MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnprest2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnprest2 22785
Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
cnprest.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnprest2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ)))
Proof of Theorem cnprest2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop1 22737 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 cnprest.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
32cnprcl 22740 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
41, 3jca 512 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
54a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)))
6 cnptop1 22737 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
72cnprcl 22740 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
86, 7jca 512 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
98a1i 11 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) β†’ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)))
10 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅)
11 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
1210, 11ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
1312biantrud 532 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)))
14 elin 3963 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡))
1513, 14bitr4di 288 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡)))
16 imassrn 6068 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† ran 𝐹
1710frnd 6722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
1816, 17sstrid 3992 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝐡)
1918biantrud 532 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯ ↔ ((𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝐡)))
20 ssin 4229 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯ ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝐡) ↔ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡))
2119, 20bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯ ↔ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))
2221anbi2d 629 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯) ↔ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡))))
2322rexbidv 3178 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡))))
2415, 23imbi12d 344 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))))
2524ralbidv 3177 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))))
26 vex 3478 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
2726inex1 5316 . . . . . . 7 (π‘₯ ∩ 𝐡) ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐾) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐡) ∈ V)
29 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Top)
30 cnprest.2 . . . . . . . . . 10 π‘Œ = βˆͺ 𝐾
31 uniexg 7726 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐾 ∈ V)
3230, 31eqeltrid 2837 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Top β†’ π‘Œ ∈ V)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ V)
34 simpl3 1193 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 βŠ† π‘Œ)
3533, 34ssexd 5323 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ V)
36 elrest 17369 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝑧 ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐾 𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡)))
3729, 35, 36syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐾 𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡)))
38 eleq2 2822 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 ↔ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡)))
39 sseq2 4007 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ ((𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧 ↔ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))
4039anbi2d 629 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧) ↔ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡))))
4140rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡))))
4238, 41imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧)) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))))
4342adantl 482 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 = (π‘₯ ∩ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧)) ↔ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))))
4428, 37, 43ralxfr2d 5407 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ (π‘₯ ∩ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† (π‘₯ ∩ 𝐡)))))
4525, 44bitr4d 281 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧))))
4610, 34fssd 6732 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
47 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
482, 30iscnp2 22734 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)))))
4948baib 536 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)))))
5047, 29, 11, 49syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯)))))
5146, 50mpbirand 705 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐾 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† π‘₯))))
522toptopon 22410 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5347, 52sylib 217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5430toptopon 22410 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
5529, 54sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
56 resttopon 22656 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
5755, 34, 56syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ (TopOnβ€˜π΅))
58 iscnp 22732 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ (TopOnβ€˜π΅) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧)))))
5953, 57, 11, 58syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) ↔ (𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧)))))
6010, 59mpbirand 705 . . . 4 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐾 β†Ύt 𝐡)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 β€œ 𝑦) βŠ† 𝑧))))
6145, 51, 603bitr4d 310 . . 3 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ)))
6261ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ))))
635, 9, 62pm5.21ndd 380 1 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΅ ∧ 𝐡 βŠ† π‘Œ) β†’ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 β†Ύt 𝐡))β€˜π‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  ran crn 5676   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   β†Ύt crest 17362  Topctop 22386  TopOnctopon 22403   CnP ccnp 22720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8818  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cnp 22723
This theorem is referenced by:  limccnp  25399  limccnp2  25400  dirkercncflem4  44808  dirkercncf  44809  fouriercnp  44928
  Copyright terms: Public domain W3C validator