Theorem cntzsdrg 20752

Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsdrg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsdrg.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsdrg.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsdrg	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsdrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drngring 20686	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		cntzsdrg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		cntzsdrg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5		cntzsdrg.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
6	3, 4, 5	cntzsubr 20556	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
7	2, 6	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
8		oveq2 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
9		oveq1 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
10	8, 9	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
11		eldifsn 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)))
12		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
13	4	oveq1i 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
14		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
15	12, 13, 14	invrfval 20342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)))
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	3, 12, 16	isdrng 20683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
18	17	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
19	18	oveq2d 7386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)) = (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
20	19	fveq2d 6848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (invg‘(𝑀 ↾s (Unit‘𝑅))) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
21	15, 20	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
22	21	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
23	22	fveq1d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥))
24	4	oveq1i 7380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
25	3, 16, 24	drngmgp 20695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)
26	25	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)
27		ssdif 4098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
28	27	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
29		difss 4090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝐵
30		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
31	4, 3	mgpbas 20097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
32	30, 31	ressbas2 17179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (Base‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
33	29, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (Base‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
34		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) = (Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
35	33, 34	cntzsubg 19285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
36	26, 28, 35	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
38		difss 4090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝑆
39	31, 5	cntz2ss 19281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
40	37, 38, 39	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
41	40	ssdifssd 4101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
42	41	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
43	31, 5	cntzssv 19274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
44		ssdif 4098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
45	43, 44	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
46	45	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
47	42, 46	elind 4154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
48	3	fvexi 6858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ V
49	48	difexi 5279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V
50	30, 5, 34	resscntz 19279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
51	49, 28, 50	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
52	47, 51	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
53		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
54	53	subginvcl 19082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) ∧ 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}))) → ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
55	36, 52, 54	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
56	23, 55	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
57		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
58	4, 57	mgpplusg 20096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
59	30, 58	ressplusg 17225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
60	49, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
61	60, 34	cntzi 19275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
62	56, 61	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
63	11, 62	sylan2br 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
64	63	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
65	2	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
66	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ DivRing)
67		eldifi 4085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
69	43, 68	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
70		eldifsni 4748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
71	70	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
72	3, 16, 14	drnginvrcl 20703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
73	66, 69, 71, 72	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	73	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75	3, 57, 16	ringrz 20246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
76	65, 74, 75	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
77	3, 57, 16	ringlz 20245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
78	65, 74, 77	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
79	76, 78	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
80	10, 64, 79	pm2.61ne 3018	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
81	80	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
82		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
83	31, 58, 5	cntzel 19269	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
84	82, 73, 83	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
85	81, 84	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
86	85	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
87	14, 16	issdrg2 20745	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
88	1, 7, 86, 87	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171  +_gcplusg 17191  ._rcmulr 17192  0_gc0g 17373  Grpcgrp 18880  inv_gcminusg 18881  SubGrpcsubg 19067  Cntzccntz 19261  mulGrpcmgp 20092  Ringcrg 20185  Unitcui 20308  inv_rcinvr 20340  SubRingcsubrg 20519  DivRingcdr 20679  SubDRingcsdrg 20736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-subg 19070  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20290  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-subrng 20496  df-subrg 20520  df-drng 20681  df-sdrg 20737

This theorem is referenced by:  primefld  20755