Theorem cntzsdrg 21059

Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsdrg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsdrg.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsdrg.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsdrg	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsdrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drngring 20987	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		cntzsdrg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		cntzsdrg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5		cntzsdrg.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
6	3, 4, 5	cntzsubr 20858	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
7	2, 6	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
8		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
9		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
10	8, 9	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
11		eldifsn 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)))
12		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
13	4	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
14		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
15	12, 13, 14	invrfval 20619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)))
16		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	3, 12, 16	isdrng 20984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
18	17	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
19	18	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)) = (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
20	19	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (invg‘(𝑀 ↾s (Unit‘𝑅))) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
21	15, 20	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
22	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
23	22	fveq1d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥))
24	4	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
25	3, 16, 24	drngmgp 20999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)
27		ssdif 4080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
28	27	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
29		difss 4072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝐵
30		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
31	4, 3	mgpbas 20365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
32	30, 31	ressbas2 17416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (Base‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
33	29, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (Base‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
34		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) = (Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
35	33, 34	cntzsubg 19553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
36	26, 28, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
37		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
38		difss 4072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝑆
39	31, 5	cntz2ss 19549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
40	37, 38, 39	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
41	40	ssdifssd 4083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
42	41	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
43	31, 5	cntzssv 19542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
44		ssdif 4080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
45	43, 44	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
46	45	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
47	42, 46	elind 4097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
48	3	fvexi 6899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ V
49	48	difexi 5291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V
50	30, 5, 34	resscntz 19547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
51	49, 28, 50	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
52	47, 51	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
53		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
54	53	subginvcl 19345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) ∧ 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}))) → ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
55	36, 52, 54	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
56	23, 55	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
57		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
58	4, 57	mgpplusg 20364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
59	30, 58	ressplusg 17462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
60	49, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
61	60, 34	cntzi 19543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
62	56, 61	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
63	11, 62	sylan2br 607	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
64	63	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
65	2	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
66	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ DivRing)
67		eldifi 4067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
68	67	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
69	43, 68	sselid 3906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
70		eldifsni 4752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
71	70	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
72	3, 16, 14	drnginvrcl 21011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
73	66, 69, 71, 72	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	73	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75	3, 57, 16	ringrz 20525	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
76	65, 74, 75	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
77	3, 57, 16	ringlz 20524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
78	65, 74, 77	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
79	76, 78	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
80	10, 64, 79	pm2.61ne 3040	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
81	80	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
82		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
83	31, 58, 5	cntzel 19537	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
84	82, 73, 83	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
85	81, 84	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
86	85	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
87	14, 16	issdrg2 21052	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
88	1, 7, 86, 87	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  {csn 4583  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145  SubGrpcsubg 19330  Cntzccntz 19529  mulGrpcmgp 20360  Ringcrg 20459  Unitcui 20585  inv_rcinvr 20617  SubRingcsubrg 20821  DivRingcdr 20980  SubDRingcsdrg 21043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-sdrg 21044

This theorem is used by:  primefld  21062