Theorem endomtr 8753

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8722	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8748	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 579	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5070   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-f1o 6425  df-en 8692  df-dom 8693

This theorem is referenced by:  cnvct  8778  undom  8800  xpdom1g  8809  xpdom3  8810  domunsncan  8812  sucdom2  8822  domsdomtr  8848  domen1  8855  mapdom1  8878  mapdom2  8884  mapdom3  8885  php  8897  onomeneq  8943  hartogslem1  9231  harcard  9667  infxpenlem  9700  infpwfien  9749  alephsucdom  9766  mappwen  9799  dfac12lem2  9831  djulepw  9879  fictb  9932  cfflb  9946  canthp1lem1  10339  pwfseqlem5  10350  pwxpndom2  10352  pwdjundom  10354  gchxpidm  10356  gchhar  10366  tskinf  10456  inar1  10462  gruina  10505  rexpen  15865  mreexdomd  17275  hauspwdom  22560  rectbntr0  23901  rabfodom  30752  snct  30950  dya2iocct  32147  finminlem  34434  iccioo01  35425  pibt2  35515  lindsdom  35698  poimirlem26  35730  heiborlem3  35898  pellexlem4  40570  pellexlem5  40571  sn1dom  41031  mpct  42630  aacllem  46391