Theorem lmcnp 23312

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcnp.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
lmcnp	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Proof of Theorem lmcnp

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	2, 3	cnpf 23255	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		lmcnp.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
7		cnptop1 23250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
9		toptopon2 22924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
10	8, 9	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
11		nnuz 12921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12		1zzd 12648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	lmbr2 23267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)))))
14	6, 13	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣))))
15	14	simp1d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ))
16	8	uniexd 7762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
17		cnex 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
18		elpm2g 8884	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝐽 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
20	15, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
21	20	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽)
22		fco 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽) → (𝐺 ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶∪ 𝐾)
23	5, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶∪ 𝐾)
24	23	ffdmd 6766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟶∪ 𝐾)
25	23	fdmd 6746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∘ 𝐹) = dom 𝐹)
26	20	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
27	25, 26	eqsstrd 4018	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∘ 𝐹) ⊆ ℂ)
28		cnptop2 23251	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐾 ∈ Top)
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
30	29	uniexd 7762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 ∈ V)
31		elpm2g 8884	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐾 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟶∪ 𝐾 ∧ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ⊆ ℂ)))
32	30, 17, 31	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟶∪ 𝐾 ∧ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ⊆ ℂ)))
33	24, 27, 32	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ))
34	14	simp2d 1144	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
35	5, 34	ffvelcdmd 7105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) ∈ ∪ 𝐾)
36	14	simp3d 1145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)))
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)))
38		cnpimaex 23264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
39	38	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
40	1, 39	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
41		r19.29 3114	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
42		pm3.45 622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) → ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
43	42	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
44	43	reximi 3084	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
45	41, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
46	5	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
47	46	ffnd 6737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺 Fn ∪ 𝐽)
48		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣 ∈ 𝐽)
49		elssuni 4937	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽)
51		fnfvima 7253	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 Fn ∪ 𝐽 ∧ 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣))
52	51	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 Fn ∪ 𝐽 ∧ 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
53	47, 50, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
54	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽)
55		fvco3 7008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹‘𝑘)))
56	54, 55	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹‘𝑘)))
57	56	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺 “ 𝑣) ↔ (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
58	53, 57	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
59		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)
60	59	sseld 3982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺 “ 𝑣) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
61	58, 60	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
62		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
63	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → dom (𝐺 ∘ 𝐹) = dom 𝐹)
64	62, 63	eleqtrrd 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹))
65	61, 64	jctild 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → (𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
66	65	expimpd 453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → (𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
67	66	ralimdv 3169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
68	67	reximdv 3170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
69	68	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))))
70	69	impcomd 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
71	70	rexlimdva 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
72	45, 71	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
73	37, 40, 72	mp2and 699	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
74	73	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
75	74	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
76		toptopon2 22924	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
77	29, 76	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
78	77, 11, 12	lmbr2 23267	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ ∪ 𝐾 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
79	33, 35, 75, 78	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143  dom cdm 5685   “ cima 5688   ∘ ccom 5689   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8867  ℂcc 11153  1c1 11156  ℕcn 12266  ℤ_≥cuz 12878  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   CnP ccnp 23233  ⇝_𝑡clm 23234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-uz 12879  df-top 22900  df-topon 22917  df-cnp 23236  df-lm 23237

This theorem is referenced by:  lmcn  23313  1stccnp  23470