Theorem cntop2 23183

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23180	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∪ cuni 4861  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ⟶wf 6486  (class class class)co 7356  Topctop 22835   Cn ccn 23166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8763  df-top 22836  df-topon 22853  df-cn 23169

This theorem is referenced by:  cnco  23208  cncls2i  23212  cnntri  23213  cnss1  23218  cncnpi  23220  cncnp2  23223  cnrest  23227  cnrest2r  23229  paste  23236  cncmp  23334  rncmp  23338  cnconn  23364  connima  23367  conncn  23368  2ndcomap  23400  kgen2cn  23501  txcnmpt  23566  uptx  23567  lmcn2  23591  xkoco1cn  23599  xkoco2cn  23600  xkococnlem  23601  cnmpt11  23605  cnmpt11f  23606  cnmpt1t  23607  cnmpt12  23609  cnmpt21  23613  cnmpt2t  23615  cnmpt22  23616  cnmpt22f  23617  cnmptcom  23620  cnmpt2k  23630  qtopeu  23658  hmeofval  23700  hmeof1o  23706  hmeontr  23711  hmeores  23713  hmeoqtop  23717  hmphen  23727  reghmph  23735  nrmhmph  23736  txhmeo  23745  xpstopnlem1  23751  flfcntr  23985  cnmpopc  24876  ishtpy  24925  htpyco1  24931  htpyco2  24932  isphtpy  24934  phtpyco2  24943  isphtpc  24947  pcofval  24964  pcopt  24976  pcopt2  24977  pcorevlem  24980  pi1cof  25013  pi1coghm  25015  cnmbfm  34369  cnpconn  35373  cnneiima  49104