Theorem cntop2 22965

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 22962	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∪ cuni 4908  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ⟶wf 6539  (class class class)co 7411  Topctop 22615   Cn ccn 22948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-top 22616  df-topon 22633  df-cn 22951

This theorem is referenced by:  cnco  22990  cncls2i  22994  cnntri  22995  cnss1  23000  cncnpi  23002  cncnp2  23005  cnrest  23009  cnrest2r  23011  paste  23018  cncmp  23116  rncmp  23120  cnconn  23146  connima  23149  conncn  23150  2ndcomap  23182  kgen2cn  23283  txcnmpt  23348  uptx  23349  lmcn2  23373  xkoco1cn  23381  xkoco2cn  23382  xkococnlem  23383  cnmpt11  23387  cnmpt11f  23388  cnmpt1t  23389  cnmpt12  23391  cnmpt21  23395  cnmpt2t  23397  cnmpt22  23398  cnmpt22f  23399  cnmptcom  23402  cnmpt2k  23412  qtopeu  23440  hmeofval  23482  hmeof1o  23488  hmeontr  23493  hmeores  23495  hmeoqtop  23499  hmphen  23509  reghmph  23517  nrmhmph  23518  txhmeo  23527  xpstopnlem1  23533  flfcntr  23767  cnmpopc  24668  ishtpy  24712  htpyco1  24718  htpyco2  24719  isphtpy  24721  phtpyco2  24730  isphtpc  24734  pcofval  24750  pcopt  24762  pcopt2  24763  pcorevlem  24766  pi1cof  24799  pi1coghm  24801  cnmbfm  33548  cnpconn  34507  cnneiima  47637