MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsubg 19244
Description: Centralizers in a group are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
cntzrec.z 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzsubg ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))

Proof of Theorem cntzsubg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpmnd 18862 . . 3 (𝑀 ∈ Grp β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
2 cntzrec.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
3 cntzrec.z . . . 4 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
42, 3cntzsubm 19243 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
51, 4sylan 578 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
6 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
72, 3cntzssv 19233 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡
8 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
97, 8sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
10 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (invgβ€˜π‘€) = (invgβ€˜π‘€)
112, 10grpinvcl 18908 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
126, 9, 11syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
13 ssel2 3976 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1413ad2ant2l 742 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
15 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
162, 15grpcl 18863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
176, 9, 12, 16syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
182, 15grpass 18864 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
196, 12, 14, 17, 18syl13anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
202, 15grpass 18864 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
216, 14, 9, 12, 20syl13anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
2221oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
2319, 22eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
2415, 3cntzi 19234 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯))
2524adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯))
2625oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
2726oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
2823, 27eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
292, 15grpcl 18863 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
306, 14, 12, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
312, 15grpass 18864 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
326, 12, 9, 30, 31syl13anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
332, 15grpass 18864 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
346, 9, 14, 12, 33syl13anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
3534oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
3632, 35eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
3728, 36eqtr4d 2773 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
38 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
392, 15, 38, 10grprinv 18911 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘€))
406, 9, 39syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘€))
4140oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)))
422, 15grpcl 18863 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡)
436, 12, 14, 42syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡)
442, 15, 38grprid 18889 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦))
456, 43, 44syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦))
4641, 45eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦))
472, 15, 38, 10grplinv 18910 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (0gβ€˜π‘€))
486, 9, 47syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (0gβ€˜π‘€))
4948oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
502, 15, 38grplid 18888 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
516, 30, 50syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
5249, 51eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
5337, 46, 523eqtr3d 2778 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
5453anassrs 466 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
5554ralrimiva 3144 . . . 4 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
56 simplr 765 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
57 simpll 763 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
58 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
597, 58sselid 3979 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
6057, 59, 11syl2anc 582 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
612, 15, 3cntzel 19228 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
6256, 60, 61syl2anc 582 . . . 4 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
6355, 62mpbird 256 . . 3 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
6463ralrimiva 3144 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
6510issubg3 19060 . . 3 (𝑀 ∈ Grp β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘€) ↔ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))))
6665adantr 479 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘€) ↔ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))))
675, 64, 66mpbir2and 709 1 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  0gc0g 17389  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18704  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  SubGrpcsubg 19036  Cntzccntz 19220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cntz 19222
This theorem is referenced by:  cntrnsg  19249  lsmcntz  19588  cntrabl  19752  dprdz  19941  dprdcntz2  19949  dmdprdsplit2lem  19956  cntzsdrg  20561
  Copyright terms: Public domain W3C validator