Theorem cntop2 23185

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23182	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∪ cuni 4863  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358  Topctop 22837   Cn ccn 23168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8765  df-top 22838  df-topon 22855  df-cn 23171

This theorem is referenced by:  cnco  23210  cncls2i  23214  cnntri  23215  cnss1  23220  cncnpi  23222  cncnp2  23225  cnrest  23229  cnrest2r  23231  paste  23238  cncmp  23336  rncmp  23340  cnconn  23366  connima  23369  conncn  23370  2ndcomap  23402  kgen2cn  23503  txcnmpt  23568  uptx  23569  lmcn2  23593  xkoco1cn  23601  xkoco2cn  23602  xkococnlem  23603  cnmpt11  23607  cnmpt11f  23608  cnmpt1t  23609  cnmpt12  23611  cnmpt21  23615  cnmpt2t  23617  cnmpt22  23618  cnmpt22f  23619  cnmptcom  23622  cnmpt2k  23632  qtopeu  23660  hmeofval  23702  hmeof1o  23708  hmeontr  23713  hmeores  23715  hmeoqtop  23719  hmphen  23729  reghmph  23737  nrmhmph  23738  txhmeo  23747  xpstopnlem1  23753  flfcntr  23987  cnmpopc  24878  ishtpy  24927  htpyco1  24933  htpyco2  24934  isphtpy  24936  phtpyco2  24945  isphtpc  24949  pcofval  24966  pcopt  24978  pcopt2  24979  pcorevlem  24982  pi1cof  25015  pi1coghm  25017  cnmbfm  34420  cnpconn  35424  cnneiima  49162