syl3anc 1490 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
5010, 34fssd 6237 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐹:𝑋𝑌)
5150biantrurd 528 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
5249, 51bitr4d 273 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))))
532toptopon 21001 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5446, 53sylib 209 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5530toptopon 21001 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5629, 55sylib 209 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
57 resttopon 21245 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵𝑌) → (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
5856, 34, 57syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
59 iscnp 21321 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
6054, 58, 11, 59syl3anc 1490 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
6110biantrurd 528 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
6260, 61bitr4d 273 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧))))
6345, 52, 623bitr4d 302 . . 3 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))
6463ex 401 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃))))
655, 9, 64pm5.21ndd 370 1 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732   cuni 4594  ran crn 5278  cima 5280  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  t crest 16349  Topctop 20977  TopOnctopon 20994   CnP ccnp 21309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-fin 8164  df-fi 8524  df-rest 16351  df-topgen 16372  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-cnp 21312
This theorem is referenced by:  limccnp  23946  limccnp2  23947  dirkercncflem4  40892  dirkercncf  40893  fouriercnp  41012
  Copyright terms: Public domain W3C validator