MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnct 9923
Description: The range of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
rnct (𝐴 ≼ ω → ran 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem rnct
StepHypRef Expression
1 cnvct 8562 . 2 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ≼ ω)
2 dmct 9922 . 2 (𝐴 ≼ ω → dom 𝐴 ≼ ω)
3 df-rn 5540 . . . 4 ran 𝐴 = dom 𝐴
43breq1i 5047 . . 3 (ran 𝐴 ≼ ω ↔ dom 𝐴 ≼ ω)
54biimpri 230 . 2 (dom 𝐴 ≼ ω → ran 𝐴 ≼ ω)
61, 2, 53syl 18 1 (𝐴 ≼ ω → ran 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   class class class wbr 5040  ccnv 5528  dom cdm 5529  ran crn 5530  ωcom 7556  cdom 8483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-ac2 9861
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-er 8265  df-map 8384  df-en 8486  df-dom 8487  df-card 9344  df-acn 9347  df-ac 9518
This theorem is referenced by:  abrexctf  30438  sigapildsys  31426  dya2iocct  31543  omssubadd  31563  carsgclctunlem2  31582  pmeasadd  31588  smfpimcc  43217
  Copyright terms: Public domain W3C validator