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Theorem cntzsdrg 20422
Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsdrg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
cntzsdrg.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
cntzsdrg.z 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzsdrg ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
Proof of Theorem cntzsdrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2 drngring 20368 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 cntzsdrg.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 cntzsdrg.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
5 cntzsdrg.z . . . 4 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
63, 4, 5cntzsubr 20357 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
72, 6sylan 580 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
8 oveq2 7419 . . . . . . 7 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
9 oveq1 7418 . . . . . . 7 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
108, 9eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ↔ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
11 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)))
12 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
134oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
14 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
1512, 13, 14invrfval 20207 . . . . . . . . . . . . 13 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)))
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
173, 12, 16isdrng 20365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
1817simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
1918oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
2019fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2115, 20eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2322fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯))
244oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
253, 16, 24drngmgp 20377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp)
2625ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp)
27 ssdif 4139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
2827ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
29 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝐡
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
314, 3mgpbas 19995 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
3230, 31ressbas2 17184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
34 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) = (Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
3533, 34cntzsubg 19205 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
3626, 28, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
37 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
38 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝑆
3931, 5cntz2ss 19201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4140ssdifssd 4142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4241sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4331, 5cntzssv 19194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡
44 ssdif 4139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4645sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4742, 46elind 4194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
483fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 ∈ V
4948difexi 5328 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V
5030, 5, 34resscntz 19199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5149, 28, 50sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5247, 51eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
53 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5453subginvcl 19017 . . . . . . . . . . 11 ((((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) ∧ π‘₯ ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) β†’ ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5536, 52, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5623, 55eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
57 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
584, 57mgpplusg 19993 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘€)
5930, 58ressplusg 17237 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
6049, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
6160, 34cntzi 19195 . . . . . . . . 9 ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6256, 61sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6311, 62sylan2br 595 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6463anassrs 468 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
652ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
661adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
67 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
6867adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
6943, 68sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
70 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
7170adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
723, 16, 14drnginvrcl 20383 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
7366, 69, 71, 72syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
7473adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
753, 57, 16ringrz 20110 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7665, 74, 75syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
773, 57, 16ringlz 20109 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘…))
7865, 74, 77syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘…))
7976, 78eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
8010, 64, 79pm2.61ne 3027 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
8180ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
82 simplr 767 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
8331, 58, 5cntzel 19189 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
8482, 73, 83syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
8581, 84mpbird 256 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
8685ralrimiva 3146 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
8714, 16issdrg2 20415 . 2 ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†)))
881, 7, 86, 87syl3anbrc 1343 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175  +gcplusg 17199  .rcmulr 17200  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  invgcminusg 18822  SubGrpcsubg 19002  Cntzccntz 19181  mulGrpcmgp 19989  Ringcrg 20058  Unitcui 20173  invrcinvr 20205  SubRingcsubrg 20319  DivRingcdr 20361  SubDRingcsdrg 20406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-sdrg 20407
This theorem is referenced by:  primefld  20425
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