MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcnp 22808
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
lmcnp.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
lmcnp (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ 𝐹)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΊβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem lmcnp
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.4 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ))
2 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
3 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
42, 3cnpf 22751 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝐺:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
51, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
6 lmcnp.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
7 cnptop1 22746 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝐽 ∈ Top)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
9 toptopon2 22420 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
108, 9sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
11 nnuz 12865 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
12 1zzd 12593 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
1310, 11, 12lmbr2 22763 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (βˆͺ 𝐽 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))))
146, 13mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (βˆͺ 𝐽 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣))))
1514simp1d 1143 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (βˆͺ 𝐽 ↑pm β„‚))
168uniexd 7732 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐽 ∈ V)
17 cnex 11191 . . . . . . . 8 β„‚ ∈ V
18 elpm2g 8838 . . . . . . . 8 ((βˆͺ 𝐽 ∈ V ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (βˆͺ 𝐽 ↑pm β„‚) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢βˆͺ 𝐽 ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚)))
1916, 17, 18sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (βˆͺ 𝐽 ↑pm β„‚) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟢βˆͺ 𝐽 ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚)))
2015, 19mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom 𝐹⟢βˆͺ 𝐽 ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚))
2120simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢βˆͺ 𝐽)
22 fco 6742 . . . . 5 ((𝐺:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟢βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):dom 𝐹⟢βˆͺ 𝐾)
235, 21, 22syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):dom 𝐹⟢βˆͺ 𝐾)
2423ffdmd 6749 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾)
2523fdmd 6729 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝐺 ∘ 𝐹) = dom 𝐹)
2620simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
2725, 26eqsstrd 4021 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (𝐺 ∘ 𝐹) βŠ† β„‚)
28 cnptop2 22747 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
291, 28syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
3029uniexd 7732 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝐾 ∈ V)
31 elpm2g 8838 . . . 4 ((βˆͺ 𝐾 ∈ V ∧ β„‚ ∈ V) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (βˆͺ 𝐾 ↑pm β„‚) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾 ∧ dom (𝐺 ∘ 𝐹) βŠ† β„‚)))
3230, 17, 31sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (βˆͺ 𝐾 ↑pm β„‚) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟢βˆͺ 𝐾 ∧ dom (𝐺 ∘ 𝐹) βŠ† β„‚)))
3324, 27, 32mpbir2and 712 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (βˆͺ 𝐾 ↑pm β„‚))
3414simp2d 1144 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ βˆͺ 𝐽)
355, 34ffvelcdmd 7088 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ βˆͺ 𝐾)
3614simp3d 1145 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
3736adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)))
38 cnpimaex 22760 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ 𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
39383expb 1121 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜π‘ƒ) ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
401, 39sylan 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
41 r19.29 3115 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
42 pm3.45 623 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) β†’ ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)))
4342imp 408 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
4443reximi 3085 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
4541, 44syl 17 . . . . . 6 ((βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒))
465ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐺:βˆͺ 𝐽⟢βˆͺ 𝐾)
4746ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ 𝐺 Fn βˆͺ 𝐽)
48 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ 𝑣 ∈ 𝐽)
49 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 ∈ 𝐽 β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽)
51 fnfvima 7235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 Fn βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (𝐺 β€œ 𝑣))
52513expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn βˆͺ 𝐽 ∧ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣 β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (𝐺 β€œ 𝑣)))
5347, 50, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣 β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (𝐺 β€œ 𝑣)))
5421ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ 𝐹:dom 𝐹⟢βˆͺ 𝐽)
55 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:dom 𝐹⟢βˆͺ 𝐽 ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
5654, 55sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
5756eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ (((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ (𝐺 β€œ 𝑣) ↔ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ (𝐺 β€œ 𝑣)))
5853, 57sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣 β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ (𝐺 β€œ 𝑣)))
59 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)
6059sseld 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ (((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ (𝐺 β€œ 𝑣) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
6158, 60syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣 β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
62 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
6325ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ dom (𝐺 ∘ 𝐹) = dom 𝐹)
6462, 63eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹))
6561, 64jctild 527 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) ∧ π‘˜ ∈ dom 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣 β†’ (π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6665expimpd 455 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ (π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6766ralimdv 3170 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6867reximdv 3171 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
6968expr 458 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ ((𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒 β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒))))
7069impcomd 413 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) β†’ ((βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7170rexlimdva 3156 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7245, 71syl5 34 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑣)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 β€œ 𝑣) βŠ† 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7337, 40, 72mp2and 698 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒))
7473expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝐾) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
7574ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))
76 toptopon2 22420 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
7729, 76sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
7877, 11, 12lmbr2 22763 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΊβ€˜π‘ƒ) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (βˆͺ 𝐾 ↑pm β„‚) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝐾 ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘˜) ∈ 𝑒)))))
7933, 35, 75, 78mpbir3and 1343 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ 𝐹)(β‡π‘‘β€˜πΎ)(πΊβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„‚cc 11108  1c1 11111  β„•cn 12212  β„€β‰₯cuz 12822  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   CnP ccnp 22729  β‡π‘‘clm 22730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-z 12559  df-uz 12823  df-top 22396  df-topon 22413  df-cnp 22732  df-lm 22733
This theorem is referenced by:  lmcn  22809  1stccnp  22966
  Copyright terms: Public domain W3C validator