MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzi 19279
Description: Membership in a centralizer (inference). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzi.p + = (+gโ€˜๐‘€)
cntzi.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzi ((๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))

Proof of Theorem cntzi
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘€) = (Baseโ€˜๐‘€)
2 cntzi.z . . . . . 6 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐‘€)
31, 2cntzrcl 19277 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘€ โˆˆ V โˆง ๐‘† โІ (Baseโ€˜๐‘€)))
4 cntzi.p . . . . . 6 + = (+gโ€˜๐‘€)
51, 4, 2elcntz 19272 . . . . 5 (๐‘† โІ (Baseโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹))))
63, 5simpl2im 503 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘€) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹))))
76simplbda 499 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†)) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹))
87anidms 566 . 2 (๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹))
9 oveq2 7428 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘‹ + ๐‘Œ))
10 oveq1 7427 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘‹) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
119, 10eqeq12d 2744 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹) โ†” (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹)))
1211rspccva 3608 . 2 ((โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† (๐‘‹ + ๐‘ฆ) = (๐‘ฆ + ๐‘‹) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
138, 12sylan 579 1 ((๐‘‹ โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘†) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058  Vcvv 3471   โІ wss 3947  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Cntzccntz 19265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-cntz 19267
This theorem is referenced by:  cntri  19282  cntzsgrpcl  19284  cntz2ss  19285  cntzsubm  19288  cntzsubg  19289  cntzmhm  19291  cntrsubgnsg  19293  lsmsubm  19607  lsmsubg  19608  lsmcom2  19609  subgdisj1  19645  subgdisj2  19646  pj1id  19653  pj1ghm  19657  gsumval3eu  19858  gsumval3  19861  gsumzaddlem  19875  gsumzoppg  19898  dprdfcntz  19971  cntzsubrng  20503  cntzsubr  20544  cntzsdrg  20689
  Copyright terms: Public domain W3C validator