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Theorem cntzsdrg 20312
Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsdrg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
cntzsdrg.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
cntzsdrg.z 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzsdrg ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))

Proof of Theorem cntzsdrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2 drngring 20226 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 cntzsdrg.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 cntzsdrg.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
5 cntzsdrg.z . . . 4 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
63, 4, 5cntzsubr 20298 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
72, 6sylan 581 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
8 oveq2 7369 . . . . . . 7 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
9 oveq1 7368 . . . . . . 7 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
108, 9eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ↔ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
11 eldifsn 4751 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)))
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
134oveq1i 7371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
1512, 13, 14invrfval 20110 . . . . . . . . . . . . 13 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
173, 12, 16isdrng 20223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
1817simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
1918oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
2019fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2115, 20eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2322fveq1d 6848 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯))
244oveq1i 7371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
253, 16, 24drngmgp 20234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp)
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp)
27 ssdif 4103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
2827ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
29 difss 4095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝐡
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
314, 3mgpbas 19910 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
3230, 31ressbas2 17128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) = (Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
3533, 34cntzsubg 19125 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
3626, 28, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
37 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
38 difss 4095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝑆
3931, 5cntz2ss 19121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4037, 38, 39sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4140ssdifssd 4106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4241sselda 3948 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4331, 5cntzssv 19116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡
44 ssdif 4103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4645sselda 3948 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4742, 46elind 4158 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
483fvexi 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 ∈ V
4948difexi 5289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V
5030, 5, 34resscntz 19120 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5149, 28, 50sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5247, 51eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
53 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5453subginvcl 18945 . . . . . . . . . . 11 ((((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) ∧ π‘₯ ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) β†’ ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5536, 52, 54syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5623, 55eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
584, 57mgpplusg 19908 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘€)
5930, 58ressplusg 17179 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
6049, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
6160, 34cntzi 19117 . . . . . . . . 9 ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6256, 61sylan 581 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6311, 62sylan2br 596 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6463anassrs 469 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
652ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
661adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
67 eldifi 4090 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
6867adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
6943, 68sselid 3946 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
70 eldifsni 4754 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
7170adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
723, 16, 14drnginvrcl 20240 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
7366, 69, 71, 72syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
7473adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
753, 57, 16ringrz 20020 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7665, 74, 75syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
773, 57, 16ringlz 20019 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘…))
7865, 74, 77syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘…))
7976, 78eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
8010, 64, 79pm2.61ne 3027 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
8180ralrimiva 3140 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
82 simplr 768 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
8331, 58, 5cntzel 19111 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
8482, 73, 83syl2anc 585 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
8581, 84mpbird 257 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
8685ralrimiva 3140 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
8714, 16issdrg2 20307 . 2 ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†)))
881, 7, 86, 87syl3anbrc 1344 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  {csn 4590  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  SubGrpcsubg 18930  Cntzccntz 19103  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972  Unitcui 20076  invrcinvr 20108  DivRingcdr 20219  SubRingcsubrg 20260  SubDRingcsdrg 20302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-sdrg 20303
This theorem is referenced by:  primefld  20315
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