Theorem resscntz 19373

Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resscntz.p	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
resscntz.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
resscntz.y	⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resscntz	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑌‘𝑆) = ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))

Proof of Theorem resscntz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		resscntz.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
3	1, 2	cntzrcl 19367	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → (𝐻 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
4	3	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
5		resscntz.p	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐴)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7	5, 6	ressbasss 17297	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
8	4, 7	sstrdi 4021	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
10		elinel1 4224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
11		resscntz.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
12	6, 11	cntzrcl 19367	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
13	12	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14	10, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
16		elin 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
17	5, 6	ressbas 17293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐻))
18	17	eleq2d 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
19	16, 18	bitr3id 285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
20		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
21	5, 20	ressplusg 17349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
22	21	oveqd 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐻)𝑦))
23	21	oveqd 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))
24	22, 23	eqeq12d 2756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
25	24	ralbidv 3184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)))
26	19, 25	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
27	26	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
28		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
29	27, 28	bitr3di 286	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
30		ssin 4260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)))
31	17	sseq2d 4041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
32	30, 31	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
33	32	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑆 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
34	33	impl 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
35		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
36	1, 35, 2	elcntz 19362	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐻) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
37	34, 36	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐻)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐻)𝑥))))
38		elin 3992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
39	38	biancomi 462	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)))
40	6, 20, 11	elcntz 19362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
41	40	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))))
42	41	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
43	39, 42	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥)))))
44	29, 37, 43	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴)))
45	44	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))))
46	9, 15, 45	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌‘𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴)))
47	46	eqrdv 2738	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → (𝑌‘𝑆) = ((𝑍‘𝑆) ∩ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  Cntzccntz 19355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-cntz 19357

This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19960  subgdmdprd  20078  cntzsdrg  20825