Theorem cntop2 23264

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23261	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∪ cuni 4911  ^◡ccnv 5687   “ cima 5691  ⟶wf 6558  (class class class)co 7430  Topctop 22914   Cn ccn 23247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8866  df-top 22915  df-topon 22932  df-cn 23250

This theorem is referenced by:  cnco  23289  cncls2i  23293  cnntri  23294  cnss1  23299  cncnpi  23301  cncnp2  23304  cnrest  23308  cnrest2r  23310  paste  23317  cncmp  23415  rncmp  23419  cnconn  23445  connima  23448  conncn  23449  2ndcomap  23481  kgen2cn  23582  txcnmpt  23647  uptx  23648  lmcn2  23672  xkoco1cn  23680  xkoco2cn  23681  xkococnlem  23682  cnmpt11  23686  cnmpt11f  23687  cnmpt1t  23688  cnmpt12  23690  cnmpt21  23694  cnmpt2t  23696  cnmpt22  23697  cnmpt22f  23698  cnmptcom  23701  cnmpt2k  23711  qtopeu  23739  hmeofval  23781  hmeof1o  23787  hmeontr  23792  hmeores  23794  hmeoqtop  23798  hmphen  23808  reghmph  23816  nrmhmph  23817  txhmeo  23826  xpstopnlem1  23832  flfcntr  24066  cnmpopc  24968  ishtpy  25017  htpyco1  25023  htpyco2  25024  isphtpy  25026  phtpyco2  25035  isphtpc  25039  pcofval  25056  pcopt  25068  pcopt2  25069  pcorevlem  25072  pi1cof  25105  pi1coghm  25107  cnmbfm  34244  cnpconn  35214  cnneiima  48712