MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnprest2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnprest2 22794
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cnprest.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnprest2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ)))
Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 22746 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 cnprest.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
32cnprcl 22749 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
41, 3jca 513 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
54a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)))
6 cnptop1 22746 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
72cnprcl 22749 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
86, 7jca 513 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
98a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)))
10 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅)
11 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
1210, 11ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
1312biantrud 533 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)))
14 elin 3965 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡))
1513, 14bitr4di 289 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡)))
16 imassrn 6071 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ran 𝐹
1710frnd 6726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
1816, 17sstrid 3994 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝐡)
1918biantrud 533 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯ ↔ ((𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝐡)))
20 ssin 4231 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝐡) ↔ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡))
2119, 20bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯ ↔ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))
2221anbi2d 630 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯) ↔ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡))))
2322rexbidv 3179 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡))))
2415, 23imbi12d 345 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))))
2524ralbidv 3178 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))))
26 vex 3479 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
2726inex1 5318 . . . . . . 7 (π‘₯ ∩ 𝐡) ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐡) ∈ V)
29 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
30 cnprest.2 . . . . . . . . . 10 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
31 uniexg 7730 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐾 ∈ V)
3230, 31eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top β†’ π‘Œ ∈ V)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ V)
34 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 βŠ† π‘Œ)
3533, 34ssexd 5325 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ V)
36 elrest 17373 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝑧 ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐾 𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡)))
3729, 35, 36syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐾 𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡)))
38 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡)))
39 sseq2 4009 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))
4039anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧) ↔ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡))))
4140rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡))))
4238, 41imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧)) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))))
4342adantl 483 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧)) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))))
4428, 37, 43ralxfr2d 5409 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))))
4525, 44bitr4d 282 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧))))
4610, 34fssd 6736 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
47 simprl 770 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
482, 30iscnp2 22743 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)))))
4948baib 537 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)))))
5047, 29, 11, 49syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)))))
5146, 50mpbirand 706 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯))))
522toptopon 22419 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5347, 52sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5430toptopon 22419 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
5529, 54sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
56 resttopon 22665 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5755, 34, 56syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
58 iscnp 22741 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧)))))
5953, 57, 11, 58syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧)))))
6010, 59mpbirand 706 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧))))
6145, 51, 603bitr4d 311 . . 3 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ)))
6261ex 414 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ))))
635, 9, 62pm5.21ndd 381 1 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β†Ύt crest 17366  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   CnP ccnp 22729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cnp 22732
This theorem is referenced by:  limccnp  25408  limccnp2  25409  dirkercncflem4  44822  dirkercncf  44823  fouriercnp  44942
  Copyright terms: Public domain W3C validator