Theorem cntzsdrg 20778

Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsdrg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsdrg.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsdrg.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsdrg	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsdrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drngring 20712	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		cntzsdrg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		cntzsdrg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5		cntzsdrg.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
6	3, 4, 5	cntzsubr 20582	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
7	2, 6	sylan 587	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
8		oveq2 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
9		oveq1 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
10	8, 9	eqeq12d 2757	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
11		eldifsn 4722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)))
12		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
13	4	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
14		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
15	12, 13, 14	invrfval 20364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)))
16		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	3, 12, 16	isdrng 20709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
18	17	simprbi 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
19	18	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)) = (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
20	19	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (invg‘(𝑀 ↾s (Unit‘𝑅))) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
21	15, 20	eqtrid 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
22	21	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
23	22	fveq1d 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥))
24	4	oveq1i 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
25	3, 16, 24	drngmgp 20721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)
26	25	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)
27		ssdif 4077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
28	27	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
29		difss 4069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝐵
30		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
31	4, 3	mgpbas 20121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
32	30, 31	ressbas2 17203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (Base‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
33	29, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (Base‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
34		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) = (Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
35	33, 34	cntzsubg 19309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
36	26, 28, 35	syl2anc 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
37		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
38		difss 4069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝑆
39	31, 5	cntz2ss 19305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
40	37, 38, 39	sylancl 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
41	40	ssdifssd 4080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
42	41	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
43	31, 5	cntzssv 19298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
44		ssdif 4077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
46	45	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
47	42, 46	elind 4132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
48	3	fvexi 6845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ V
49	48	difexi 5261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V
50	30, 5, 34	resscntz 19303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
51	49, 28, 50	sylancr 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
52	47, 51	eleqtrrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
53		eqid 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
54	53	subginvcl 19106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) ∧ 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}))) → ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
55	36, 52, 54	syl2anc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
56	23, 55	eqeltrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
57		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
58	4, 57	mgpplusg 20120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
59	30, 58	ressplusg 17249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
60	49, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
61	60, 34	cntzi 19299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
62	56, 61	sylan 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
63	11, 62	sylan2br 602	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
64	63	anassrs 469	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
65	2	ad3antrrr 737	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
66	1	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ DivRing)
67		eldifi 4064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
68	67	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
69	43, 68	sselid 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
70		eldifsni 4726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
71	70	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
72	3, 16, 14	drnginvrcl 20729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
73	66, 69, 71, 72	syl3anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	73	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75	3, 57, 16	ringrz 20270	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
76	65, 74, 75	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
77	3, 57, 16	ringlz 20269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
78	65, 74, 77	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
79	76, 78	eqtr4d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
80	10, 64, 79	pm2.61ne 3021	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
81	80	ralrimiva 3133	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
82		simplr 775	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
83	31, 58, 5	cntzel 19293	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
84	82, 73, 83	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
85	81, 84	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
86	85	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
87	14, 16	issdrg2 20771	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
88	1, 7, 86, 87	syl3anbrc 1351	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  {csn 4558  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  inv_gcminusg 18905  SubGrpcsubg 19091  Cntzccntz 19285  mulGrpcmgp 20116  Ringcrg 20209  Unitcui 20330  inv_rcinvr 20362  SubRingcsubrg 20545  DivRingcdr 20705  SubDRingcsdrg 20762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-drng 20707  df-sdrg 20763

This theorem is referenced by:  primefld  20781