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Theorem cntzsdrg 20417
Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsdrg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
cntzsdrg.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
cntzsdrg.z 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
cntzsdrg ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
Proof of Theorem cntzsdrg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2 drngring 20363 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 cntzsdrg.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
4 cntzsdrg.m . . . 4 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
5 cntzsdrg.z . . . 4 𝑍 = (Cntzβ€˜π‘€)
63, 4, 5cntzsubr 20352 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
72, 6sylan 580 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
8 oveq2 7416 . . . . . . 7 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
9 oveq1 7415 . . . . . . 7 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
108, 9eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑦 = (0gβ€˜π‘…) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) ↔ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
11 eldifsn 4790 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)))
12 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
134oveq1i 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))
14 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
1512, 13, 14invrfval 20202 . . . . . . . . . . . . 13 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)))
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
173, 12, 16isdrng 20360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
1817simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
1918oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…)) = (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
2019fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (Unitβ€˜π‘…))) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2115, 20eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
2322fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯))
244oveq1i 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
253, 16, 24drngmgp 20372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp)
2625ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp)
27 ssdif 4139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
2827ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
29 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝐡
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = (𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
314, 3mgpbas 19992 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
3230, 31ressbas2 17181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) = (Baseβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
34 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) = (Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
3533, 34cntzsubg 19202 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ Grp ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
3626, 28, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
37 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
38 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝑆
3931, 5cntz2ss 19198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4140ssdifssd 4142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4241sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
4331, 5cntzssv 19191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡
44 ssdif 4139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘β€˜π‘†) βŠ† 𝐡 β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4645sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
4742, 46elind 4194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
483fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 ∈ V
4948difexi 5328 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V
5030, 5, 34resscntz 19196 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) βŠ† (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5149, 28, 50sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((π‘β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∩ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5247, 51eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
53 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) = (invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5453subginvcl 19014 . . . . . . . . . . 11 ((((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∈ (SubGrpβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) ∧ π‘₯ ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))) β†’ ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5536, 52, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invgβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
5623, 55eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
57 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
584, 57mgpplusg 19990 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘€)
5930, 58ressplusg 17234 . . . . . . . . . . 11 ((𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))))
6049, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
6160, 34cntzi 19192 . . . . . . . . 9 ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ ((Cntzβ€˜(𝑀 β†Ύs (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))β€˜(𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6256, 61sylan 580 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6311, 62sylan2br 595 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
6463anassrs 468 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
652ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
661adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
67 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
6867adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†))
6943, 68sselid 3980 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
70 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
7170adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…))
723, 16, 14drnginvrcl 20378 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
7366, 69, 71, 72syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
7473adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
753, 57, 16ringrz 20107 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
7665, 74, 75syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
773, 57, 16ringlz 20106 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘…))
7865, 74, 77syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘…))
7976, 78eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = ((0gβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
8010, 64, 79pm2.61ne 3027 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
8180ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)))
82 simplr 767 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
8331, 58, 5cntzel 19186 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
8482, 73, 83syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯)(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (𝑦(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯))))
8581, 84mpbird 256 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
8685ralrimiva 3146 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†))
8714, 16issdrg2 20410 . 2 ((π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘β€˜π‘†) βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ (π‘β€˜π‘†)))
881, 7, 86, 87syl3anbrc 1343 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘†) ∈ (SubDRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  invgcminusg 18819  SubGrpcsubg 18999  Cntzccntz 19178  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055  Unitcui 20168  invrcinvr 20200  SubRingcsubrg 20314  DivRingcdr 20356  SubDRingcsdrg 20401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-sdrg 20402
This theorem is referenced by:  primefld  20420
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