Theorem endomtr 9072

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 9039	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 9067	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 579	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5166   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-f1o 6580  df-en 9004  df-dom 9005

This theorem is referenced by:  cnvct  9099  undomOLD  9126  xpdom1g  9135  xpdom3  9136  domunsncan  9138  sucdom2OLD  9148  domsdomtr  9178  domen1  9185  mapdom1  9208  mapdom2  9214  mapdom3  9215  phpOLD  9285  onomeneqOLD  9292  hartogslem1  9611  harcard  10047  infxpenlem  10082  infpwfien  10131  alephsucdom  10148  mappwen  10181  dfac12lem2  10214  djulepw  10262  fictb  10313  cfflb  10328  canthp1lem1  10721  pwfseqlem5  10732  pwxpndom2  10734  pwdjundom  10736  gchxpidm  10738  gchhar  10748  tskinf  10838  inar1  10844  gruina  10887  rexpen  16276  mreexdomd  17707  hauspwdom  23530  rectbntr0  24873  rabfodom  32533  snct  32727  dya2iocct  34245  finminlem  36284  iccioo01  37293  pibt2  37383  lindsdom  37574  poimirlem26  37606  heiborlem3  37773  pellexlem4  42788  pellexlem5  42789  safesnsupfidom1o  43379  sn1dom  43488  mpct  45108  aacllem  48895