Theorem cntop2 23135

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23132	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∪ cuni 4874  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ⟶wf 6510  (class class class)co 7390  Topctop 22787   Cn ccn 23118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-top 22788  df-topon 22805  df-cn 23121

This theorem is referenced by:  cnco  23160  cncls2i  23164  cnntri  23165  cnss1  23170  cncnpi  23172  cncnp2  23175  cnrest  23179  cnrest2r  23181  paste  23188  cncmp  23286  rncmp  23290  cnconn  23316  connima  23319  conncn  23320  2ndcomap  23352  kgen2cn  23453  txcnmpt  23518  uptx  23519  lmcn2  23543  xkoco1cn  23551  xkoco2cn  23552  xkococnlem  23553  cnmpt11  23557  cnmpt11f  23558  cnmpt1t  23559  cnmpt12  23561  cnmpt21  23565  cnmpt2t  23567  cnmpt22  23568  cnmpt22f  23569  cnmptcom  23572  cnmpt2k  23582  qtopeu  23610  hmeofval  23652  hmeof1o  23658  hmeontr  23663  hmeores  23665  hmeoqtop  23669  hmphen  23679  reghmph  23687  nrmhmph  23688  txhmeo  23697  xpstopnlem1  23703  flfcntr  23937  cnmpopc  24829  ishtpy  24878  htpyco1  24884  htpyco2  24885  isphtpy  24887  phtpyco2  24896  isphtpc  24900  pcofval  24917  pcopt  24929  pcopt2  24930  pcorevlem  24933  pi1cof  24966  pi1coghm  24968  cnmbfm  34261  cnpconn  35224  cnneiima  48909