Theorem cntzi 19490

Description: Membership in a centralizer (inference). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzi.p	⊢ + = (+g‘𝑀)
cntzi.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzi	⊢ ((𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem cntzi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		cntzi.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
3	1, 2	cntzrcl 19488	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)))
4		cntzi.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑀)
5	1, 4, 2	elcntz 19483	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋))))
6	3, 5	simpl2im 513	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) → (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋))))
7	6	simplbda 505	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆)) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋))
8	7	anidms 577	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋))
9		oveq2 7417	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑌))
10		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 + 𝑋) = (𝑌 + 𝑋))
11	9, 10	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
12	11	rspccva 3575	. 2 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑋 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
13	8, 12	sylan 592	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑍‘𝑆) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334  +_gcplusg 17375  Cntzccntz 19476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-cntz 19478

This theorem is used by:  cntri  19493  cntzsgrpcl  19495  cntz2ss  19496  cntzsubm  19499  cntzsubg  19500  cntzmhm  19502  cntrsubgnsg  19504  lsmsubm  19814  lsmsubg  19815  lsmcom2  19816  subgdisj1  19852  subgdisj2  19853  pj1id  19860  pj1ghm  19864  gsumval3eu  20065  gsumval3  20068  gsumzaddlem  20082  gsumzoppg  20105  dprdfcntz  20178  cntzsubrng  20766  cntzsubr  20805  cntzsdrg  21006