Theorem resscntz 19577

Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resscntz.p	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
resscntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
resscntz.y	⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resscntz	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑌‘𝑆) = ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))

Proof of Theorem resscntz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		resscntz.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
3	1, 2	cntzrcl 19571	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → (𝐻 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
4	3	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
5		resscntz.p	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	5, 6	ressbasss 17446	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
8	4, 7	sstrdi 3925	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
10		elinel1 4101	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
11		resscntz.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	6, 11	cntzrcl 19571	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
13	12	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14	10, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
16		elin 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
17	5, 6	ressbas 17443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐻))
18	17	eleq2d 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
19	16, 18	bitr3id 288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
20		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
21	5, 20	ressplusg 17491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
22	21	oveqd 7460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
23	21	oveqd 7460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))
24	22, 23	eqeq12d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
25	24	ralbidv 3189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
26	19, 25	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
27	26	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
28		anass 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
29	27, 28	bitr3di 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
30		ssin 4138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)))
31	17	sseq2d 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
32	30, 31	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
33	32	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
34	33	impl 461	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
35		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
36	1, 35, 2	elcntz 19566	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐻) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
37	34, 36	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
38		elin 4096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
39	38	biancomi 468	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)))
40	6, 20, 11	elcntz 19566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
41	40	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
42	41	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
43	39, 42	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
44	29, 37, 43	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴)))
45	44	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))))
46	9, 15, 45	pm5.21ndd 382	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴)))
47	46	eqrdv 2761	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑌‘𝑆) = ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416   ↾_s cress 17437  +_gcplusg 17457  Cntzccntz 19559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-cntz 19561

This theorem is used by:  gsumzsubmcl  20162  subgdmdprd  20280  cntzsdrg  21089