MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcnp 21840
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcnp.4 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
lmcnp (𝜑 → (𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃))

Proof of Theorem lmcnp
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.4 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
2 eqid 2818 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
3 eqid 2818 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
42, 3cnpf 21783 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺: 𝐽 𝐾)
6 lmcnp.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
7 cnptop1 21778 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ Top)
9 toptopon2 21454 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
108, 9sylib 219 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
11 nnuz 12269 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 12001 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1310, 11, 12lmbr2 21795 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))))
146, 13mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣))))
1514simp1d 1134 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ))
168uniexd 7457 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐽 ∈ V)
17 cnex 10606 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
18 elpm2g 8412 . . . . . . . 8 (( 𝐽 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
2015, 19mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
2120simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹 𝐽)
22 fco 6524 . . . . 5 ((𝐺: 𝐽 𝐾𝐹:dom 𝐹 𝐽) → (𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾)
235, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾)
2423ffdmd 6530 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾)
2523fdmd 6516 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐺𝐹) = dom 𝐹)
2620simprd 496 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
2725, 26eqsstrd 4002 . . 3 (𝜑 → dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)
28 cnptop2 21779 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐾 ∈ Top)
291, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
3029uniexd 7457 . . . 4 (𝜑 𝐾 ∈ V)
31 elpm2g 8412 . . . 4 (( 𝐾 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ↔ ((𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾 ∧ dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)))
3230, 17, 31sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ↔ ((𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾 ∧ dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)))
3324, 27, 32mpbir2and 709 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ))
3414simp2d 1135 . . 3 (𝜑𝑃 𝐽)
355, 34ffvelrnd 6844 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑃) ∈ 𝐾)
3614simp3d 1136 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))
3736adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))
38 cnpimaex 21792 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
39383expb 1112 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
401, 39sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
41 r19.29 3251 . . . . . . 7 ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
42 pm3.45 621 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) → ((𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
4342imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
4443reximi 3240 . . . . . . 7 (∃𝑣𝐽 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
4541, 44syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
465ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
4746ffnd 6508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺 Fn 𝐽)
48 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣𝐽)
49 elssuni 4859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣𝐽𝑣 𝐽)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣 𝐽)
51 fnfvima 6986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 Fn 𝐽𝑣 𝐽 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣))
52513expia 1113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Fn 𝐽𝑣 𝐽) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
5347, 50, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
5421ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:dom 𝐹 𝐽)
55 fvco3 6753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:dom 𝐹 𝐽𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
5654, 55sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
5756eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣) ↔ (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
5853, 57sylibrd 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣)))
59 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)
6059sseld 3963 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
6158, 60syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
62 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
6325ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → dom (𝐺𝐹) = dom 𝐹)
6462, 63eleqtrrd 2913 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹))
6561, 64jctild 526 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
6665expimpd 454 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → (𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
6766ralimdv 3175 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
6867reximdv 3270 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
6968expr 457 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))))
7069impcomd 412 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7170rexlimdva 3281 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7245, 71syl5 34 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7337, 40, 72mp2and 695 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
7473expr 457 . . 3 ((𝜑𝑢𝐾) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7574ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐾 ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
76 toptopon2 21454 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
7729, 76sylib 219 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
7877, 11, 12lmbr2 21795 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃) ↔ ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑢𝐾 ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
7933, 35, 75, 78mpbir3and 1334 1 (𝜑 → (𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933   cuni 4830   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  cima 5551  ccom 5552   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  pm cpm 8396  cc 10523  1c1 10526  cn 11626  cuz 12231  Topctop 21429  TopOnctopon 21446   CnP ccnp 21761  𝑡clm 21762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-z 11970  df-uz 12232  df-top 21430  df-topon 21447  df-cnp 21764  df-lm 21765
This theorem is referenced by:  lmcn  21841  1stccnp  21998
  Copyright terms: Public domain W3C validator