Theorem cntop2 23177

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23174	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∪ cuni 4883  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657  ⟶wf 6526  (class class class)co 7403  Topctop 22829   Cn ccn 23160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-map 8840  df-top 22830  df-topon 22847  df-cn 23163

This theorem is referenced by:  cnco  23202  cncls2i  23206  cnntri  23207  cnss1  23212  cncnpi  23214  cncnp2  23217  cnrest  23221  cnrest2r  23223  paste  23230  cncmp  23328  rncmp  23332  cnconn  23358  connima  23361  conncn  23362  2ndcomap  23394  kgen2cn  23495  txcnmpt  23560  uptx  23561  lmcn2  23585  xkoco1cn  23593  xkoco2cn  23594  xkococnlem  23595  cnmpt11  23599  cnmpt11f  23600  cnmpt1t  23601  cnmpt12  23603  cnmpt21  23607  cnmpt2t  23609  cnmpt22  23610  cnmpt22f  23611  cnmptcom  23614  cnmpt2k  23624  qtopeu  23652  hmeofval  23694  hmeof1o  23700  hmeontr  23705  hmeores  23707  hmeoqtop  23711  hmphen  23721  reghmph  23729  nrmhmph  23730  txhmeo  23739  xpstopnlem1  23745  flfcntr  23979  cnmpopc  24871  ishtpy  24920  htpyco1  24926  htpyco2  24927  isphtpy  24929  phtpyco2  24938  isphtpc  24942  pcofval  24959  pcopt  24971  pcopt2  24972  pcorevlem  24975  pi1cof  25008  pi1coghm  25010  cnmbfm  34241  cnpconn  35198  cnneiima  48839