Theorem cntop2 23219

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23216	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∪ cuni 4851  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  ⟶wf 6489  (class class class)co 7361  Topctop 22871   Cn ccn 23202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8769  df-top 22872  df-topon 22889  df-cn 23205

This theorem is referenced by:  cnco  23244  cncls2i  23248  cnntri  23249  cnss1  23254  cncnpi  23256  cncnp2  23259  cnrest  23263  cnrest2r  23265  paste  23272  cncmp  23370  rncmp  23374  cnconn  23400  connima  23403  conncn  23404  2ndcomap  23436  kgen2cn  23537  txcnmpt  23602  uptx  23603  lmcn2  23627  xkoco1cn  23635  xkoco2cn  23636  xkococnlem  23637  cnmpt11  23641  cnmpt11f  23642  cnmpt1t  23643  cnmpt12  23645  cnmpt21  23649  cnmpt2t  23651  cnmpt22  23652  cnmpt22f  23653  cnmptcom  23656  cnmpt2k  23666  qtopeu  23694  hmeofval  23736  hmeof1o  23742  hmeontr  23747  hmeores  23749  hmeoqtop  23753  hmphen  23763  reghmph  23771  nrmhmph  23772  txhmeo  23781  xpstopnlem1  23787  flfcntr  24021  cnmpopc  24908  ishtpy  24952  htpyco1  24958  htpyco2  24959  isphtpy  24961  phtpyco2  24970  isphtpc  24974  pcofval  24990  pcopt  25002  pcopt2  25003  pcorevlem  25006  pi1cof  25039  pi1coghm  25041  cnmbfm  34426  cnpconn  35431  cnneiima  49407