Theorem cntop2 23144

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23141	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ∪ cuni 4908  ^◡ccnv 5677   “ cima 5681  ⟶wf 6544  (class class class)co 7420  Topctop 22794   Cn ccn 23127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8846  df-top 22795  df-topon 22812  df-cn 23130

This theorem is referenced by:  cnco  23169  cncls2i  23173  cnntri  23174  cnss1  23179  cncnpi  23181  cncnp2  23184  cnrest  23188  cnrest2r  23190  paste  23197  cncmp  23295  rncmp  23299  cnconn  23325  connima  23328  conncn  23329  2ndcomap  23361  kgen2cn  23462  txcnmpt  23527  uptx  23528  lmcn2  23552  xkoco1cn  23560  xkoco2cn  23561  xkococnlem  23562  cnmpt11  23566  cnmpt11f  23567  cnmpt1t  23568  cnmpt12  23570  cnmpt21  23574  cnmpt2t  23576  cnmpt22  23577  cnmpt22f  23578  cnmptcom  23581  cnmpt2k  23591  qtopeu  23619  hmeofval  23661  hmeof1o  23667  hmeontr  23672  hmeores  23674  hmeoqtop  23678  hmphen  23688  reghmph  23696  nrmhmph  23697  txhmeo  23706  xpstopnlem1  23712  flfcntr  23946  cnmpopc  24848  ishtpy  24897  htpyco1  24903  htpyco2  24904  isphtpy  24906  phtpyco2  24915  isphtpc  24919  pcofval  24936  pcopt  24948  pcopt2  24949  pcorevlem  24952  pi1cof  24985  pi1coghm  24987  cnmbfm  33883  cnpconn  34840  cnneiima  47935