Theorem endomtr 8995

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8962	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8990	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 589	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   class class class wbr 5102   ≈ cen 8926   ≼ cdom 8927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-f1o 6530  df-en 8930  df-dom 8931

This theorem is referenced by:  cnvct  9017  xpdom1g  9048  xpdom3  9049  domunsncan  9051  domsdomtr  9086  domen1  9093  mapdom1  9116  mapdom2  9122  mapdom3  9123  hartogslem1  9492  harcard  9938  infxpenlem  9971  infpwfien  10020  alephsucdom  10037  mappwen  10070  dfac12lem2  10103  djulepw  10151  fictb  10202  cfflb  10218  canthp1lem1  10612  pwfseqlem5  10623  pwxpndom2  10625  pwdjundom  10627  gchxpidm  10629  gchhar  10639  tskinf  10729  inar1  10735  gruina  10778  rexpen  16262  mreexdomd  17683  hauspwdom  23563  rectbntr0  24895  rabfodom  32706  snct  32916  dya2iocct  34579  finminlem  36683  iccioo01  37826  pibt2  37916  lindsdom  38118  poimirlem26  38150  heiborlem3  38317  pellexlem4  43414  pellexlem5  43415  safesnsupfidom1o  43998  sn1dom  44107  mpct  45783  thincciso2  50081  aacllem  50427