MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnprest2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnprest2 21833
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 𝑋 = 𝐽
cnprest.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnprest2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))

Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 21785 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
2 cnprest.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
32cnprcl 21788 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃𝑋)
41, 3jca 512 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋))
54a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)))
6 cnptop1 21785 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
72cnprcl 21788 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → 𝑃𝑋)
86, 7jca 512 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋))
98a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)))
10 simpl2 1186 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐹:𝑋𝐵)
11 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝑃𝑋)
1210, 11ffvelrnd 6850 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
1312biantrud 532 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)))
14 elin 4173 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵))
1513, 14syl6bbr 290 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 ↔ (𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵)))
16 imassrn 5939 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑦) ⊆ ran 𝐹
1710frnd 6520 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ran 𝐹𝐵)
1816, 17sstrid 3982 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵)
1918biantrud 532 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵)))
20 ssin 4211 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))
2119, 20syl6bb 288 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))
2221anbi2d 628 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → ((𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
2322rexbidv 3302 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
2415, 23imbi12d 346 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
2524ralbidv 3202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
26 vex 3503 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
2726inex1 5218 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑥𝐾) → (𝑥𝐵) ∈ V)
29 simpl1 1185 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
30 cnprest.2 . . . . . . . . . 10 𝑌 = 𝐾
31 uniexg 7461 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
3230, 31eqeltrid 2922 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top → 𝑌 ∈ V)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝑌 ∈ V)
34 simpl3 1187 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐵𝑌)
3533, 34ssexd 5225 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐵 ∈ V)
36 elrest 16696 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐾 𝑧 = (𝑥𝐵)))
3729, 35, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐾 𝑧 = (𝑥𝐵)))
38 eleq2 2906 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵)))
39 sseq2 3997 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))
4039anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥𝐵) → ((𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
4140rexbidv 3302 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵))))
4238, 41imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4342adantl 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝑥𝐵)) → (((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4428, 37, 43ralxfr2d 5307 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ (𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ (𝑥𝐵)))))
4525, 44bitr4d 283 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧))))
4610, 34fssd 6527 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐹:𝑋𝑌)
47 simprl 767 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
482, 30iscnp2 21782 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
4948baib 536 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
5047, 29, 11, 49syl3anc 1365 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))))
5146, 50mpbirand 703 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ∀𝑥𝐾 ((𝐹𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))))
522toptopon 21460 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5347, 52sylib 219 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5430toptopon 21460 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5529, 54sylib 219 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
56 resttopon 21704 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵𝑌) → (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
5755, 34, 56syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
58 iscnp 21780 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
5953, 57, 11, 58syl3anc 1365 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧)))))
6010, 59mpbirand 703 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾t 𝐵)((𝐹𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑧))))
6145, 51, 603bitr4d 312 . . 3 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))
6261ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃))))
635, 9, 62pm5.21ndd 381 1 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋𝐵𝐵𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾t 𝐵))‘𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  Vcvv 3500  cin 3939  wss 3940   cuni 4837  ran crn 5555  cima 5557  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  t crest 16689  Topctop 21436  TopOnctopon 21453   CnP ccnp 21768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-fin 8507  df-fi 8869  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-top 21437  df-topon 21454  df-bases 21489  df-cnp 21771
This theorem is referenced by:  limccnp  24423  limccnp2  24424  dirkercncflem4  42276  dirkercncf  42277  fouriercnp  42396
  Copyright terms: Public domain W3C validator