Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resscntz 18458
 Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
resscntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
resscntz.y 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
resscntz ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑌𝑆) = ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))

Proof of Theorem resscntz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2 resscntz.y . . . . . . 7 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
31, 2cntzrcl 18453 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → (𝐻 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
43simprd 499 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
5 resscntz.p . . . . . 6 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
6 eqid 2801 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
75, 6ressbasss 16552 . . . . 5 (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐺)
84, 7sstrdi 3930 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
98a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
10 elinel1 4125 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
11 resscntz.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
126, 11cntzrcl 18453 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
1312simprd 499 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1410, 13syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1514a1i 11 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)))
16 elin 3900 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)))
175, 6ressbas 16550 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐻))
1817eleq2d 2878 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
1916, 18bitr3id 288 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
20 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
215, 20ressplusg 16608 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑉 → (+g𝐺) = (+g𝐻))
2221oveqd 7156 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
2321oveqd 7156 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑉 → (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))
2422, 23eqeq12d 2817 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
2524ralbidv 3165 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)))
2619, 25anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
2726ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
28 anass 472 . . . . . 6 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
2927, 28bitr3di 289 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
30 ssin 4160 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)))
3117sseq2d 3950 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝑆 ⊆ (𝐴 ∩ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3230, 31syl5bb 286 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3332biimpd 232 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ((𝑆𝐴𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻)))
3433impl 459 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐻))
35 eqid 2801 . . . . . . 7 (+g𝐻) = (+g𝐻)
361, 35, 2elcntz 18448 . . . . . 6 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐻) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
3734, 36syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐻)𝑦) = (𝑦(+g𝐻)𝑥))))
38 elin 3900 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ∧ 𝑥𝐴))
3938biancomi 466 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑍𝑆)))
406, 20, 11elcntz 18448 . . . . . . . 8 (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
4140adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
4241anbi2d 631 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝑍𝑆)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
4339, 42syl5bb 286 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))))
4429, 37, 433bitr4d 314 . . . 4 (((𝐴𝑉𝑆𝐴) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴)))
4544ex 416 . . 3 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))))
469, 15, 45pm5.21ndd 384 . 2 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑥 ∈ (𝑌𝑆) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴)))
4746eqrdv 2799 1 ((𝐴𝑉𝑆𝐴) → (𝑌𝑆) = ((𝑍𝑆) ∩ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  Vcvv 3444   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16479   ↾s cress 16480  +gcplusg 16561  Cntzccntz 18441 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-cntz 18443 This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19035  subgdmdprd  19153  cntzsdrg  19578
 Copyright terms: Public domain W3C validator