Theorem cntop2 23366

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23363	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∪ cuni 4876  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665  ⟶wf 6533  (class class class)co 7411  Topctop 23018   Cn ccn 23349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8825  df-top 23019  df-topon 23036  df-cn 23352

This theorem is referenced by:  cnco  23391  cncls2i  23395  cnntri  23396  cnss1  23401  cncnpi  23403  cncnp2  23406  cnrest  23410  cnrest2r  23412  paste  23419  cncmp  23517  rncmp  23521  cnconn  23547  connima  23550  conncn  23551  2ndcomap  23583  kgen2cn  23684  txcnmpt  23749  uptx  23750  lmcn2  23774  xkoco1cn  23782  xkoco2cn  23783  xkococnlem  23784  cnmpt11  23788  cnmpt11f  23789  cnmpt1t  23790  cnmpt12  23792  cnmpt21  23796  cnmpt2t  23798  cnmpt22  23799  cnmpt22f  23800  cnmptcom  23803  cnmpt2k  23813  qtopeu  23841  hmeofval  23883  hmeof1o  23889  hmeontr  23894  hmeores  23896  hmeoqtop  23900  hmphen  23910  reghmph  23918  nrmhmph  23919  txhmeo  23928  xpstopnlem1  23934  flfcntr  24168  cnmpopc  25055  ishtpy  25099  htpyco1  25105  htpyco2  25106  isphtpy  25108  phtpyco2  25117  isphtpc  25121  pcofval  25137  pcopt  25149  pcopt2  25150  pcorevlem  25153  pi1cof  25186  pi1coghm  25188  cnmbfm  34597  cnpconn  35620  cnneiima  49579