Theorem cntop2 23156

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23153	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∪ cuni 4856  ^◡ccnv 5613   “ cima 5617  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346  Topctop 22808   Cn ccn 23139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-top 22809  df-topon 22826  df-cn 23142

This theorem is referenced by:  cnco  23181  cncls2i  23185  cnntri  23186  cnss1  23191  cncnpi  23193  cncnp2  23196  cnrest  23200  cnrest2r  23202  paste  23209  cncmp  23307  rncmp  23311  cnconn  23337  connima  23340  conncn  23341  2ndcomap  23373  kgen2cn  23474  txcnmpt  23539  uptx  23540  lmcn2  23564  xkoco1cn  23572  xkoco2cn  23573  xkococnlem  23574  cnmpt11  23578  cnmpt11f  23579  cnmpt1t  23580  cnmpt12  23582  cnmpt21  23586  cnmpt2t  23588  cnmpt22  23589  cnmpt22f  23590  cnmptcom  23593  cnmpt2k  23603  qtopeu  23631  hmeofval  23673  hmeof1o  23679  hmeontr  23684  hmeores  23686  hmeoqtop  23690  hmphen  23700  reghmph  23708  nrmhmph  23709  txhmeo  23718  xpstopnlem1  23724  flfcntr  23958  cnmpopc  24849  ishtpy  24898  htpyco1  24904  htpyco2  24905  isphtpy  24907  phtpyco2  24916  isphtpc  24920  pcofval  24937  pcopt  24949  pcopt2  24950  pcorevlem  24953  pi1cof  24986  pi1coghm  24988  cnmbfm  34276  cnpconn  35274  cnneiima  49027