Theorem endomtr 9026

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8993	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 9021	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5119   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-f1o 6538  df-en 8960  df-dom 8961

This theorem is referenced by:  cnvct  9048  undomOLD  9074  xpdom1g  9083  xpdom3  9084  domunsncan  9086  sucdom2OLD  9096  domsdomtr  9126  domen1  9133  mapdom1  9156  mapdom2  9162  mapdom3  9163  phpOLD  9231  onomeneqOLD  9238  hartogslem1  9556  harcard  9992  infxpenlem  10027  infpwfien  10076  alephsucdom  10093  mappwen  10126  dfac12lem2  10159  djulepw  10207  fictb  10258  cfflb  10273  canthp1lem1  10666  pwfseqlem5  10677  pwxpndom2  10679  pwdjundom  10681  gchxpidm  10683  gchhar  10693  tskinf  10783  inar1  10789  gruina  10832  rexpen  16246  mreexdomd  17661  hauspwdom  23439  rectbntr0  24772  rabfodom  32486  snct  32691  dya2iocct  34312  finminlem  36336  iccioo01  37345  pibt2  37435  lindsdom  37638  poimirlem26  37670  heiborlem3  37837  pellexlem4  42855  pellexlem5  42856  safesnsupfidom1o  43441  sn1dom  43550  mpct  45225  thincciso2  49341  aacllem  49665