Theorem sraassab 21825

Description: A subring algebra is an associative algebra if and only if the subring is included in the ring's center. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sraassab.a	⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
sraassab.z	⊢ 𝑍 = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))
sraassab.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
sraassab.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
sraassab	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ AssAlg ↔ 𝑆 ⊆ 𝑍))

Proof of Theorem sraassab

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sraassab.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊))
2		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	2	subrgss 20507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
4	1, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
6	5	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
7		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝐴 ∈ AssAlg)
8		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ↾s 𝑆) = (𝑊 ↾s 𝑆)
9	8	subrgbas 20516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝑆 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)))
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)))
11		sraassab.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆)
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
13	12, 4	srasca 21134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
14	13	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
15	10, 14	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
16	15	eqimssd 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
17	16	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
18	17	ad4ant13 752	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
19	12, 4	srabase 21131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
20	19	eqimssd 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝐴))
21	20	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (Base‘𝑊) ⊆ (Base‘𝐴))
22	21	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐴))
23		sraassab.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
25	2, 24	ringidcl 20204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
27	26, 19	eleqtrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝐴))
28	27	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝐴))
29		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
31		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
32		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
33		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
34	29, 30, 31, 32, 33	assaassr 21816	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ AssAlg ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))))
35	7, 18, 22, 28, 34	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))))
36	12, 4	sramulr 21133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
37	36	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
38	37	oveqd 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))))
39	12, 4	sravsca 21135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
40	39	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
41	40	oveqd 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊)))
42		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
43	23	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Ring)
44	6	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
45	2, 42, 24, 43, 44	ringridmd 20212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = 𝑦)
46	41, 45	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊)) = 𝑦)
47	46	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
48	38, 47	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝐴)(𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
49	40	oveqd 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))))
50	37	oveqd 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊)))
51		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
52	2, 42, 24, 43, 51	ringridmd 20212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)(1r‘𝑊)) = 𝑥)
53	50, 52	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊)) = 𝑥)
54	53	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
55	49, 54	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)(1r‘𝑊))) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
56	35, 48, 55	3eqtr3rd 2781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑦(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
57	56	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦))
58		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
59	58, 2	mgpbas 20084	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
60	58, 42	mgpplusg 20083	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑊) = (+g‘(mulGrp‘𝑊))
61		sraassab.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntr‘(mulGrp‘𝑊))
62	59, 60, 61	elcntr 19263	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑍 ↔ (𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑊)𝑦)))
63	6, 57, 62	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑍)
64	63	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) → (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑍))
65	64	ssrdv 3928	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ AssAlg) → 𝑆 ⊆ 𝑍)
66	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐴))
67	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
68	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝑆 = (Base‘(𝑊 ↾s 𝑆)))
69	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (.r‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
70	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → (.r‘𝑊) = (.r‘𝐴))
71	11	sralmod 21141	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑊) → 𝐴 ∈ LMod)
72	1, 71	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ LMod)
73	72	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝐴 ∈ LMod)
74	11, 2	sraring 21140	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐴 ∈ Ring)
75	23, 4, 74	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
76	75	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝐴 ∈ Ring)
77	23	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Ring)
78	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
79	78	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
80	79	3ad2antr1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
81		simpr2 1197	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
82		simpr3 1198	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))
83	2, 42, 77, 80, 81, 82	ringassd 20196	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
84		ssel2 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑍)
85	84	ad2ant2lr 749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑥 ∈ 𝑍)
86		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
87	59, 60, 61	cntri 19265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
88	85, 86, 87	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
89	88	3adantr3 1173	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑊)𝑥))
90	89	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(.r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑧) = ((𝑦(.r‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑧))
91	2, 42, 77, 81, 80, 82	ringassd 20196	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑦(.r‘𝑊)𝑥)(.r‘𝑊)𝑧) = (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑧)))
92	90, 83, 91	3eqtr3rd 2781	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑦(.r‘𝑊)(𝑥(.r‘𝑊)𝑧)) = (𝑥(.r‘𝑊)(𝑦(.r‘𝑊)𝑧)))
93	66, 67, 68, 69, 70, 73, 76, 83, 92	isassad 21822	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑍) → 𝐴 ∈ AssAlg)
94	65, 93	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ AssAlg ↔ 𝑆 ⊆ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17137   ↾_s cress 17158  ._rcmulr 17179  Scalarcsca 17181   ·_𝑠 cvsca 17182  Cntrccntr 19249  mulGrpcmgp 20079  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  SubRingcsubrg 20504  LModclmod 20813  subringAlg csra 21125  AssAlgcasa 21807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-sca 17194  df-vsca 17195  df-ip 17196  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-cntr 19251  df-mgp 20080  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-sra 21127  df-assa 21810

This theorem is referenced by:  sraassa  21826