Theorem resscntz 19403

Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resscntz.p	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
resscntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
resscntz.y	⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resscntz	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑌‘𝑆) = ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))

Proof of Theorem resscntz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		resscntz.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
3	1, 2	cntzrcl 19397	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → (𝐻 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
4	3	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
5		resscntz.p	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
6		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	5, 6	ressbasss 17299	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
8	4, 7	sstrdi 3957	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
10		elinel1 4162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
11		resscntz.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	6, 11	cntzrcl 19397	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
13	12	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14	10, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
16		elin 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
17	5, 6	ressbas 17296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐻))
18	17	eleq2d 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
19	16, 18	bitr3id 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
20		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
21	5, 20	ressplusg 17344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
22	21	oveqd 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
23	21	oveqd 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))
24	22, 23	eqeq12d 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
25	24	ralbidv 3194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
26	19, 25	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
27	26	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
28		anass 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
29	27, 28	bitr3di 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
30		ssin 4199	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)))
31	17	sseq2d 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
32	30, 31	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
33	32	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
34	33	impl 460	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
35		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
36	1, 35, 2	elcntz 19392	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐻) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
37	34, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
38		elin 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
39	38	biancomi 467	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)))
40	6, 20, 11	elcntz 19392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
41	40	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
42	41	anbi2d 641	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
43	39, 42	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
44	29, 37, 43	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴)))
45	44	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))))
46	9, 15, 45	pm5.21ndd 382	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴)))
47	46	eqrdv 2767	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑌‘𝑆) = ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  +_gcplusg 17310  Cntzccntz 19385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-cntz 19387

This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19988  subgdmdprd  20106  cntzsdrg  20883