Theorem cntop2 23161

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23158	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6495  (class class class)co 7369  Topctop 22813   Cn ccn 23144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-top 22814  df-topon 22831  df-cn 23147

This theorem is referenced by:  cnco  23186  cncls2i  23190  cnntri  23191  cnss1  23196  cncnpi  23198  cncnp2  23201  cnrest  23205  cnrest2r  23207  paste  23214  cncmp  23312  rncmp  23316  cnconn  23342  connima  23345  conncn  23346  2ndcomap  23378  kgen2cn  23479  txcnmpt  23544  uptx  23545  lmcn2  23569  xkoco1cn  23577  xkoco2cn  23578  xkococnlem  23579  cnmpt11  23583  cnmpt11f  23584  cnmpt1t  23585  cnmpt12  23587  cnmpt21  23591  cnmpt2t  23593  cnmpt22  23594  cnmpt22f  23595  cnmptcom  23598  cnmpt2k  23608  qtopeu  23636  hmeofval  23678  hmeof1o  23684  hmeontr  23689  hmeores  23691  hmeoqtop  23695  hmphen  23705  reghmph  23713  nrmhmph  23714  txhmeo  23723  xpstopnlem1  23729  flfcntr  23963  cnmpopc  24855  ishtpy  24904  htpyco1  24910  htpyco2  24911  isphtpy  24913  phtpyco2  24922  isphtpc  24926  pcofval  24943  pcopt  24955  pcopt2  24956  pcorevlem  24959  pi1cof  24992  pi1coghm  24994  cnmbfm  34247  cnpconn  35210  cnneiima  48898