MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resscntz 19249
Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p ๐ป = (๐บ โ†พs ๐ด)
resscntz.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
resscntz.y ๐‘Œ = (Cntzโ€˜๐ป)
Assertion
Ref Expression
resscntz ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘†) = ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด))

Proof of Theorem resscntz
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
2 resscntz.y . . . . . . 7 ๐‘Œ = (Cntzโ€˜๐ป)
31, 2cntzrcl 19243 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†’ (๐ป โˆˆ V โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป)))
43simprd 495 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป))
5 resscntz.p . . . . . 6 ๐ป = (๐บ โ†พs ๐ด)
6 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
75, 6ressbasss 17192 . . . . 5 (Baseโ€˜๐ป) โІ (Baseโ€˜๐บ)
84, 7sstrdi 3989 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ))
98a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)))
10 elinel1 4190 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
11 resscntz.z . . . . . . 7 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
126, 11cntzrcl 19243 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐บ โˆˆ V โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)))
1312simprd 495 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ))
1410, 13syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ))
1514a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)))
16 elin 3959 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)))
175, 6ressbas 17188 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐ด โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)) = (Baseโ€˜๐ป))
1817eleq2d 2813 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป)))
1916, 18bitr3id 285 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป)))
20 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
215, 20ressplusg 17244 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐ป))
2221oveqd 7422 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
2321oveqd 7422 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ))
2422, 23eqeq12d 2742 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ)))
2524ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ)))
2619, 25anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ))))
2726ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ))))
28 anass 468 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
2927, 28bitr3di 286 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)))))
30 ssin 4225 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โІ ๐ด โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” ๐‘† โІ (๐ด โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)))
3117sseq2d 4009 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘† โІ (๐ด โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป)))
3230, 31bitrid 283 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘† โІ ๐ด โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป)))
3332biimpd 228 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘† โІ ๐ด โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป)))
3433impl 455 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป))
35 eqid 2726 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐ป) = (+gโ€˜๐ป)
361, 35, 2elcntz 19238 . . . . . 6 (๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ))))
3734, 36syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ))))
38 elin 3959 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
3938biancomi 462 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)))
406, 20, 11elcntz 19238 . . . . . . . 8 (๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
4140adantl 481 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
4241anbi2d 628 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)))))
4339, 42bitrid 283 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)))))
4429, 37, 433bitr4d 311 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด)))
4544ex 412 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด))))
469, 15, 45pm5.21ndd 379 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด)))
4746eqrdv 2724 1 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘†) = ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  Vcvv 3468   โˆฉ cin 3942   โІ wss 3943  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   โ†พs cress 17182  +gcplusg 17206  Cntzccntz 19231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-cntz 19233
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19838  subgdmdprd  19956  cntzsdrg  20653
  Copyright terms: Public domain W3C validator