MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnct 9635
Description: The range of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
rnct (𝐴 ≼ ω → ran 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem rnct
StepHypRef Expression
1 cnvct 8272 . 2 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ≼ ω)
2 dmct 9634 . 2 (𝐴 ≼ ω → dom 𝐴 ≼ ω)
3 df-rn 5323 . . . 4 ran 𝐴 = dom 𝐴
43breq1i 4850 . . 3 (ran 𝐴 ≼ ω ↔ dom 𝐴 ≼ ω)
54biimpri 220 . 2 (dom 𝐴 ≼ ω → ran 𝐴 ≼ ω)
61, 2, 53syl 18 1 (𝐴 ≼ ω → ran 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   class class class wbr 4843  ccnv 5311  dom cdm 5312  ran crn 5313  ωcom 7299  cdom 8193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-ac2 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-card 9051  df-acn 9054  df-ac 9225
This theorem is referenced by:  abrexctf  30014  sigapildsys  30741  dya2iocct  30858  omssubadd  30878  carsgclctunlem2  30897  pmeasadd  30903  smfpimcc  41756
  Copyright terms: Public domain W3C validator