Theorem endomtr 9064

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 9031	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 9059	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 592	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   class class class wbr 5106   ≈ cen 8995   ≼ cdom 8996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-f1o 6562  df-en 8999  df-dom 9000

This theorem is used by:  cnvct  9087  xpdom1g  9118  xpdom3  9119  domunsncan  9121  domsdomtr  9156  domen1  9163  mapdom1  9186  mapdom2  9192  mapdom3  9193  hartogslem1  9560  harcard  10083  infxpenlem  10116  infpwfien  10165  alephsucdom  10182  mappwen  10215  dfac12lem2  10247  djulepw  10295  fictb  10346  cfflb  10361  canthp1lem1  10761  pwfseqlem5  10772  pwxpndom2  10774  pwdjundom  10776  gchxpidm  10778  gchhar  10788  tskinf  10878  inar1  10884  gruina  10927  rexpen  16422  mreexdomd  17849  lindsdom  22183  hauspwdom  23847  rectbntr0  25179  rabfodom  33170  snct  33373  dya2iocct  34979  soinfdom  35797  dfac16  35845  karddom  35928  j0ltalephlem  36006  finminlem  37283  iccioo01  38441  pibt2  38531  poimirlem26  38755  heiborlem3  38938  pellexlem4  44030  pellexlem5  44031  safesnsupfidom1o  44608  sn1dom  44717  mpct  46418  thincciso2  50793  aacllem  51217