Theorem lmcnp 23333

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcnp.3	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
lmcnp.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
lmcnp	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Proof of Theorem lmcnp

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcnp.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
2		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
3		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
4	2, 3	cnpf 23276	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
6		lmcnp.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)
7		cnptop1 23271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
9		toptopon2 22945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
10	8, 9	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
11		nnuz 12946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12		1zzd 12674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	lmbr2 23288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)))))
14	6, 13	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣))))
15	14	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ))
16	8	uniexd 7777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐽 ∈ V)
17		cnex 11265	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
18		elpm2g 8902	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝐽 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
19	16, 17, 18	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐽 ↑pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
20	15, 19	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
21	20	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽)
22		fco 6771	. . . . 5 ⊢ ((𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽) → (𝐺 ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶∪ 𝐾)
23	5, 21, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶∪ 𝐾)
24	23	ffdmd 6778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟶∪ 𝐾)
25	23	fdmd 6757	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∘ 𝐹) = dom 𝐹)
26	20	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
27	25, 26	eqsstrd 4047	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∘ 𝐹) ⊆ ℂ)
28		cnptop2 23272	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐾 ∈ Top)
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
30	29	uniexd 7777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝐾 ∈ V)
31		elpm2g 8902	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝐾 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟶∪ 𝐾 ∧ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ⊆ ℂ)))
32	30, 17, 31	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):dom (𝐺 ∘ 𝐹)⟶∪ 𝐾 ∧ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ⊆ ℂ)))
33	24, 27, 32	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ))
34	14	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
35	5, 34	ffvelcdmd 7119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) ∈ ∪ 𝐾)
36	14	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)))
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)))
38		cnpimaex 23285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
39	38	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
40	1, 39	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
41		r19.29 3120	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
42		pm3.45 621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) → ((𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)))
43	42	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
44	43	reximi 3090	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐽 ((𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
45	41, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢))
46	5	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾)
47	46	ffnd 6748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺 Fn ∪ 𝐽)
48		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣 ∈ 𝐽)
49		elssuni 4961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽)
51		fnfvima 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 Fn ∪ 𝐽 ∧ 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣))
52	51	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 Fn ∪ 𝐽 ∧ 𝑣 ⊆ ∪ 𝐽) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
53	47, 50, 52	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
54	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽)
55		fvco3 7021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶∪ 𝐽 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹‘𝑘)))
56	54, 55	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹‘𝑘)))
57	56	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺 “ 𝑣) ↔ (𝐺‘(𝐹‘𝑘)) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
58	53, 57	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺 “ 𝑣)))
59		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)
60	59	sseld 4007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺 “ 𝑣) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
61	58, 60	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
62		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
63	25	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → dom (𝐺 ∘ 𝐹) = dom 𝐹)
64	62, 63	eleqtrrd 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹))
65	61, 64	jctild 525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣 → (𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
66	65	expimpd 453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → (𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
67	66	ralimdv 3175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
68	67	reximdv 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣 ∈ 𝐽 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
69	68	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))))
70	69	impcomd 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣 ∈ 𝐽) → ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
71	70	rexlimdva 3161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
72	45, 71	syl5 34	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑣 ∧ (𝐺 “ 𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
73	37, 40, 72	mp2and 698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
74	73	expr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝐾) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
75	74	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
76		toptopon2 22945	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
77	29, 76	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
78	77, 11, 12	lmbr2 23288	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (∪ 𝐾 ↑pm ℂ) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ ∪ 𝐾 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐾 ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺 ∘ 𝐹) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
79	33, 35, 75, 78	mpbir3and 1342	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹)(⇝𝑡‘𝐾)(𝐺‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   “ cima 5703   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_pm cpm 8885  ℂcc 11182  1c1 11185  ℕcn 12293  ℤ_≥cuz 12903  Topctop 22920  TopOnctopon 22937   CnP ccnp 23254  ⇝_𝑡clm 23255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904  df-top 22921  df-topon 22938  df-cnp 23257  df-lm 23258

This theorem is referenced by:  lmcn  23334  1stccnp  23491