Theorem endomtr 9010

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8977	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 9005	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 578	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   class class class wbr 5147   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-f1o 6549  df-en 8942  df-dom 8943

This theorem is referenced by:  cnvct  9036  undomOLD  9062  xpdom1g  9071  xpdom3  9072  domunsncan  9074  sucdom2OLD  9084  domsdomtr  9114  domen1  9121  mapdom1  9144  mapdom2  9150  mapdom3  9151  phpOLD  9224  onomeneqOLD  9231  hartogslem1  9539  harcard  9975  infxpenlem  10010  infpwfien  10059  alephsucdom  10076  mappwen  10109  dfac12lem2  10141  djulepw  10189  fictb  10242  cfflb  10256  canthp1lem1  10649  pwfseqlem5  10660  pwxpndom2  10662  pwdjundom  10664  gchxpidm  10666  gchhar  10676  tskinf  10766  inar1  10772  gruina  10815  rexpen  16175  mreexdomd  17597  hauspwdom  23225  rectbntr0  24568  rabfodom  32010  snct  32205  dya2iocct  33577  finminlem  35506  iccioo01  36511  pibt2  36601  lindsdom  36785  poimirlem26  36817  heiborlem3  36984  pellexlem4  41872  pellexlem5  41873  safesnsupfidom1o  42470  sn1dom  42579  mpct  44198  aacllem  47935