Theorem cntop2 23568

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23565	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 501	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∪ cuni 4866  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ⟶wf 6539  (class class class)co 7424  Topctop 23220   Cn ccn 23551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8857  df-top 23221  df-topon 23238  df-cn 23554

This theorem is used by:  cnco  23593  cncls2i  23597  cnntri  23598  cnss1  23603  cncnpi  23605  cncnp2  23608  cnrest  23612  cnrest2r  23614  paste  23621  cncmp  23719  rncmp  23723  cnconn  23749  connima  23752  conncn  23753  2ndcomap  23786  kgen2cn  23887  txcnmpt  23952  uptx  23953  lmcn2  23977  xkoco1cn  23985  xkoco2cn  23986  xkococnlem  23987  cnmpt11  23991  cnmpt11f  23992  cnmpt1t  23993  cnmpt12  23995  cnmpt21  23999  cnmpt2t  24001  cnmpt22  24002  cnmpt22f  24003  cnmptcom  24006  cnmpt2k  24016  qtopeu  24044  hmeofval  24086  hmeof1o  24092  hmeontr  24097  hmeores  24099  hmeoqtop  24103  hmphen  24113  reghmph  24121  nrmhmph  24122  txhmeo  24131  xpstopnlem1  24137  flfcntr  24371  cnmpopc  25258  ishtpy  25302  htpyco1  25308  htpyco2  25309  isphtpy  25311  phtpyco2  25320  isphtpc  25324  pcofval  25340  pcopt  25352  pcopt2  25353  pcorevlem  25356  pi1cof  25389  pi1coghm  25391  cnmbfm  34945  cnpconn  36113  cnneiima  50167