Theorem endomtr 9005

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8972	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 9000	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 579	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5139   ≈ cen 8933   ≼ cdom 8934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-f1o 6541  df-en 8937  df-dom 8938

This theorem is referenced by:  cnvct  9031  undomOLD  9057  xpdom1g  9066  xpdom3  9067  domunsncan  9069  sucdom2OLD  9079  domsdomtr  9109  domen1  9116  mapdom1  9139  mapdom2  9145  mapdom3  9146  phpOLD  9219  onomeneqOLD  9226  hartogslem1  9534  harcard  9970  infxpenlem  10005  infpwfien  10054  alephsucdom  10071  mappwen  10104  dfac12lem2  10136  djulepw  10184  fictb  10237  cfflb  10251  canthp1lem1  10644  pwfseqlem5  10655  pwxpndom2  10657  pwdjundom  10659  gchxpidm  10661  gchhar  10671  tskinf  10761  inar1  10767  gruina  10810  rexpen  16170  mreexdomd  17594  hauspwdom  23329  rectbntr0  24672  rabfodom  32215  snct  32410  dya2iocct  33771  finminlem  35694  iccioo01  36699  pibt2  36789  lindsdom  36976  poimirlem26  37008  heiborlem3  37175  pellexlem4  42084  pellexlem5  42085  safesnsupfidom1o  42682  sn1dom  42791  mpct  44410  aacllem  48060