Theorem endomtr 8953

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8920	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8948	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 587	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   class class class wbr 5075   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-f1o 6496  df-en 8888  df-dom 8889

This theorem is referenced by:  cnvct  8975  xpdom1g  9006  xpdom3  9007  domunsncan  9009  domsdomtr  9044  domen1  9051  mapdom1  9074  mapdom2  9080  mapdom3  9081  hartogslem1  9451  harcard  9897  infxpenlem  9930  infpwfien  9979  alephsucdom  9996  mappwen  10029  dfac12lem2  10062  djulepw  10110  fictb  10161  cfflb  10176  canthp1lem1  10570  pwfseqlem5  10581  pwxpndom2  10583  pwdjundom  10585  gchxpidm  10587  gchhar  10597  tskinf  10687  inar1  10693  gruina  10736  rexpen  16190  mreexdomd  17610  hauspwdom  23488  rectbntr0  24820  rabfodom  32597  snct  32808  dya2iocct  34476  finminlem  36561  iccioo01  37704  pibt2  37794  lindsdom  37996  poimirlem26  38028  heiborlem3  38195  pellexlem4  43292  pellexlem5  43293  safesnsupfidom1o  43876  sn1dom  43985  mpct  45661  thincciso2  49959  aacllem  50305