Theorem cntop2 22392

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 22389	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∪ cuni 4839  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ⟶wf 6429  (class class class)co 7275  Topctop 22042   Cn ccn 22375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-top 22043  df-topon 22060  df-cn 22378

This theorem is referenced by:  cnco  22417  cncls2i  22421  cnntri  22422  cnss1  22427  cncnpi  22429  cncnp2  22432  cnrest  22436  cnrest2r  22438  paste  22445  cncmp  22543  rncmp  22547  cnconn  22573  connima  22576  conncn  22577  2ndcomap  22609  kgen2cn  22710  txcnmpt  22775  uptx  22776  lmcn2  22800  xkoco1cn  22808  xkoco2cn  22809  xkococnlem  22810  cnmpt11  22814  cnmpt11f  22815  cnmpt1t  22816  cnmpt12  22818  cnmpt21  22822  cnmpt2t  22824  cnmpt22  22825  cnmpt22f  22826  cnmptcom  22829  cnmpt2k  22839  qtopeu  22867  hmeofval  22909  hmeof1o  22915  hmeontr  22920  hmeores  22922  hmeoqtop  22926  hmphen  22936  reghmph  22944  nrmhmph  22945  txhmeo  22954  xpstopnlem1  22960  flfcntr  23194  cnmpopc  24091  ishtpy  24135  htpyco1  24141  htpyco2  24142  isphtpy  24144  phtpyco2  24153  isphtpc  24157  pcofval  24173  pcopt  24185  pcopt2  24186  pcorevlem  24189  pi1cof  24222  pi1coghm  24224  cnmbfm  32230  cnpconn  33192  cnneiima  46210