MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcnp 23312
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcnp.4 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
lmcnp (𝜑 → (𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃))

Proof of Theorem lmcnp
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.4 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
2 eqid 2737 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
3 eqid 2737 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
42, 3cnpf 23255 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺: 𝐽 𝐾)
6 lmcnp.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
7 cnptop1 23250 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ Top)
9 toptopon2 22924 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
108, 9sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
11 nnuz 12921 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 12648 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1310, 11, 12lmbr2 23267 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))))
146, 13mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣))))
1514simp1d 1143 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ))
168uniexd 7762 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐽 ∈ V)
17 cnex 11236 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
18 elpm2g 8884 . . . . . . . 8 (( 𝐽 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
2015, 19mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
2120simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹 𝐽)
22 fco 6760 . . . . 5 ((𝐺: 𝐽 𝐾𝐹:dom 𝐹 𝐽) → (𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾)
235, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾)
2423ffdmd 6766 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾)
2523fdmd 6746 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐺𝐹) = dom 𝐹)
2620simprd 495 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
2725, 26eqsstrd 4018 . . 3 (𝜑 → dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)
28 cnptop2 23251 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐾 ∈ Top)
291, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
3029uniexd 7762 . . . 4 (𝜑 𝐾 ∈ V)
31 elpm2g 8884 . . . 4 (( 𝐾 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ↔ ((𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾 ∧ dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)))
3230, 17, 31sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ↔ ((𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾 ∧ dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)))
3324, 27, 32mpbir2and 713 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ))
3414simp2d 1144 . . 3 (𝜑𝑃 𝐽)
355, 34ffvelcdmd 7105 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑃) ∈ 𝐾)
3614simp3d 1145 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))
38 cnpimaex 23264 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
39383expb 1121 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
401, 39sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
41 r19.29 3114 . . . . . . 7 ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
42 pm3.45 622 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) → ((𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
4342imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
4443reximi 3084 . . . . . . 7 (∃𝑣𝐽 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
4541, 44syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
465ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
4746ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺 Fn 𝐽)
48 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣𝐽)
49 elssuni 4937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣𝐽𝑣 𝐽)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣 𝐽)
51 fnfvima 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 Fn 𝐽𝑣 𝐽 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣))
52513expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn 𝐽𝑣 𝐽) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
5347, 50, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
5421ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:dom 𝐹 𝐽)
55 fvco3 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:dom 𝐹 𝐽𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
5654, 55sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
5756eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣) ↔ (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
5853, 57sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣)))
59 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)
6059sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
6158, 60syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
62 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
6325ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → dom (𝐺𝐹) = dom 𝐹)
6462, 63eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹))
6561, 64jctild 525 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
6665expimpd 453 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → (𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
6766ralimdv 3169 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
6867reximdv 3170 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
6968expr 456 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))))
7069impcomd 411 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7170rexlimdva 3155 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7245, 71syl5 34 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7337, 40, 72mp2and 699 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
7473expr 456 . . 3 ((𝜑𝑢𝐾) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7574ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐾 ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
76 toptopon2 22924 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
7729, 76sylib 218 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
7877, 11, 12lmbr2 23267 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃) ↔ ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑢𝐾 ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
7933, 35, 75, 78mpbir3and 1343 1 (𝜑 → (𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   cuni 4907   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cima 5688  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  pm cpm 8867  cc 11153  1c1 11156  cn 12266  cuz 12878  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   CnP ccnp 23233  𝑡clm 23234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-top 22900  df-topon 22917  df-cnp 23236  df-lm 23237
This theorem is referenced by:  lmcn  23313  1stccnp  23470
  Copyright terms: Public domain W3C validator