Theorem cntzsdrg 20916

Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzsdrg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsdrg.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsdrg.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
cntzsdrg	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsdrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drngring 20845	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		cntzsdrg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		cntzsdrg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5		cntzsdrg.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
6	3, 4, 5	cntzsubr 20716	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
7	2, 6	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
8		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
9		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
10	8, 9	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑅) → ((((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) ↔ (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
11		eldifsn 4752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)))
12		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
13	4	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
14		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
15	12, 13, 14	invrfval 20478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)))
16		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	3, 12, 16	isdrng 20842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
18	17	simprbi 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
19	18	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀 ↾s (Unit‘𝑅)) = (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
20	19	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (invg‘(𝑀 ↾s (Unit‘𝑅))) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
21	15, 20	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
22	21	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (invr‘𝑅) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
23	22	fveq1d 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) = ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥))
24	4	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
25	3, 16, 24	drngmgp 20856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)
26	25	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp)
27		ssdif 4097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
28	27	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
29		difss 4089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝐵
30		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = (𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
31	4, 3	mgpbas 20227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
32	30, 31	ressbas2 17304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (Base‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
33	29, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) = (Base‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
34		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) = (Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
35	33, 34	cntzsubg 19415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ Grp ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
36	26, 28, 35	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
37		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
38		difss 4089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝑆
39	31, 5	cntz2ss 19411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ 𝑆) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
40	37, 38, 39	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
41	40	ssdifssd 4100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
42	41	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
43	31, 5	cntzssv 19404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵
44		ssdif 4097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ⊆ 𝐵 → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
45	43, 44	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
46	45	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
47	42, 46	elind 4152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
48	3	fvexi 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 ∈ V
49	48	difexi 5300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V
50	30, 5, 34	resscntz 19409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V ∧ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
51	49, 28, 50	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
52	47, 51	eleqtrrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
53		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) = (invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
54	53	subginvcl 19207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))) ∧ 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)}))) → ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
55	36, 52, 54	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invg‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
56	23, 55	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})))
57		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
58	4, 57	mgpplusg 20226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
59	30, 58	ressplusg 17350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}) ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))))
60	49, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
61	60, 34	cntzi 19405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀 ↾s (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
62	56, 61	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
63	11, 62	sylan2br 606	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅))) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
64	63	anassrs 472	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
65	2	ad3antrrr 742	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
66	1	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑅 ∈ DivRing)
67		eldifi 4084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
68	67	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑆))
69	43, 68	sselid 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ∈ 𝐵)
70		eldifsni 4757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
71	70	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑥 ≠ (0g‘𝑅))
72	3, 16, 14	drnginvrcl 20868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≠ (0g‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
73	66, 69, 71, 72	syl3anc 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
74	73	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
75	3, 57, 16	ringrz 20384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
76	65, 74, 75	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
77	3, 57, 16	ringlz 20383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
78	65, 74, 77	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)) = (0g‘𝑅))
79	76, 78	eqtr4d 2800	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = ((0g‘𝑅)(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
80	10, 64, 79	pm2.61ne 3042	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
81	80	ralrimiva 3156	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥)))
82		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
83	31, 58, 5	cntzel 19399	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
84	82, 73, 83	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → (((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑥))))
85	81, 84	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
86	85	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆))
87	14, 16	issdrg2 20909	. 2 ⊢ ((𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑍‘𝑆) ∖ {(0g‘𝑅)})((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍‘𝑆)))
88	1, 7, 86, 87	syl3anbrc 1361	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  {csn 4588  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  Grpcgrp 19006  inv_gcminusg 19007  SubGrpcsubg 19192  Cntzccntz 19391  mulGrpcmgp 20222  Ringcrg 20321  Unitcui 20444  inv_rcinvr 20476  SubRingcsubrg 20679  DivRingcdr 20838  SubDRingcsdrg 20900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-drng 20840  df-sdrg 20901

This theorem is used by:  primefld  20919