Theorem cntop2 23270

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23267	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∪ cuni 4931  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ⟶wf 6569  (class class class)co 7448  Topctop 22920   Cn ccn 23253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-map 8886  df-top 22921  df-topon 22938  df-cn 23256

This theorem is referenced by:  cnco  23295  cncls2i  23299  cnntri  23300  cnss1  23305  cncnpi  23307  cncnp2  23310  cnrest  23314  cnrest2r  23316  paste  23323  cncmp  23421  rncmp  23425  cnconn  23451  connima  23454  conncn  23455  2ndcomap  23487  kgen2cn  23588  txcnmpt  23653  uptx  23654  lmcn2  23678  xkoco1cn  23686  xkoco2cn  23687  xkococnlem  23688  cnmpt11  23692  cnmpt11f  23693  cnmpt1t  23694  cnmpt12  23696  cnmpt21  23700  cnmpt2t  23702  cnmpt22  23703  cnmpt22f  23704  cnmptcom  23707  cnmpt2k  23717  qtopeu  23745  hmeofval  23787  hmeof1o  23793  hmeontr  23798  hmeores  23800  hmeoqtop  23804  hmphen  23814  reghmph  23822  nrmhmph  23823  txhmeo  23832  xpstopnlem1  23838  flfcntr  24072  cnmpopc  24974  ishtpy  25023  htpyco1  25029  htpyco2  25030  isphtpy  25032  phtpyco2  25041  isphtpc  25045  pcofval  25062  pcopt  25074  pcopt2  25075  pcorevlem  25078  pi1cof  25111  pi1coghm  25113  cnmbfm  34228  cnpconn  35198  cnneiima  48596