MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsubg 19203
Description: Centralizers in a group are subgroups. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzrec.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
cntzrec.z 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzsubg ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))

Proof of Theorem cntzsubg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpmnd 18826 . . 3 (𝑀 ∈ Grp β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
2 cntzrec.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
3 cntzrec.z . . . 4 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
42, 3cntzsubm 19202 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
51, 4sylan 581 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
6 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
72, 3cntzssv 19192 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡
8 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
97, 8sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (invgβ€˜π‘€) = (invgβ€˜π‘€)
112, 10grpinvcl 18872 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
126, 9, 11syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
13 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1413ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
162, 15grpcl 18827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
176, 9, 12, 16syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
182, 15grpass 18828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
196, 12, 14, 17, 18syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
202, 15grpass 18828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
216, 14, 9, 12, 20syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
2221oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
2319, 22eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
2415, 3cntzi 19193 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯))
2524adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯))
2625oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
2726oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
2823, 27eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
292, 15grpcl 18827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
306, 14, 12, 29syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)
312, 15grpass 18828 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
326, 12, 9, 30, 31syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
332, 15grpass 18828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
346, 9, 14, 12, 33syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
3534oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))))
3632, 35eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
3728, 36eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
38 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
392, 15, 38, 10grprinv 18875 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘€))
406, 9, 39syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘€))
4140oveq2d 7425 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)))
422, 15grpcl 18827 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡)
436, 12, 14, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡)
442, 15, 38grprid 18853 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦))
456, 43, 44syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(0gβ€˜π‘€)) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦))
4641, 45eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦)(+gβ€˜π‘€)(π‘₯(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦))
472, 15, 38, 10grplinv 18874 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (0gβ€˜π‘€))
486, 9, 47syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = (0gβ€˜π‘€))
4948oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
502, 15, 38grplid 18852 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Grp ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
516, 30, 50syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((0gβ€˜π‘€)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
5249, 51eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ ((((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)π‘₯)(+gβ€˜π‘€)(𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
5337, 46, 523eqtr3d 2781 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
5453anassrs 469 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
5554ralrimiva 3147 . . . 4 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)))
56 simplr 768 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
57 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
58 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
597, 58sselid 3981 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
6057, 59, 11syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
612, 15, 3cntzel 19187 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
6256, 60, 61syl2anc 585 . . . 4 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯))))
6355, 62mpbird 257 . . 3 (((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
6463ralrimiva 3147 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
6510issubg3 19024 . . 3 (𝑀 ∈ Grp β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘€) ↔ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))))
6665adantr 482 . 2 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘€) ↔ ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)((invgβ€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))))
675, 64, 66mpbir2and 712 1 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubGrpβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625  SubMndcsubmnd 18670  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  SubGrpcsubg 19000  Cntzccntz 19179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-cntz 19181
This theorem is referenced by:  cntrnsg  19208  lsmcntz  19547  cntrabl  19711  dprdz  19900  dprdcntz2  19908  dmdprdsplit2lem  19915  cntzsdrg  20418
  Copyright terms: Public domain W3C validator