Theorem cntop2 23559

Description: Reverse closure for a continuous function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cntop2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

Proof of Theorem cntop2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 23556	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
5	4	simprd 501	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∪ cuni 4867  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420  Topctop 23211   Cn ccn 23542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-top 23212  df-topon 23229  df-cn 23545

This theorem is used by:  cnco  23584  cncls2i  23588  cnntri  23589  cnss1  23594  cncnpi  23596  cncnp2  23599  cnrest  23603  cnrest2r  23605  paste  23612  cncmp  23710  rncmp  23714  cnconn  23740  connima  23743  conncn  23744  2ndcomap  23777  kgen2cn  23878  txcnmpt  23943  uptx  23944  lmcn2  23968  xkoco1cn  23976  xkoco2cn  23977  xkococnlem  23978  cnmpt11  23982  cnmpt11f  23983  cnmpt1t  23984  cnmpt12  23986  cnmpt21  23990  cnmpt2t  23992  cnmpt22  23993  cnmpt22f  23994  cnmptcom  23997  cnmpt2k  24007  qtopeu  24035  hmeofval  24077  hmeof1o  24083  hmeontr  24088  hmeores  24090  hmeoqtop  24094  hmphen  24104  reghmph  24112  nrmhmph  24113  txhmeo  24122  xpstopnlem1  24128  flfcntr  24362  cnmpopc  25249  ishtpy  25293  htpyco1  25299  htpyco2  25300  isphtpy  25302  phtpyco2  25311  isphtpc  25315  pcofval  25331  pcopt  25343  pcopt2  25344  pcorevlem  25347  pi1cof  25380  pi1coghm  25382  cnmbfm  34895  cnpconn  35995  cnneiima  50024