Theorem cntop2 23467

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23464	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 501	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ⟶wf 6529  (class class class)co 7414  Topctop 23119   Cn ccn 23450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8829  df-top 23120  df-topon 23137  df-cn 23453

This theorem is used by:  cnco  23492  cncls2i  23496  cnntri  23497  cnss1  23502  cncnpi  23504  cncnp2  23507  cnrest  23511  cnrest2r  23513  paste  23520  cncmp  23618  rncmp  23622  cnconn  23648  connima  23651  conncn  23652  2ndcomap  23685  kgen2cn  23786  txcnmpt  23851  uptx  23852  lmcn2  23876  xkoco1cn  23884  xkoco2cn  23885  xkococnlem  23886  cnmpt11  23890  cnmpt11f  23891  cnmpt1t  23892  cnmpt12  23894  cnmpt21  23898  cnmpt2t  23900  cnmpt22  23901  cnmpt22f  23902  cnmptcom  23905  cnmpt2k  23915  qtopeu  23943  hmeofval  23985  hmeof1o  23991  hmeontr  23996  hmeores  23998  hmeoqtop  24002  hmphen  24012  reghmph  24020  nrmhmph  24021  txhmeo  24030  xpstopnlem1  24036  flfcntr  24270  cnmpopc  25157  ishtpy  25201  htpyco1  25207  htpyco2  25208  isphtpy  25210  phtpyco2  25219  isphtpc  25223  pcofval  25239  pcopt  25251  pcopt2  25252  pcorevlem  25255  pi1cof  25288  pi1coghm  25290  cnmbfm  34775  cnpconn  35810  cnneiima  49844