Theorem cntop2 23128

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23125	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∪ cuni 4871  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387  Topctop 22780   Cn ccn 23111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-top 22781  df-topon 22798  df-cn 23114

This theorem is referenced by:  cnco  23153  cncls2i  23157  cnntri  23158  cnss1  23163  cncnpi  23165  cncnp2  23168  cnrest  23172  cnrest2r  23174  paste  23181  cncmp  23279  rncmp  23283  cnconn  23309  connima  23312  conncn  23313  2ndcomap  23345  kgen2cn  23446  txcnmpt  23511  uptx  23512  lmcn2  23536  xkoco1cn  23544  xkoco2cn  23545  xkococnlem  23546  cnmpt11  23550  cnmpt11f  23551  cnmpt1t  23552  cnmpt12  23554  cnmpt21  23558  cnmpt2t  23560  cnmpt22  23561  cnmpt22f  23562  cnmptcom  23565  cnmpt2k  23575  qtopeu  23603  hmeofval  23645  hmeof1o  23651  hmeontr  23656  hmeores  23658  hmeoqtop  23662  hmphen  23672  reghmph  23680  nrmhmph  23681  txhmeo  23690  xpstopnlem1  23696  flfcntr  23930  cnmpopc  24822  ishtpy  24871  htpyco1  24877  htpyco2  24878  isphtpy  24880  phtpyco2  24889  isphtpc  24893  pcofval  24910  pcopt  24922  pcopt2  24923  pcorevlem  24926  pi1cof  24959  pi1coghm  24961  cnmbfm  34254  cnpconn  35217  cnneiima  48905