MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sraassab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sraassab 21906
Description: A subring algebra is an associative algebra if and only if the subring is included in the ring's center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sraassab.a 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
sraassab.z 𝑍 = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))
sraassab.w (𝜑𝑊 ∈ Ring)
sraassab.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
sraassab (𝜑 → (𝐴 ∈ AssAlg ↔ 𝑆𝑍))

Proof of Theorem sraassab
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sraassab.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊))
2 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
32subrgss 20589 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
65sselda 3995 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
7 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐴 ∈ AssAlg)
8 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊s 𝑆) = (𝑊s 𝑆)
98subrgbas 20598 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘(𝑊s 𝑆)))
101, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 = (Base‘(𝑊s 𝑆)))
11 sraassab.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
1312, 4srasca 21201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
1413fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘(𝑊s 𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1510, 14eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1615eqimssd 4052 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1716sselda 3995 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1817ad4ant13 751 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
1912, 4srabase 21195 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
2019eqimssd 4052 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝐴))
2120ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝐴))
2221sselda 3995 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
23 sraassab.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
24 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑊) = (1r𝑊)
252, 24ringidcl 20280 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2726, 19eleqtrd 2841 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝐴))
2827ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝐴))
29 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
31 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
32 eqid 2735 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
33 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (.r𝐴) = (.r𝐴)
3429, 30, 31, 32, 33assaassr 21897 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥(.r𝐴)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))) = (𝑦( ·𝑠𝐴)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))))
357, 18, 22, 28, 34syl13anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝐴)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))) = (𝑦( ·𝑠𝐴)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))))
3612, 4sramulr 21199 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (.r𝑊) = (.r𝐴))
3736ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (.r𝑊) = (.r𝐴))
3837oveqd 7448 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))) = (𝑥(.r𝐴)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))))
3912, 4sravsca 21203 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
4039ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
4140oveqd 7448 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r𝑊)(1r𝑊)) = (𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊)))
42 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑊) = (.r𝑊)
4323ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Ring)
446adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
452, 42, 24, 43, 44ringridmd 20287 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r𝑊)(1r𝑊)) = 𝑦)
4641, 45eqtr3d 2777 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊)) = 𝑦)
4746oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝑊)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))) = (𝑥(.r𝑊)𝑦))
4838, 47eqtr3d 2777 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝐴)(𝑦( ·𝑠𝐴)(1r𝑊))) = (𝑥(.r𝑊)𝑦))
4940oveqd 7448 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))) = (𝑦( ·𝑠𝐴)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))))
5037oveqd 7448 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝑊)(1r𝑊)) = (𝑥(.r𝐴)(1r𝑊)))
51 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
522, 42, 24, 43, 51ringridmd 20287 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝑊)(1r𝑊)) = 𝑥)
5350, 52eqtr3d 2777 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝐴)(1r𝑊)) = 𝑥)
5453oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))) = (𝑦(.r𝑊)𝑥))
5549, 54eqtr3d 2777 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠𝐴)(𝑥(.r𝐴)(1r𝑊))) = (𝑦(.r𝑊)𝑥))
5635, 48, 553eqtr3rd 2784 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r𝑊)𝑥) = (𝑥(.r𝑊)𝑦))
5756ralrimiva 3144 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑥) = (𝑥(.r𝑊)𝑦))
58 eqid 2735 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
5958, 2mgpbas 20158 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
6058, 42mgpplusg 20156 . . . . . 6 (.r𝑊) = (+g‘(mulGrp‘𝑊))
61 sraassab.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))
6259, 60, 61elcntr 19361 . . . . 5 (𝑦𝑍 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑥) = (𝑥(.r𝑊)𝑦)))
636, 57, 62sylanbrc 583 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑍)
6463ex 412 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) → (𝑦𝑆𝑦𝑍))
6564ssrdv 4001 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ AssAlg) → 𝑆𝑍)
6619adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
6713adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
6810adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → 𝑆 = (Base‘(𝑊s 𝑆)))
6939adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → (.r𝑊) = ( ·𝑠𝐴))
7036adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → (.r𝑊) = (.r𝐴))
7111sralmod 21212 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 ∈ LMod)
721, 71syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ LMod)
7372adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → 𝐴 ∈ LMod)
7411, 2sraring 21211 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐴 ∈ Ring)
7523, 4, 74syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Ring)
7675adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆𝑍) → 𝐴 ∈ Ring)
7723ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Ring)
784adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑆𝑍) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
7978sselda 3995 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
80793ad2antr1 1187 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
81 simpr2 1194 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
82 simpr3 1195 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
832, 42, 77, 80, 81, 82ringassd 20275 . . 3 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑧) = (𝑥(.r𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
84 ssel2 3990 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑍𝑥𝑆) → 𝑥𝑍)
8584ad2ant2lr 748 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥𝑍)
86 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
8759, 60, 61cntri 19363 . . . . . . 7 ((𝑥𝑍𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r𝑊)𝑦) = (𝑦(.r𝑊)𝑥))
8885, 86, 87syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r𝑊)𝑦) = (𝑦(.r𝑊)𝑥))
89883adantr3 1170 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r𝑊)𝑦) = (𝑦(.r𝑊)𝑥))
9089oveq1d 7446 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑧) = ((𝑦(.r𝑊)𝑥)(.r𝑊)𝑧))
912, 42, 77, 81, 80, 82ringassd 20275 . . . 4 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑦(.r𝑊)𝑥)(.r𝑊)𝑧) = (𝑦(.r𝑊)(𝑥(.r𝑊)𝑧)))
9290, 83, 913eqtr3rd 2784 . . 3 (((𝜑𝑆𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r𝑊)(𝑥(.r𝑊)𝑧)) = (𝑥(.r𝑊)(𝑦(.r𝑊)𝑧)))
9366, 67, 68, 69, 70, 73, 76, 83, 92isassad 21903 . 2 ((𝜑𝑆𝑍) → 𝐴 ∈ AssAlg)
9465, 93impbida 801 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ AssAlg ↔ 𝑆𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  Cntrccntr 19347  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20586  LModclmod 20875  subringAlg csra 21188  AssAlgcasa 21888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cntr 19349  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-sra 21190  df-assa 21891
This theorem is referenced by:  sraassa  21907
  Copyright terms: Public domain W3C validator