MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  endomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem endomtr 8556
Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
endomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem endomtr
StepHypRef Expression
1 endom 8525 . 2 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2 domtr 8551 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan 580 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   class class class wbr 5063  cen 8495  cdom 8496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-f1o 6359  df-en 8499  df-dom 8500
This theorem is referenced by:  cnvct  8575  undom  8594  xpdom1g  8603  xpdom3  8604  domunsncan  8606  domsdomtr  8641  domen1  8648  mapdom1  8671  mapdom2  8677  mapdom3  8678  php  8690  onomeneq  8697  sucdom2  8703  hartogslem1  8995  harcard  9396  infxpenlem  9428  infpwfien  9477  alephsucdom  9494  mappwen  9527  dfac12lem2  9559  djulepw  9607  fictb  9656  cfflb  9670  canthp1lem1  10063  pwfseqlem5  10074  pwxpndom2  10076  pwdjundom  10078  gchxpidm  10080  gchhar  10090  tskinf  10180  inar1  10186  gruina  10229  rexpen  15571  mreexdomd  16910  hauspwdom  22028  rectbntr0  23358  rabfodom  30183  snct  30365  dya2iocct  31427  finminlem  33553  pibt2  34570  lindsdom  34756  poimirlem26  34788  heiborlem3  34962  pellexlem4  39297  pellexlem5  39298  sn1dom  39760  mpct  41332  aacllem  44737
  Copyright terms: Public domain W3C validator