Theorem endomtr 8934

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8901	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8929	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5089   ≈ cen 8866   ≼ cdom 8867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-f1o 6488  df-en 8870  df-dom 8871

This theorem is referenced by:  cnvct  8956  xpdom1g  8987  xpdom3  8988  domunsncan  8990  domsdomtr  9025  domen1  9032  mapdom1  9055  mapdom2  9061  mapdom3  9062  hartogslem1  9428  harcard  9871  infxpenlem  9904  infpwfien  9953  alephsucdom  9970  mappwen  10003  dfac12lem2  10036  djulepw  10084  fictb  10135  cfflb  10150  canthp1lem1  10543  pwfseqlem5  10554  pwxpndom2  10556  pwdjundom  10558  gchxpidm  10560  gchhar  10570  tskinf  10660  inar1  10666  gruina  10709  rexpen  16137  mreexdomd  17555  hauspwdom  23416  rectbntr0  24748  rabfodom  32485  snct  32695  dya2iocct  34293  finminlem  36362  iccioo01  37371  pibt2  37461  lindsdom  37653  poimirlem26  37685  heiborlem3  37852  pellexlem4  42924  pellexlem5  42925  safesnsupfidom1o  43509  sn1dom  43618  mpct  45297  thincciso2  49555  aacllem  49901