Theorem resscntz 19272

Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resscntz.p	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
resscntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
resscntz.y	⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resscntz	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑌‘𝑆) = ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))

Proof of Theorem resscntz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		resscntz.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
3	1, 2	cntzrcl 19266	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → (𝐻 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
4	3	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
5		resscntz.p	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
6		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	5, 6	ressbasss 17216	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
8	4, 7	sstrdi 3962	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
10		elinel1 4167	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
11		resscntz.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	6, 11	cntzrcl 19266	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
13	12	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
16		elin 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
17	5, 6	ressbas 17213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐻))
18	17	eleq2d 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
19	16, 18	bitr3id 285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
20		eqid 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
21	5, 20	ressplusg 17261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
22	21	oveqd 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
23	21	oveqd 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))
24	22, 23	eqeq12d 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
25	24	ralbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
26	19, 25	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
27	26	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
28		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
29	27, 28	bitr3di 286	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
30		ssin 4205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)))
31	17	sseq2d 3982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
32	30, 31	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
33	32	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
34	33	impl 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
35		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
36	1, 35, 2	elcntz 19261	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐻) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
37	34, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
38		elin 3933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
39	38	biancomi 462	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)))
40	6, 20, 11	elcntz 19261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
41	40	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
42	41	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
43	39, 42	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
44	29, 37, 43	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴)))
45	44	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))))
46	9, 15, 45	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴)))
47	46	eqrdv 2728	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑌‘𝑆) = ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  +_gcplusg 17227  Cntzccntz 19254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-cntz 19256

This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19855  subgdmdprd  19973  cntzsdrg  20718