MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem endomtr 8253
Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
endomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem endomtr
StepHypRef Expression
1 endom 8222 . 2 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domtr 8248 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 576 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   class class class wbr 4843  cen 8192  cdom 8193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-f1o 6108  df-en 8196  df-dom 8197
This theorem is referenced by:  cnvct  8272  undom  8290  xpdom1g  8299  xpdom3  8300  domunsncan  8302  domsdomtr  8337  domen1  8344  mapdom1  8367  mapdom2  8373  mapdom3  8374  php  8386  onomeneq  8392  sucdom2  8398  hartogslem1  8689  harcard  9090  infxpenlem  9122  infpwfien  9171  alephsucdom  9188  mappwen  9221  dfac12lem2  9254  cdalepw  9306  fictb  9355  cfflb  9369  canthp1lem1  9762  pwfseqlem5  9773  pwxpndom2  9775  pwcdandom  9777  gchxpidm  9779  gchhar  9789  tskinf  9879  inar1  9885  gruina  9928  rexpen  15293  mreexdomd  16624  hauspwdom  21633  rectbntr0  22963  rabfodom  29862  snct  30009  dya2iocct  30858  finminlem  32825  lindsdom  33892  poimirlem26  33924  heiborlem3  34099  pellexlem4  38182  pellexlem5  38183  mpct  40145  aacllem  43349
  Copyright terms: Public domain W3C validator