Theorem endomtr 9051

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 9018	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 9046	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5148   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-f1o 6570  df-en 8985  df-dom 8986

This theorem is referenced by:  cnvct  9073  undomOLD  9099  xpdom1g  9108  xpdom3  9109  domunsncan  9111  sucdom2OLD  9121  domsdomtr  9151  domen1  9158  mapdom1  9181  mapdom2  9187  mapdom3  9188  phpOLD  9257  onomeneqOLD  9264  hartogslem1  9580  harcard  10016  infxpenlem  10051  infpwfien  10100  alephsucdom  10117  mappwen  10150  dfac12lem2  10183  djulepw  10231  fictb  10282  cfflb  10297  canthp1lem1  10690  pwfseqlem5  10701  pwxpndom2  10703  pwdjundom  10705  gchxpidm  10707  gchhar  10717  tskinf  10807  inar1  10813  gruina  10856  rexpen  16261  mreexdomd  17694  hauspwdom  23525  rectbntr0  24868  rabfodom  32533  snct  32731  dya2iocct  34262  finminlem  36301  iccioo01  37310  pibt2  37400  lindsdom  37601  poimirlem26  37633  heiborlem3  37800  pellexlem4  42820  pellexlem5  42821  safesnsupfidom1o  43407  sn1dom  43516  mpct  45144  aacllem  49032