Theorem cntop2 23614

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23611	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 501	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∪ cuni 4872  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  ⟶wf 6562  (class class class)co 7451  Topctop 23266   Cn ccn 23597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887  df-top 23267  df-topon 23284  df-cn 23600

This theorem is used by:  cnco  23639  cncls2i  23643  cnntri  23644  cnss1  23649  cncnpi  23651  cncnp2  23654  cnrest  23658  cnrest2r  23660  paste  23667  cncmp  23765  rncmp  23769  cnconn  23795  connima  23798  conncn  23799  2ndcomap  23832  kgen2cn  23933  txcnmpt  23998  uptx  23999  lmcn2  24023  xkoco1cn  24031  xkoco2cn  24032  xkococnlem  24033  cnmpt11  24037  cnmpt11f  24038  cnmpt1t  24039  cnmpt12  24041  cnmpt21  24045  cnmpt2t  24047  cnmpt22  24048  cnmpt22f  24049  cnmptcom  24052  cnmpt2k  24062  qtopeu  24090  hmeofval  24132  hmeof1o  24138  hmeontr  24143  hmeores  24145  hmeoqtop  24149  hmphen  24159  reghmph  24167  nrmhmph  24168  txhmeo  24177  xpstopnlem1  24183  flfcntr  24417  cnmpopc  25304  ishtpy  25348  htpyco1  25354  htpyco2  25355  isphtpy  25357  phtpyco2  25366  isphtpc  25370  pcofval  25386  pcopt  25398  pcopt2  25399  pcorevlem  25402  pi1cof  25435  pi1coghm  25437  cnmbfm  35006  cnpconn  36203  cnneiima  50362