Theorem endomtr 8960

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8927	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8955	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5102   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-f1o 6506  df-en 8896  df-dom 8897

This theorem is referenced by:  cnvct  8982  xpdom1g  9015  xpdom3  9016  domunsncan  9018  domsdomtr  9053  domen1  9060  mapdom1  9083  mapdom2  9089  mapdom3  9090  hartogslem1  9471  harcard  9909  infxpenlem  9944  infpwfien  9993  alephsucdom  10010  mappwen  10043  dfac12lem2  10076  djulepw  10124  fictb  10175  cfflb  10190  canthp1lem1  10583  pwfseqlem5  10594  pwxpndom2  10596  pwdjundom  10598  gchxpidm  10600  gchhar  10610  tskinf  10700  inar1  10706  gruina  10749  rexpen  16173  mreexdomd  17591  hauspwdom  23422  rectbntr0  24755  rabfodom  32485  snct  32688  dya2iocct  34265  finminlem  36300  iccioo01  37309  pibt2  37399  lindsdom  37602  poimirlem26  37634  heiborlem3  37801  pellexlem4  42814  pellexlem5  42815  safesnsupfidom1o  43400  sn1dom  43509  mpct  45189  thincciso2  49438  aacllem  49784