Theorem cntop2 23448

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23445	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 501	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∪ cuni 4874  ^◡ccnv 5662   “ cima 5666  ⟶wf 6536  (class class class)co 7419  Topctop 23100   Cn ccn 23431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832  df-top 23101  df-topon 23118  df-cn 23434

This theorem is used by:  cnco  23473  cncls2i  23477  cnntri  23478  cnss1  23483  cncnpi  23485  cncnp2  23488  cnrest  23492  cnrest2r  23494  paste  23501  cncmp  23599  rncmp  23603  cnconn  23629  connima  23632  conncn  23633  2ndcomap  23666  kgen2cn  23767  txcnmpt  23832  uptx  23833  lmcn2  23857  xkoco1cn  23865  xkoco2cn  23866  xkococnlem  23867  cnmpt11  23871  cnmpt11f  23872  cnmpt1t  23873  cnmpt12  23875  cnmpt21  23879  cnmpt2t  23881  cnmpt22  23882  cnmpt22f  23883  cnmptcom  23886  cnmpt2k  23896  qtopeu  23924  hmeofval  23966  hmeof1o  23972  hmeontr  23977  hmeores  23979  hmeoqtop  23983  hmphen  23993  reghmph  24001  nrmhmph  24002  txhmeo  24011  xpstopnlem1  24017  flfcntr  24251  cnmpopc  25138  ishtpy  25182  htpyco1  25188  htpyco2  25189  isphtpy  25191  phtpyco2  25200  isphtpc  25204  pcofval  25220  pcopt  25232  pcopt2  25233  pcorevlem  25236  pi1cof  25269  pi1coghm  25271  cnmbfm  34718  cnpconn  35759  cnneiima  49752