MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzi 19241
Description: Membership in a centralizer (inference). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzi.p + = (+gโ€˜๐‘€)
cntzi.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzi ((๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))

Proof of Theorem cntzi
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘€) = (Baseโ€˜๐‘€)
2 cntzi.z . . . . . 6 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
31, 2cntzrcl 19239 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘€ โˆˆ V โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐‘€)))
4 cntzi.p . . . . . 6 + = (+gโ€˜๐‘€)
51, 4, 2elcntz 19234 . . . . 5 (๐‘† โІ (Baseโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹))))
63, 5simpl2im 503 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹))))
76simplbda 499 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹))
87anidms 566 . 2 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹))
9 oveq2 7410 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘‹ + ๐‘Œ))
10 oveq1 7409 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘‹) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
119, 10eqeq12d 2740 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹) โ†” (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹)))
1211rspccva 3603 . 2 ((โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
138, 12sylan 579 1 ((๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  Vcvv 3466   โІ wss 3941  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Cntzccntz 19227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-cntz 19229
This theorem is referenced by:  cntri  19244  cntzsgrpcl  19246  cntz2ss  19247  cntzsubm  19250  cntzsubg  19251  cntzmhm  19253  cntrsubgnsg  19255  lsmsubm  19569  lsmsubg  19570  lsmcom2  19571  subgdisj1  19607  subgdisj2  19608  pj1id  19615  pj1ghm  19619  gsumval3eu  19820  gsumval3  19823  gsumzaddlem  19837  gsumzoppg  19860  dprdfcntz  19933  cntzsubrng  20463  cntzsubr  20504  cntzsdrg  20649
  Copyright terms: Public domain W3C validator