Theorem cntop2 23301

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23298	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 500	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∪ cuni 4865  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  ⟶wf 6517  (class class class)co 7396  Topctop 22953   Cn ccn 23284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-map 8810  df-top 22954  df-topon 22971  df-cn 23287

This theorem is referenced by:  cnco  23326  cncls2i  23330  cnntri  23331  cnss1  23336  cncnpi  23338  cncnp2  23341  cnrest  23345  cnrest2r  23347  paste  23354  cncmp  23452  rncmp  23456  cnconn  23482  connima  23485  conncn  23486  2ndcomap  23518  kgen2cn  23619  txcnmpt  23684  uptx  23685  lmcn2  23709  xkoco1cn  23717  xkoco2cn  23718  xkococnlem  23719  cnmpt11  23723  cnmpt11f  23724  cnmpt1t  23725  cnmpt12  23727  cnmpt21  23731  cnmpt2t  23733  cnmpt22  23734  cnmpt22f  23735  cnmptcom  23738  cnmpt2k  23748  qtopeu  23776  hmeofval  23818  hmeof1o  23824  hmeontr  23829  hmeores  23831  hmeoqtop  23835  hmphen  23845  reghmph  23853  nrmhmph  23854  txhmeo  23863  xpstopnlem1  23869  flfcntr  24103  cnmpopc  24990  ishtpy  25034  htpyco1  25040  htpyco2  25041  isphtpy  25043  phtpyco2  25052  isphtpc  25056  pcofval  25072  pcopt  25084  pcopt2  25085  pcorevlem  25088  pi1cof  25121  pi1coghm  25123  cnmbfm  34560  cnpconn  35580  cnneiima  49538