MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resscntz 19298
Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p ๐ป = (๐บ โ†พs ๐ด)
resscntz.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
resscntz.y ๐‘Œ = (Cntzโ€˜๐ป)
Assertion
Ref Expression
resscntz ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘†) = ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด))

Proof of Theorem resscntz
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
2 resscntz.y . . . . . . 7 ๐‘Œ = (Cntzโ€˜๐ป)
31, 2cntzrcl 19292 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†’ (๐ป โˆˆ V โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป)))
43simprd 494 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป))
5 resscntz.p . . . . . 6 ๐ป = (๐บ โ†พs ๐ด)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
75, 6ressbasss 17228 . . . . 5 (Baseโ€˜๐ป) โІ (Baseโ€˜๐บ)
84, 7sstrdi 3994 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ))
98a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)))
10 elinel1 4197 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†))
11 resscntz.z . . . . . . 7 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
126, 11cntzrcl 19292 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐บ โˆˆ V โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)))
1312simprd 494 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ))
1410, 13syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ))
1514a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)))
16 elin 3965 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)))
175, 6ressbas 17224 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐ด โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)) = (Baseโ€˜๐ป))
1817eleq2d 2815 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป)))
1916, 18bitr3id 284 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป)))
20 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
215, 20ressplusg 17280 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐ป))
2221oveqd 7443 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
2321oveqd 7443 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ))
2422, 23eqeq12d 2744 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โ†” (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ)))
2524ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ)))
2619, 25anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ))))
2726ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ))))
28 anass 467 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
2927, 28bitr3di 285 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)))))
30 ssin 4233 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โІ ๐ด โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” ๐‘† โІ (๐ด โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)))
3117sseq2d 4014 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘† โІ (๐ด โˆฉ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป)))
3230, 31bitrid 282 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘† โІ ๐ด โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†” ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป)))
3332biimpd 228 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((๐‘† โІ ๐ด โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป)))
3433impl 454 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป))
35 eqid 2728 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐ป) = (+gโ€˜๐ป)
361, 35, 2elcntz 19287 . . . . . 6 (๐‘† โІ (Baseโ€˜๐ป) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ))))
3734, 36syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฅ))))
38 elin 3965 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด))
3938biancomi 461 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)))
406, 20, 11elcntz 19287 . . . . . . . 8 (๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
4140adantl 480 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
4241anbi2d 628 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)))))
4339, 42bitrid 282 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)))))
4429, 37, 433bitr4d 310 . . . 4 (((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด)))
4544ex 411 . . 3 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘† โІ (Baseโ€˜๐บ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด))))
469, 15, 45pm5.21ndd 378 . 2 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘Œโ€˜๐‘†) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด)))
4746eqrdv 2726 1 ((๐ด โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘† โІ ๐ด) โ†’ (๐‘Œโ€˜๐‘†) = ((๐‘โ€˜๐‘†) โˆฉ ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  Vcvv 3473   โˆฉ cin 3948   โІ wss 3949  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189   โ†พs cress 17218  +gcplusg 17242  Cntzccntz 19280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-cntz 19282
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19887  subgdmdprd  20005  cntzsdrg  20704
  Copyright terms: Public domain W3C validator