Theorem cntop2 22300

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 22297	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∪ cuni 4836  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255  Topctop 21950   Cn ccn 22283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-top 21951  df-topon 21968  df-cn 22286

This theorem is referenced by:  cnco  22325  cncls2i  22329  cnntri  22330  cnss1  22335  cncnpi  22337  cncnp2  22340  cnrest  22344  cnrest2r  22346  paste  22353  cncmp  22451  rncmp  22455  cnconn  22481  connima  22484  conncn  22485  2ndcomap  22517  kgen2cn  22618  txcnmpt  22683  uptx  22684  lmcn2  22708  xkoco1cn  22716  xkoco2cn  22717  xkococnlem  22718  cnmpt11  22722  cnmpt11f  22723  cnmpt1t  22724  cnmpt12  22726  cnmpt21  22730  cnmpt2t  22732  cnmpt22  22733  cnmpt22f  22734  cnmptcom  22737  cnmpt2k  22747  qtopeu  22775  hmeofval  22817  hmeof1o  22823  hmeontr  22828  hmeores  22830  hmeoqtop  22834  hmphen  22844  reghmph  22852  nrmhmph  22853  txhmeo  22862  xpstopnlem1  22868  flfcntr  23102  cnmpopc  23997  ishtpy  24041  htpyco1  24047  htpyco2  24048  isphtpy  24050  phtpyco2  24059  isphtpc  24063  pcofval  24079  pcopt  24091  pcopt2  24092  pcorevlem  24095  pi1cof  24128  pi1coghm  24130  cnmbfm  32130  cnpconn  33092  cnneiima  46098