Theorem sraassab 22206

Description: A subring algebra is an associative algebra if and only if the subring is included in the ring's center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraassab.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
sraassab.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))
sraassab.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
sraassab.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
sraassab	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ AssAlg ↔ 𝑆 ⊆ 𝑍))

Proof of Theorem sraassab

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sraassab.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊))
2		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	subrgss 20854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4	1, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
6	5	sselda 3913	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
7		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐴 ∈ AssAlg)
8		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑆) = (𝑊 ↾s 𝑆)
9	8	subrgbas 20863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)))
10	1, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)))
11		sraassab.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
13	12, 4	srasca 21485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
14	13	fveq2d 6912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
15	10, 14	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
16	15	eqimssd 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
17	16	sselda 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
18	17	ad4ant13 764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
19	12, 4	srabase 21482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
20	19	eqimssd 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝐴))
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝐴))
22	21	sselda 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
23		sraassab.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
24		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
25	2, 24	ringidcl 20524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
26	23, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
27	26, 19	eleqtrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝐴))
28	27	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝐴))
29		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
31		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
32		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
33		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
34	29, 30, 31, 32, 33	assaassr 22197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))))
35	7, 18, 22, 28, 34	syl13anc 1400	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))))
36	12, 4	sramulr 21484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
37	36	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
38	37	oveqd 7460	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))))
39	12, 4	sravsca 21486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
40	39	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
41	40	oveqd 7460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊)))
42		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
43	23	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Ring)
44	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
45	2, 42, 24, 43, 44	ringridmd 20532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = 𝑦)
46	41, 45	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊)) = 𝑦)
47	46	oveq2d 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
48	38, 47	eqtr3d 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
49	40	oveqd 7460	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))))
50	37	oveqd 7460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊)))
51		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
52	2, 42, 24, 43, 51	ringridmd 20532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = 𝑥)
53	50, 52	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊)) = 𝑥)
54	53	oveq2d 7459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
55	49, 54	eqtr3d 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
56	35, 48, 55	3eqtr3rd 2807	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
57	56	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
58		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
59	58, 2	mgpbas 20395	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
60	58, 42	mgpplusg 20394	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘(mulGrp‘𝑊))
61		sraassab.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))
62	59, 60, 61	elcntr 19574	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦)))
63	6, 57, 62	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑍)
64	63	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑍))
65	64	ssrdv 3919	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) → 𝑆 ⊆ 𝑍)
66	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
67	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
68	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝑆 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)))
69	39	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
70	36	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
71	11	sralmod 21492	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 ∈ LMod)
72	1, 71	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
73	72	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝐴 ∈ LMod)
74	11, 2	sraring 21491	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐴 ∈ Ring)
75	23, 4, 74	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
76	75	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝐴 ∈ Ring)
77	23	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Ring)
78	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
79	78	sselda 3913	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
80	79	3ad2antr1 1207	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
81		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
82		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
83	2, 42, 77, 80, 81, 82	ringassd 20515	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
84		ssel2 3908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑍)
85	84	ad2ant2lr 761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ 𝑍)
86		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
87	59, 60, 61	cntri 19576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
88	85, 86, 87	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
89	88	3adantr3 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
90	89	oveq1d 7458	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = ((𝑦(.r‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑧))
91	2, 42, 77, 81, 80, 82	ringassd 20515	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑦(.r‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑧)))
92	90, 83, 91	3eqtr3rd 2807	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑧)) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
93	66, 67, 68, 69, 70, 73, 76, 83, 92	isassad 22203	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝐴 ∈ AssAlg)
94	65, 93	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ AssAlg ↔ 𝑆 ⊆ 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416   ↾_s cress 17437  ._rcmulr 17458  Scalarcsca 17460   ·_𝑠 cvsca 17461  Cntrccntr 19560  mulGrpcmgp 20390  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  SubRingcsubrg 20851  LModclmod 21165  subringAlg csra 21476  AssAlgcasa 22188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-subg 19362  df-cntz 19561  df-cntr 19562  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-subrg 20852  df-lmod 21167  df-sra 21478  df-assa 22191

This theorem is used by:  sraassa  22207