MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzsdrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsdrg 19693
Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsdrg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsdrg.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsdrg.z 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cntzsdrg ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsdrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → 𝑅 ∈ DivRing)
2 drngring 19621 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 cntzsdrg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 cntzsdrg.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5 cntzsdrg.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
63, 4, 5cntzsubr 19680 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
72, 6sylan 583 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
8 oveq2 7172 . . . . . . 7 (𝑦 = (0g𝑅) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)(0g𝑅)))
9 oveq1 7171 . . . . . . 7 (𝑦 = (0g𝑅) → (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)) = ((0g𝑅)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
108, 9eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑦 = (0g𝑅) → ((((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)) ↔ (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)(0g𝑅)) = ((0g𝑅)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥))))
11 eldifsn 4672 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑦𝑆𝑦 ≠ (0g𝑅)))
12 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
134oveq1i 7174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
14 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (invr𝑅) = (invr𝑅)
1512, 13, 14invrfval 19538 . . . . . . . . . . . . 13 (invr𝑅) = (invg‘(𝑀s (Unit‘𝑅)))
16 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝑅) = (0g𝑅)
173, 12, 16isdrng 19618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
1817simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
1918oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀s (Unit‘𝑅)) = (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
2019fveq2d 6672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing → (invg‘(𝑀s (Unit‘𝑅))) = (invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
2115, 20syl5eq 2785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ DivRing → (invr𝑅) = (invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
2221ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → (invr𝑅) = (invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
2322fveq1d 6670 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((invr𝑅)‘𝑥) = ((invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘𝑥))
244oveq1i 7174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
253, 16, 24drngmgp 19626 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp)
2625ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp)
27 ssdif 4028 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝐵 → (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
2827ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
29 difss 4020 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ 𝐵
30 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) = (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
314, 3mgpbas 19357 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝑀)
3230, 31ressbas2 16651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) = (Base‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) = (Base‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
34 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))) = (Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
3533, 34cntzsubg 18578 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp ∧ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
3626, 28, 35syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
37 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆𝐵)
38 difss 4020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ 𝑆
3931, 5cntz2ss 18574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ 𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
4037, 38, 39sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
4140ssdifssd 4031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
4241sselda 3875 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
4331, 5cntzssv 18569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
44 ssdif 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 → ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
4645sselda 3875 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
4742, 46elind 4082 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
483fvexi 6682 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V
4948difexi 5193 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ∈ V
5030, 5, 34resscntz 18573 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ∈ V ∧ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
5149, 28, 50sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
5247, 51eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
53 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))) = (invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
5453subginvcl 18399 . . . . . . . . . . 11 ((((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))) ∧ 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)}))) → ((invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
5536, 52, 54syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
5623, 55eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
57 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (.r𝑅) = (.r𝑅)
584, 57mgpplusg 19355 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (+g𝑀)
5930, 58ressplusg 16708 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ∈ V → (.r𝑅) = (+g‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
6049, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (+g‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
6160, 34cntzi 18570 . . . . . . . . 9 ((((invr𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
6256, 61sylan 583 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
6311, 62sylan2br 598 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
6463anassrs 471 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
652ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
661adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑅 ∈ DivRing)
67 eldifi 4015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)}) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
6867adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
6943, 68sseldi 3873 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥𝐵)
70 eldifsni 4675 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
7170adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
723, 16, 14drnginvrcl 19631 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7366, 69, 71, 72syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7473adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
753, 57, 16ringrz 19453 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
7665, 74, 75syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
773, 57, 16ringlz 19452 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)) = (0g𝑅))
7865, 74, 77syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)) = (0g𝑅))
7976, 78eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)(0g𝑅)) = ((0g𝑅)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
8010, 64, 79pm2.61ne 3019 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
8180ralrimiva 3096 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ∀𝑦𝑆 (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
82 simplr 769 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑆𝐵)
8331, 58, 5cntzel 18564 . . . . 5 ((𝑆𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥))))
8482, 73, 83syl2anc 587 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → (((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥))))
8581, 84mpbird 260 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆))
8685ralrimiva 3096 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆))
8714, 16issdrg2 19689 . 2 ((𝑍𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
881, 7, 86, 87syl3anbrc 1344 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  Vcvv 3397  cdif 3838  cin 3840  wss 3841  {csn 4513  cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  s cress 16580  +gcplusg 16661  .rcmulr 16662  0gc0g 16809  Grpcgrp 18212  invgcminusg 18213  SubGrpcsubg 18384  Cntzccntz 18556  mulGrpcmgp 19351  Ringcrg 19409  Unitcui 19504  invrcinvr 19536  DivRingcdr 19614  SubRingcsubrg 19643  SubDRingcsdrg 19684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-0g 16811  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-subg 18387  df-cntz 18558  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-drng 19616  df-subrg 19645  df-sdrg 19685
This theorem is referenced by:  primefld  19696
  Copyright terms: Public domain W3C validator