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Theorem cntzsdrg 20418
Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsdrg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
cntzsdrg.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
cntzsdrg.z 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzsdrg ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
Proof of Theorem cntzsdrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2 drngring 20364 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 cntzsdrg.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 cntzsdrg.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
5 cntzsdrg.z . . . 4 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
63, 4, 5cntzsubr 20353 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
72, 6sylan 581 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
8 oveq2 7417 . . . . . . 7 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
9 oveq1 7416 . . . . . . 7 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
108, 9eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ↔ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
11 eldifsn 4791 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)))
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
134oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
1512, 13, 14invrfval 20203 . . . . . . . . . . . . 13 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
173, 12, 16isdrng 20361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
1817simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
1918oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
2019fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2115, 20eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2322fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯))
244oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
253, 16, 24drngmgp 20373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp)
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp)
27 ssdif 4140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
2827ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
29 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝐡
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
314, 3mgpbas 19993 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
3230, 31ressbas2 17182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) = (Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
3533, 34cntzsubg 19203 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
3626, 28, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
37 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
38 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝑆
3931, 5cntz2ss 19199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4037, 38, 39sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4140ssdifssd 4143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4241sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4331, 5cntzssv 19192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡
44 ssdif 4140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4645sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4742, 46elind 4195 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
483fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 ∈ V
4948difexi 5329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V
5030, 5, 34resscntz 19197 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5149, 28, 50sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5247, 51eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
53 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5453subginvcl 19015 . . . . . . . . . . 11 ((((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) ∧ π‘₯ ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) β†’ ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5536, 52, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5623, 55eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
584, 57mgpplusg 19991 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘€)
5930, 58ressplusg 17235 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
6049, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
6160, 34cntzi 19193 . . . . . . . . 9 ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6256, 61sylan 581 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6311, 62sylan2br 596 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6463anassrs 469 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
652ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
661adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
67 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
6867adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
6943, 68sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
70 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
7170adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
723, 16, 14drnginvrcl 20379 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
7366, 69, 71, 72syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
7473adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
753, 57, 16ringrz 20108 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7665, 74, 75syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
773, 57, 16ringlz 20107 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘…))
7865, 74, 77syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘…))
7976, 78eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
8010, 64, 79pm2.61ne 3028 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
8180ralrimiva 3147 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
82 simplr 768 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
8331, 58, 5cntzel 19187 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
8482, 73, 83syl2anc 585 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
8581, 84mpbird 257 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
8685ralrimiva 3147 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
8714, 16issdrg2 20411 . 2 ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†)))
881, 7, 86, 87syl3anbrc 1344 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  SubGrpcsubg 19000  Cntzccntz 19179  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  Unitcui 20169  invrcinvr 20201  SubRingcsubrg 20315  DivRingcdr 20357  SubDRingcsdrg 20402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-sdrg 20403
This theorem is referenced by:  primefld  20421
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