Theorem cnprest2 21898

Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnprest.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
cnprest.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
cnprest2	⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃)))

Proof of Theorem cnprest2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnptop1 21850	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
2		cnprest.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	cnprcl 21853	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
4	1, 3	jca 514	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)))
6		cnptop1 21850	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
7	2	cnprcl 21853	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → 𝑃 ∈ 𝑋)
8	6, 7	jca 514	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋))
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)))
10		simpl2 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝐵)
11		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
12	10, 11	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
13	12	biantrud 534	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)))
14		elin 4169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵))
15	13, 14	syl6bbr 291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)))
16		imassrn 5940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ ran 𝐹
17	10	frnd 6521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
18	16, 17	sstrid 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝐵)
19	18	biantrud 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝐵)))
20		ssin 4207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))
21	19, 20	syl6bb 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))
22	21	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
23	22	rexbidv 3297	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
24	15, 23	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
25	24	ralbidv 3197	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
26		vex 3497	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
27	26	inex1 5221	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V)
29		simpl1 1187	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ Top)
30		cnprest.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
31		uniexg 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ∪ 𝐾 ∈ V)
32	30, 31	eqeltrid 2917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Top → 𝑌 ∈ V)
33	29, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝑌 ∈ V)
34		simpl3 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ⊆ 𝑌)
35	33, 34	ssexd 5228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ V)
36		elrest 16701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
37	29, 35, 36	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐾 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵)))
38		eleq2 2901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵)))
39		sseq2 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))
40	39	anbi2d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
41	40	rexbidv 3297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵))))
42	38, 41	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵) → (((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
43	42	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
44	28, 37, 43	ralxfr2d 5311	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ (𝑥 ∩ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ (𝑥 ∩ 𝐵)))))
45	25, 44	bitr4d 284	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧))))
46	10, 34	fssd 6528	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
47		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
48	2, 30	iscnp2 21847	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)))))
49	48	baib 538	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)))))
50	47, 29, 11, 49	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥)))))
51	46, 50	mpbirand 705	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐾 ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑥))))
52	2	toptopon 21525	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
53	47, 52	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
54	30	toptopon 21525	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
55	29, 54	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
56		resttopon 21769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
57	55, 34, 56	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵))
58		iscnp 21845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)))))
59	53, 57, 11, 58	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧)))))
60	10, 59	mpbirand 705	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐾 ↾t 𝐵)((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝐹 “ 𝑦) ⊆ 𝑧))))
61	45, 51, 60	3bitr4d 313	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) ∧ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃)))
62	61	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃))))
63	5, 9, 62	pm5.21ndd 383	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐹:𝑋⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP (𝐾 ↾t 𝐵))‘𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∪ cuni 4838  ran crn 5556   “ cima 5558  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↾_t crest 16694  Topctop 21501  TopOnctopon 21518   CnP ccnp 21833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-fin 8513  df-fi 8875  df-rest 16696  df-topgen 16717  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-cnp 21836

This theorem is referenced by:  limccnp  24489  limccnp2  24490  dirkercncflem4  42411  dirkercncf  42412  fouriercnp  42531