Theorem cntop2 21851

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 21848	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 500	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 498	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∪ cuni 4840  ^◡ccnv 5556   “ cima 5560  ⟶wf 6353  (class class class)co 7158  Topctop 21503   Cn ccn 21834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-map 8410  df-top 21504  df-topon 21521  df-cn 21837

This theorem is referenced by:  cnco  21876  cncls2i  21880  cnntri  21881  cnss1  21886  cncnpi  21888  cncnp2  21891  cnrest  21895  cnrest2r  21897  paste  21904  cncmp  22002  rncmp  22006  cnconn  22032  connima  22035  conncn  22036  2ndcomap  22068  kgen2cn  22169  txcnmpt  22234  uptx  22235  lmcn2  22259  xkoco1cn  22267  xkoco2cn  22268  xkococnlem  22269  cnmpt11  22273  cnmpt11f  22274  cnmpt1t  22275  cnmpt12  22277  cnmpt21  22281  cnmpt2t  22283  cnmpt22  22284  cnmpt22f  22285  cnmptcom  22288  cnmpt2k  22298  qtopeu  22326  hmeofval  22368  hmeof1o  22374  hmeontr  22379  hmeores  22381  hmeoqtop  22385  hmphen  22395  reghmph  22403  nrmhmph  22404  txhmeo  22413  xpstopnlem1  22419  flfcntr  22653  cnmpopc  23534  ishtpy  23578  htpyco1  23584  htpyco2  23585  isphtpy  23587  phtpyco2  23596  isphtpc  23600  pcofval  23616  pcopt  23628  pcopt2  23629  pcorevlem  23632  pi1cof  23665  pi1coghm  23667  cnmbfm  31523  cnpconn  32479