Theorem endomtr 8550

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8519	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8545	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 583	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   class class class wbr 5030   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-f1o 6331  df-en 8493  df-dom 8494

This theorem is referenced by:  cnvct  8569  undom  8588  xpdom1g  8597  xpdom3  8598  domunsncan  8600  sucdom2  8610  domsdomtr  8636  domen1  8643  mapdom1  8666  mapdom2  8672  mapdom3  8673  php  8685  onomeneq  8693  hartogslem1  8990  harcard  9391  infxpenlem  9424  infpwfien  9473  alephsucdom  9490  mappwen  9523  dfac12lem2  9555  djulepw  9603  fictb  9656  cfflb  9670  canthp1lem1  10063  pwfseqlem5  10074  pwxpndom2  10076  pwdjundom  10078  gchxpidm  10080  gchhar  10090  tskinf  10180  inar1  10186  gruina  10229  rexpen  15573  mreexdomd  16912  hauspwdom  22106  rectbntr0  23437  rabfodom  30274  snct  30475  dya2iocct  31648  finminlem  33779  iccioo01  34741  pibt2  34834  lindsdom  35051  poimirlem26  35083  heiborlem3  35251  pellexlem4  39773  pellexlem5  39774  sn1dom  40234  mpct  41830  aacllem  45329