Theorem cntop2 23206

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23203	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∪ cuni 4850  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367  Topctop 22858   Cn ccn 23189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-top 22859  df-topon 22876  df-cn 23192

This theorem is referenced by:  cnco  23231  cncls2i  23235  cnntri  23236  cnss1  23241  cncnpi  23243  cncnp2  23246  cnrest  23250  cnrest2r  23252  paste  23259  cncmp  23357  rncmp  23361  cnconn  23387  connima  23390  conncn  23391  2ndcomap  23423  kgen2cn  23524  txcnmpt  23589  uptx  23590  lmcn2  23614  xkoco1cn  23622  xkoco2cn  23623  xkococnlem  23624  cnmpt11  23628  cnmpt11f  23629  cnmpt1t  23630  cnmpt12  23632  cnmpt21  23636  cnmpt2t  23638  cnmpt22  23639  cnmpt22f  23640  cnmptcom  23643  cnmpt2k  23653  qtopeu  23681  hmeofval  23723  hmeof1o  23729  hmeontr  23734  hmeores  23736  hmeoqtop  23740  hmphen  23750  reghmph  23758  nrmhmph  23759  txhmeo  23768  xpstopnlem1  23774  flfcntr  24008  cnmpopc  24895  ishtpy  24939  htpyco1  24945  htpyco2  24946  isphtpy  24948  phtpyco2  24957  isphtpc  24961  pcofval  24977  pcopt  24989  pcopt2  24990  pcorevlem  24993  pi1cof  25026  pi1coghm  25028  cnmbfm  34407  cnpconn  35412  cnneiima  49392