MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resscntz 18246
Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
resscntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
resscntz.y 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
resscntz ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑌𝑆) = ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))

Proof of Theorem resscntz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2773 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2 resscntz.y . . . . . . 7 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
31, 2cntzrcl 18241 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → (𝐻 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
43simprd 488 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
5 resscntz.p . . . . . 6 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
6 eqid 2773 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
75, 6ressbasss 16411 . . . . 5 (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
84, 7syl6ss 3865 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
98a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
10 elinel1 4055 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
11 resscntz.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
126, 11cntzrcl 18241 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
1312simprd 488 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1514a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
16 anass 461 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
17 elin 4052 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
185, 6ressbas 16409 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐻))
1918eleq2d 2846 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
2017, 19syl5bbr 277 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
21 eqid 2773 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
225, 21ressplusg 16467 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐻))
2322oveqd 6992 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
2422oveqd 6992 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))
2523, 24eqeq12d 2788 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
2625ralbidv 3142 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
2720, 26anbi12d 622 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
2827ad2antrr 714 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
2916, 28syl5rbbr 278 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
30 ssin 4089 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)))
3118sseq2d 3884 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3230, 31syl5bb 275 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3332biimpd 221 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3433impl 448 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
35 eqid 2773 . . . . . . 7 (+g𝐻) = (+g𝐻)
361, 35, 2elcntz 18236 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐻) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
3734, 36syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
38 elin 4052 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝐴))
3938biancomi 455 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑍𝑆)))
406, 21, 11elcntz 18236 . . . . . . . 8 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
4140adantl 474 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
4241anbi2d 620 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
4339, 42syl5bb 275 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
4429, 37, 433bitr4d 303 . . . 4 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴)))
4544ex 405 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))))
469, 15, 45pm5.21ndd 372 . 2 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴)))
4746eqrdv 2771 1 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑌𝑆) = ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3083  Vcvv 3410  cin 3823  wss 3824  cfv 6186  (class class class)co 6975  Basecbs 16338  s cress 16339  +gcplusg 16420  Cntzccntz 18229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-cntz 18231
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  18804  subgdmdprd  18919  cntzsdrg  19316
  Copyright terms: Public domain W3C validator