Theorem sraassab 21833

Description: A subring algebra is an associative algebra if and only if the subring is included in the ring's center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraassab.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
sraassab.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))
sraassab.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
sraassab.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
sraassab	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ AssAlg ↔ 𝑆 ⊆ 𝑍))

Proof of Theorem sraassab

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sraassab.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊))
2		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	subrgss 20537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
6	5	sselda 3963	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
7		simpllr 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐴 ∈ AssAlg)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑆) = (𝑊 ↾s 𝑆)
9	8	subrgbas 20546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)))
11		sraassab.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
13	12, 4	srasca 21143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
14	13	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
15	10, 14	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
16	15	eqimssd 4020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
17	16	sselda 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
18	17	ad4ant13 751	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
19	12, 4	srabase 21140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
20	19	eqimssd 4020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝐴))
21	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝐴))
22	21	sselda 3963	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
23		sraassab.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
24		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
25	2, 24	ringidcl 20230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
27	26, 19	eleqtrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝐴))
28	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝐴))
29		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
31		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
32		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
33		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
34	29, 30, 31, 32, 33	assaassr 21824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))))
35	7, 18, 22, 28, 34	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))))
36	12, 4	sramulr 21142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
37	36	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
38	37	oveqd 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))))
39	12, 4	sravsca 21144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
40	39	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
41	40	oveqd 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊)))
42		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
43	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Ring)
44	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
45	2, 42, 24, 43, 44	ringridmd 20238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = 𝑦)
46	41, 45	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊)) = 𝑦)
47	46	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
48	38, 47	eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
49	40	oveqd 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))))
50	37	oveqd 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊)))
51		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
52	2, 42, 24, 43, 51	ringridmd 20238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = 𝑥)
53	50, 52	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊)) = 𝑥)
54	53	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
55	49, 54	eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
56	35, 48, 55	3eqtr3rd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
57	56	ralrimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
58		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
59	58, 2	mgpbas 20110	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
60	58, 42	mgpplusg 20109	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘(mulGrp‘𝑊))
61		sraassab.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))
62	59, 60, 61	elcntr 19318	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦)))
63	6, 57, 62	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑍)
64	63	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑍))
65	64	ssrdv 3969	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) → 𝑆 ⊆ 𝑍)
66	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
67	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
68	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝑆 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)))
69	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
70	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
71	11	sralmod 21150	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 ∈ LMod)
72	1, 71	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
73	72	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝐴 ∈ LMod)
74	11, 2	sraring 21149	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐴 ∈ Ring)
75	23, 4, 74	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
76	75	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝐴 ∈ Ring)
77	23	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Ring)
78	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
79	78	sselda 3963	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
80	79	3ad2antr1 1189	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
81		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
82		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
83	2, 42, 77, 80, 81, 82	ringassd 20222	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
84		ssel2 3958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑍)
85	84	ad2ant2lr 748	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ 𝑍)
86		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
87	59, 60, 61	cntri 19320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
88	85, 86, 87	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
89	88	3adantr3 1172	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
90	89	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = ((𝑦(.r‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑧))
91	2, 42, 77, 81, 80, 82	ringassd 20222	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑦(.r‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑧)))
92	90, 83, 91	3eqtr3rd 2780	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑧)) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
93	66, 67, 68, 69, 70, 73, 76, 83, 92	isassad 21830	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝐴 ∈ AssAlg)
94	65, 93	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ AssAlg ↔ 𝑆 ⊆ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  ._rcmulr 17277  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  Cntrccntr 19304  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  SubRingcsubrg 20534  LModclmod 20822  subringAlg csra 21134  AssAlgcasa 21815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-cntr 19306  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-sra 21136  df-assa 21818

This theorem is referenced by:  sraassa  21834