MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resscntz 19110
Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
resscntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
resscntz.y 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
resscntz ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑌𝑆) = ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))

Proof of Theorem resscntz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2 resscntz.y . . . . . . 7 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
31, 2cntzrcl 19105 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → (𝐻 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
43simprd 496 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
5 resscntz.p . . . . . 6 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
6 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
75, 6ressbasss 17120 . . . . 5 (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
84, 7sstrdi 3956 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
98a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
10 elinel1 4155 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
11 resscntz.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
126, 11cntzrcl 19105 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
1312simprd 496 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1514a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
16 elin 3926 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
175, 6ressbas 17117 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐻))
1817eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
1916, 18bitr3id 284 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
20 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
215, 20ressplusg 17170 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐻))
2221oveqd 7373 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
2321oveqd 7373 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))
2422, 23eqeq12d 2752 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
2524ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
2619, 25anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
2726ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
28 anass 469 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
2927, 28bitr3di 285 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
30 ssin 4190 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)))
3117sseq2d 3976 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3230, 31bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3332biimpd 228 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3433impl 456 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
35 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g𝐻) = (+g𝐻)
361, 35, 2elcntz 19100 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐻) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
3734, 36syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
38 elin 3926 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝐴))
3938biancomi 463 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑍𝑆)))
406, 20, 11elcntz 19100 . . . . . . . 8 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
4140adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
4241anbi2d 629 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
4339, 42bitrid 282 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
4429, 37, 433bitr4d 310 . . . 4 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴)))
4544ex 413 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))))
469, 15, 45pm5.21ndd 380 . 2 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴)))
4746eqrdv 2734 1 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑌𝑆) = ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  s cress 17111  +gcplusg 17132  Cntzccntz 19093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-cntz 19095
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19693  subgdmdprd  19811  cntzsdrg  20267
  Copyright terms: Public domain W3C validator