Theorem endomtr 9009

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8976	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 9004	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 591	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   class class class wbr 5111   ≈ cen 8940   ≼ cdom 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-f1o 6544  df-en 8944  df-dom 8945

This theorem is referenced by:  cnvct  9031  xpdom1g  9062  xpdom3  9063  domunsncan  9065  domsdomtr  9100  domen1  9107  mapdom1  9130  mapdom2  9136  mapdom3  9137  hartogslem1  9504  harcard  9964  infxpenlem  9997  infpwfien  10046  alephsucdom  10063  mappwen  10096  dfac12lem2  10128  djulepw  10176  fictb  10227  cfflb  10243  canthp1lem1  10637  pwfseqlem5  10648  pwxpndom2  10650  pwdjundom  10652  gchxpidm  10654  gchhar  10664  tskinf  10754  inar1  10760  gruina  10803  rexpen  16284  mreexdomd  17705  hauspwdom  23627  rectbntr0  24959  rabfodom  32792  snct  32998  dya2iocct  34615  karddom  35507  finminlem  36752  iccioo01  37896  pibt2  37986  lindsdom  38188  poimirlem26  38220  heiborlem3  38387  pellexlem4  43486  pellexlem5  43487  safesnsupfidom1o  44070  sn1dom  44179  mpct  45845  thincciso2  50153  aacllem  50510