Theorem cntzsdrg 19574

Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsdrg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsdrg.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsdrg.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsdrg	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsdrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drngring 19502	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		cntzsdrg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		cntzsdrg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5		cntzsdrg.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
6	3, 4, 5	cntzsubr 19561	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
7	2, 6	sylan 583	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
8		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
9		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
10	8, 9	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
11		eldifsn 4680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)))
12		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
13	4	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
14		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
15	12, 13, 14	invrfval 19419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)))
16		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	3, 12, 16	isdrng 19499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
18	17	simprbi 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
19	18	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)) = (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
20	19	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (invg‘(𝑀 ↾s (Unit‘𝑅))) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
21	15, 20	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
23	22	fveq1d 6647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥))
24	4	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
25	3, 16, 24	drngmgp 19507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)
26	25	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)
27		ssdif 4067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
28	27	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
29		difss 4059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝐵
30		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
31	4, 3	mgpbas 19238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
32	30, 31	ressbas2 16547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (Base‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
33	29, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (Base‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
34		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) = (Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
35	33, 34	cntzsubg 18459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
36	26, 28, 35	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
37		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
38		difss 4059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝑆
39	31, 5	cntz2ss 18455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
40	37, 38, 39	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
41	40	ssdifssd 4070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
42	41	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
43	31, 5	cntzssv 18450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
44		ssdif 4067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
46	45	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
47	42, 46	elind 4121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
48	3	fvexi 6659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ V
49	48	difexi 5196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V
50	30, 5, 34	resscntz 18454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
51	49, 28, 50	sylancr 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
52	47, 51	eleqtrrd 2893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
53		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
54	53	subginvcl 18280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) ∧ 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}))) → ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
55	36, 52, 54	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
56	23, 55	eqeltrd 2890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
57		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
58	4, 57	mgpplusg 19236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
59	30, 58	ressplusg 16604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
60	49, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
61	60, 34	cntzi 18451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
62	56, 61	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
63	11, 62	sylan2br 597	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
64	63	anassrs 471	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
65	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
66	1	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ DivRing)
67		eldifi 4054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
68	67	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
69	43, 68	sseldi 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
70		eldifsni 4683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
71	70	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
72	3, 16, 14	drnginvrcl 19512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
73	66, 69, 71, 72	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	73	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75	3, 57, 16	ringrz 19334	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
76	65, 74, 75	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
77	3, 57, 16	ringlz 19333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
78	65, 74, 77	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
79	76, 78	eqtr4d 2836	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
80	10, 64, 79	pm2.61ne 3072	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
81	80	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
82		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
83	31, 58, 5	cntzel 18445	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
84	82, 73, 83	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
85	81, 84	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
86	85	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
87	14, 16	issdrg2 19570	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
88	1, 7, 86, 87	syl3anbrc 1340	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  0_gc0g 16705  Grpcgrp 18095  inv_gcminusg 18096  SubGrpcsubg 18265  Cntzccntz 18437  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290  Unitcui 19385  inv_rcinvr 19417  DivRingcdr 19495  SubRingcsubrg 19524  SubDRingcsdrg 19565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-sdrg 19566

This theorem is referenced by:  primefld  19577