Theorem cntop2 23126

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23123	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4858  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ⟶wf 6478  (class class class)co 7349  Topctop 22778   Cn ccn 23109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-map 8755  df-top 22779  df-topon 22796  df-cn 23112

This theorem is referenced by:  cnco  23151  cncls2i  23155  cnntri  23156  cnss1  23161  cncnpi  23163  cncnp2  23166  cnrest  23170  cnrest2r  23172  paste  23179  cncmp  23277  rncmp  23281  cnconn  23307  connima  23310  conncn  23311  2ndcomap  23343  kgen2cn  23444  txcnmpt  23509  uptx  23510  lmcn2  23534  xkoco1cn  23542  xkoco2cn  23543  xkococnlem  23544  cnmpt11  23548  cnmpt11f  23549  cnmpt1t  23550  cnmpt12  23552  cnmpt21  23556  cnmpt2t  23558  cnmpt22  23559  cnmpt22f  23560  cnmptcom  23563  cnmpt2k  23573  qtopeu  23601  hmeofval  23643  hmeof1o  23649  hmeontr  23654  hmeores  23656  hmeoqtop  23660  hmphen  23670  reghmph  23678  nrmhmph  23679  txhmeo  23688  xpstopnlem1  23694  flfcntr  23928  cnmpopc  24820  ishtpy  24869  htpyco1  24875  htpyco2  24876  isphtpy  24878  phtpyco2  24887  isphtpc  24891  pcofval  24908  pcopt  24920  pcopt2  24921  pcorevlem  24924  pi1cof  24957  pi1coghm  24959  cnmbfm  34231  cnpconn  35207  cnneiima  48905