Theorem endomtr 8959

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8926	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8954	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   class class class wbr 5110   ≈ cen 8887   ≼ cdom 8888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-f1o 6508  df-en 8891  df-dom 8892

This theorem is referenced by:  cnvct  8985  undomOLD  9011  xpdom1g  9020  xpdom3  9021  domunsncan  9023  sucdom2OLD  9033  domsdomtr  9063  domen1  9070  mapdom1  9093  mapdom2  9099  mapdom3  9100  phpOLD  9173  onomeneqOLD  9180  hartogslem1  9487  harcard  9923  infxpenlem  9958  infpwfien  10007  alephsucdom  10024  mappwen  10057  dfac12lem2  10089  djulepw  10137  fictb  10190  cfflb  10204  canthp1lem1  10597  pwfseqlem5  10608  pwxpndom2  10610  pwdjundom  10612  gchxpidm  10614  gchhar  10624  tskinf  10714  inar1  10720  gruina  10763  rexpen  16121  mreexdomd  17543  hauspwdom  22889  rectbntr0  24232  rabfodom  31496  snct  31698  dya2iocct  32969  finminlem  34866  iccioo01  35871  pibt2  35961  lindsdom  36145  poimirlem26  36177  heiborlem3  36345  pellexlem4  41213  pellexlem5  41214  safesnsupfidom1o  41811  sn1dom  41920  mpct  43543  aacllem  47368