Theorem cntop2 21846

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 21843	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∪ cuni 4800  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135  Topctop 21498   Cn ccn 21829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-map 8391  df-top 21499  df-topon 21516  df-cn 21832

This theorem is referenced by:  cnco  21871  cncls2i  21875  cnntri  21876  cnss1  21881  cncnpi  21883  cncnp2  21886  cnrest  21890  cnrest2r  21892  paste  21899  cncmp  21997  rncmp  22001  cnconn  22027  connima  22030  conncn  22031  2ndcomap  22063  kgen2cn  22164  txcnmpt  22229  uptx  22230  lmcn2  22254  xkoco1cn  22262  xkoco2cn  22263  xkococnlem  22264  cnmpt11  22268  cnmpt11f  22269  cnmpt1t  22270  cnmpt12  22272  cnmpt21  22276  cnmpt2t  22278  cnmpt22  22279  cnmpt22f  22280  cnmptcom  22283  cnmpt2k  22293  qtopeu  22321  hmeofval  22363  hmeof1o  22369  hmeontr  22374  hmeores  22376  hmeoqtop  22380  hmphen  22390  reghmph  22398  nrmhmph  22399  txhmeo  22408  xpstopnlem1  22414  flfcntr  22648  cnmpopc  23533  ishtpy  23577  htpyco1  23583  htpyco2  23584  isphtpy  23586  phtpyco2  23595  isphtpc  23599  pcofval  23615  pcopt  23627  pcopt2  23628  pcorevlem  23631  pi1cof  23664  pi1coghm  23666  cnmbfm  31631  cnpconn  32590