Theorem resscntz 18853

Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resscntz.p	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
resscntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
resscntz.y	⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resscntz	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑌‘𝑆) = ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))

Proof of Theorem resscntz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		resscntz.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
3	1, 2	cntzrcl 18848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → (𝐻 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
4	3	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
5		resscntz.p	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	5, 6	ressbasss 16876	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
8	4, 7	sstrdi 3929	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
10		elinel1 4125	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
11		resscntz.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	6, 11	cntzrcl 18848	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
13	12	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
16		elin 3899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
17	5, 6	ressbas 16873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐻))
18	17	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
19	16, 18	bitr3id 284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
20		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
21	5, 20	ressplusg 16926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
22	21	oveqd 7272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
23	21	oveqd 7272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))
24	22, 23	eqeq12d 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
25	24	ralbidv 3120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
26	19, 25	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
27	26	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
28		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
29	27, 28	bitr3di 285	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
30		ssin 4161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)))
31	17	sseq2d 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
32	30, 31	syl5bb 282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
33	32	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
34	33	impl 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
35		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
36	1, 35, 2	elcntz 18843	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐻) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
37	34, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
38		elin 3899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
39	38	biancomi 462	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)))
40	6, 20, 11	elcntz 18843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
41	40	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
42	41	anbi2d 628	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
43	39, 42	syl5bb 282	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
44	29, 37, 43	3bitr4d 310	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴)))
45	44	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))))
46	9, 15, 45	pm5.21ndd 380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴)))
47	46	eqrdv 2736	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑌‘𝑆) = ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  +_gcplusg 16888  Cntzccntz 18836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-cntz 18838

This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19434  subgdmdprd  19552  cntzsdrg  19985