Theorem cntop2 23398

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23395	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∪ cuni 4872  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410  Topctop 23050   Cn ccn 23381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-top 23051  df-topon 23068  df-cn 23384

This theorem is referenced by:  cnco  23423  cncls2i  23427  cnntri  23428  cnss1  23433  cncnpi  23435  cncnp2  23438  cnrest  23442  cnrest2r  23444  paste  23451  cncmp  23549  rncmp  23553  cnconn  23579  connima  23582  conncn  23583  2ndcomap  23615  kgen2cn  23716  txcnmpt  23781  uptx  23782  lmcn2  23806  xkoco1cn  23814  xkoco2cn  23815  xkococnlem  23816  cnmpt11  23820  cnmpt11f  23821  cnmpt1t  23822  cnmpt12  23824  cnmpt21  23828  cnmpt2t  23830  cnmpt22  23831  cnmpt22f  23832  cnmptcom  23835  cnmpt2k  23845  qtopeu  23873  hmeofval  23915  hmeof1o  23921  hmeontr  23926  hmeores  23928  hmeoqtop  23932  hmphen  23942  reghmph  23950  nrmhmph  23951  txhmeo  23960  xpstopnlem1  23966  flfcntr  24200  cnmpopc  25087  ishtpy  25131  htpyco1  25137  htpyco2  25138  isphtpy  25140  phtpyco2  25149  isphtpc  25153  pcofval  25169  pcopt  25181  pcopt2  25182  pcorevlem  25185  pi1cof  25218  pi1coghm  25220  cnmbfm  34653  cnpconn  35722  cnneiima  49695