MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sraassab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sraassab 21889
Description: A subring algebra is an associative algebra if and only if the subring is included in the ring's center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sraassab.a 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
sraassab.z 𝑍 = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))
sraassab.w (𝜑𝑊 ∈ Ring)
sraassab.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
sraassab (𝜑 → (𝐴 ∈ AssAlg ↔ 𝑆𝑍))

Proof of Theorem sraassab
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sraassab.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊))
2 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
32subrgss 20573 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
65sselda 3982 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
7 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐴 ∈ AssAlg)
8 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊s 𝑆) = (𝑊s 𝑆)
98subrgbas 20582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘(𝑊s 𝑆)))
101, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 = (Base‘(𝑊s 𝑆)))
11 sraassab.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
1312, 4srasca 21184 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
1413fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘(𝑊s 𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1510, 14eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1615eqimssd 4039 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1716sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1817ad4ant13 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1912, 4srabase 21178 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
2019eqimssd 4039 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝐴))
2120ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝐴))
2221sselda 3982 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
23 sraassab.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
24 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑊) = (1r𝑊)
252, 24ringidcl 20263 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2726, 19eleqtrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝐴))
2827ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝐴))
29 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
31 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
32 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
33 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (.r𝐴) = (.r𝐴)
3429, 30, 31, 32, 33assaassr 21880 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥(.r𝐴)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))) = (𝑦( ·𝑠𝐴)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))))
357, 18, 22, 28, 34syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝐴)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))) = (𝑦( ·𝑠𝐴)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))))
3612, 4sramulr 21182 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (.r𝑊) = (.r𝐴))
3736ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (.r𝑊) = (.r𝐴))
3837oveqd 7449 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))) = (𝑥(.r𝐴)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))))
3912, 4sravsca 21186 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
4039ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
4140oveqd 7449 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r𝑊)(1r𝑊)) = (𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊)))
42 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑊) = (.r𝑊)
4323ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Ring)
446adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
452, 42, 24, 43, 44ringridmd 20271 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r𝑊)(1r𝑊)) = 𝑦)
4641, 45eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊)) = 𝑦)
4746oveq2d 7448 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))) = (𝑥(.r𝑊)𝑦))
4838, 47eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝐴)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))) = (𝑥(.r𝑊)𝑦))
4940oveqd 7449 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))) = (𝑦( ·𝑠𝐴)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))))
5037oveqd 7449 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝑊)(1r𝑊)) = (𝑥(.r𝐴)(1r𝑊)))
51 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
522, 42, 24, 43, 51ringridmd 20271 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝑊)(1r𝑊)) = 𝑥)
5350, 52eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝐴)(1r𝑊)) = 𝑥)
5453oveq2d 7448 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))) = (𝑦(.r𝑊)𝑥))
5549, 54eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠𝐴)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))) = (𝑦(.r𝑊)𝑥))
5635, 48, 553eqtr3rd 2785 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r𝑊)𝑥) = (𝑥(.r𝑊)𝑦))
5756ralrimiva 3145 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑥) = (𝑥(.r𝑊)𝑦))
58 eqid 2736 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
5958, 2mgpbas 20143 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
6058, 42mgpplusg 20142 . . . . . 6 (.r𝑊) = (+g‘(mulGrp‘𝑊))
61 sraassab.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))
6259, 60, 61elcntr 19349 . . . . 5 (𝑦𝑍 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑥) = (𝑥(.r𝑊)𝑦)))
636, 57, 62sylanbrc 583 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑍)
6463ex 412 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) → (𝑦𝑆𝑦𝑍))
6564ssrdv 3988 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) → 𝑆𝑍)
6619adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
6713adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
6810adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → 𝑆 = (Base‘(𝑊s 𝑆)))
6939adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
7036adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → (.r𝑊) = (.r𝐴))
7111sralmod 21195 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 ∈ LMod)
721, 71syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ LMod)
7372adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → 𝐴 ∈ LMod)
7411, 2sraring 21194 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐴 ∈ Ring)
7523, 4, 74syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Ring)
7675adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → 𝐴 ∈ Ring)
7723ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Ring)
784adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑆𝑍) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
7978sselda 3982 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
80793ad2antr1 1188 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
81 simpr2 1195 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
82 simpr3 1196 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
832, 42, 77, 80, 81, 82ringassd 20255 . . 3 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑧) = (𝑥(.r𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
84 ssel2 3977 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑍𝑥𝑆) → 𝑥𝑍)
8584ad2ant2lr 748 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥𝑍)
86 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
8759, 60, 61cntri 19351 . . . . . . 7 ((𝑥𝑍𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝑊)𝑦) = (𝑦(.r𝑊)𝑥))
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r𝑊)𝑦) = (𝑦(.r𝑊)𝑥))
89883adantr3 1171 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r𝑊)𝑦) = (𝑦(.r𝑊)𝑥))
9089oveq1d 7447 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑧) = ((𝑦(.r𝑊)𝑥)(.r𝑊)𝑧))
912, 42, 77, 81, 80, 82ringassd 20255 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑦(.r𝑊)𝑥)(.r𝑊)𝑧) = (𝑦(.r𝑊)(𝑥(.r𝑊)𝑧)))
9290, 83, 913eqtr3rd 2785 . . 3 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥(.r𝑊)𝑧)) = (𝑥(.r𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
9366, 67, 68, 69, 70, 73, 76, 83, 92isassad 21886 . 2 ((𝜑𝑆𝑍) → 𝐴 ∈ AssAlg)
9465, 93impbida 800 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ AssAlg ↔ 𝑆𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wss 3950  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  s cress 17275  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  Cntrccntr 19335  mulGrpcmgp 20138  1rcur 20179  Ringcrg 20231  SubRingcsubrg 20570  LModclmod 20859  subringAlg csra 21171  AssAlgcasa 21871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-cntr 19337  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-sra 21173  df-assa 21874
This theorem is referenced by:  sraassa  21890
  Copyright terms: Public domain W3C validator