Theorem endomtr 8963

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8930	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8958	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5100   ≈ cen 8894   ≼ cdom 8895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-f1o 6509  df-en 8898  df-dom 8899

This theorem is referenced by:  cnvct  8985  xpdom1g  9016  xpdom3  9017  domunsncan  9019  domsdomtr  9054  domen1  9061  mapdom1  9084  mapdom2  9090  mapdom3  9091  hartogslem1  9461  harcard  9904  infxpenlem  9937  infpwfien  9986  alephsucdom  10003  mappwen  10036  dfac12lem2  10069  djulepw  10117  fictb  10168  cfflb  10183  canthp1lem1  10577  pwfseqlem5  10588  pwxpndom2  10590  pwdjundom  10592  gchxpidm  10594  gchhar  10604  tskinf  10694  inar1  10700  gruina  10743  rexpen  16167  mreexdomd  17586  hauspwdom  23462  rectbntr0  24794  rabfodom  32598  snct  32808  dya2iocct  34464  finminlem  36540  iccioo01  37609  pibt2  37699  lindsdom  37894  poimirlem26  37926  heiborlem3  38093  pellexlem4  43218  pellexlem5  43219  safesnsupfidom1o  43802  sn1dom  43911  mpct  45588  thincciso2  49843  aacllem  50189