Theorem lmcnp 21600

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcnp.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
lmcnp	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Proof of Theorem lmcnp

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
2		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3		eqid 2797	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	2, 3	cnpf 21543	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		lmcnp.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
7		cnptop1 21538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
9		toptopon2 21214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
10	8, 9	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
11		nnuz 12134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12		1zzd 11867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	lmbr2 21555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)))))
14	6, 13	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣))))
15	14	simp1d 1135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ))
16		uniexg 7332	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ V)
17	8, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
18		cnex 10471	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
19		elpm2g 8280	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝐽 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
20	17, 18, 19	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
21	15, 20	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
22	21	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽)
23		fco 6406	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽) → (𝐺 ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶∪ 𝐾)
24	5, 22, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶∪ 𝐾)
25	24	ffdmd 6412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟶∪ 𝐾)
26	24	fdmd 6398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∘ 𝐹) = dom 𝐹)
27	21	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
28	26, 27	eqsstrd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∘ 𝐹) ⊆ ℂ)
29		cnptop2 21539	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐾 ∈ Top)
30	1, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
31		uniexg 7332	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Top → ∪ 𝐾 ∈ V)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 ∈ V)
33		elpm2g 8280	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐾 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟶∪ 𝐾 ∧ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ⊆ ℂ)))
34	32, 18, 33	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟶∪ 𝐾 ∧ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ⊆ ℂ)))
35	25, 28, 34	mpbir2and 709	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ))
36	14	simp2d 1136	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
37	5, 36	ffvelrnd 6724	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) ∈ ∪ 𝐾)
38	14	simp3d 1137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)))
39	38	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)))
40		cnpimaex 21552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
41	40	3expb 1113	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
42	1, 41	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
43		r19.29 3220	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
44		pm3.45 621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) → ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
45	44	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
46	45	reximi 3209	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
47	43, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
48	5	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
49	48	ffnd 6390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺 Fn ∪ 𝐽)
50		simplrl 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣 ∈ 𝐽)
51		elssuni 4780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽)
53		fnfvima 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 Fn ∪ 𝐽 ∧ 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣))
54	53	3expia 1114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 Fn ∪ 𝐽 ∧ 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
55	49, 52, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
56	22	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽)
57		fvco3 6634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹‘𝑘)))
58	56, 57	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹‘𝑘)))
59	58	eleq1d 2869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺 “ 𝑣) ↔ (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
60	55, 59	sylibrd 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
61		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)
62	61	sseld 3894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺 “ 𝑣) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
63	60, 62	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
64		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
65	26	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → dom (𝐺 ∘ 𝐹) = dom 𝐹)
66	64, 65	eleqtrrd 2888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹))
67	63, 66	jctild 526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → (𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
68	67	expimpd 454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → (𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
69	68	ralimdv 3147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
70	69	reximdv 3238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
71	70	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))))
72	71	impcomd 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
73	72	rexlimdva 3249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
74	47, 73	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
75	39, 42, 74	mp2and 695	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
76	75	expr 457	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
77	76	ralrimiva 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
78		toptopon2 21214	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
79	30, 78	sylib 219	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
80	79, 11, 12	lmbr2 21555	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ ∪ 𝐾 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
81	35, 37, 77, 80	mpbir3and 1335	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  ∃wrex 3108  Vcvv 3440   ⊆ wss 3865  ∪ cuni 4751   class class class wbr 4968  dom cdm 5450   “ cima 5453   ∘ ccom 5454   Fn wfn 6227  ⟶wf 6228  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023   ↑_pm cpm 8264  ℂcc 10388  1c1 10391  ℕcn 11492  ℤ_≥cuz 12097  Topctop 21189  TopOnctopon 21206   CnP ccnp 21521  ⇝_𝑡clm 21522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-z 11836  df-uz 12098  df-top 21190  df-topon 21207  df-cnp 21524  df-lm 21525

This theorem is referenced by:  lmcn  21601  1stccnp  21758