Theorem cntzi 18723

Description: Membership in a centralizer (inference). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzi.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
cntzi.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzi	⊢ ((𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem cntzi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		cntzi.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
3	1, 2	cntzrcl 18721	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)))
4		cntzi.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑀)
5	1, 4, 2	elcntz 18716	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋))))
6	3, 5	simpl2im 507	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋))))
7	6	simplbda 503	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋))
8	7	anidms 570	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋))
9		oveq2 7221	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑌))
10		oveq1 7220	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 + 𝑋) = (𝑌 + 𝑋))
11	9, 10	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
12	11	rspccva 3536	. 2 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
13	8, 12	sylan 583	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  Cntzccntz 18709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-cntz 18711

This theorem is referenced by:  cntri  18725  cntz2ss  18727  cntzsubm  18730  cntzsubg  18731  cntzmhm  18733  cntrsubgnsg  18735  lsmsubm  19042  lsmsubg  19043  lsmcom2  19044  subgdisj1  19081  subgdisj2  19082  pj1id  19089  pj1ghm  19093  gsumval3eu  19289  gsumval3  19292  gsumzaddlem  19306  gsumzoppg  19329  dprdfcntz  19402  cntzsubr  19833  cntzsdrg  19846