Theorem endomtr 8960

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8927	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8955	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5102   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-f1o 6506  df-en 8896  df-dom 8897

This theorem is referenced by:  cnvct  8982  xpdom1g  9015  xpdom3  9016  domunsncan  9018  domsdomtr  9053  domen1  9060  mapdom1  9083  mapdom2  9089  mapdom3  9090  hartogslem1  9471  harcard  9907  infxpenlem  9942  infpwfien  9991  alephsucdom  10008  mappwen  10041  dfac12lem2  10074  djulepw  10122  fictb  10173  cfflb  10188  canthp1lem1  10581  pwfseqlem5  10592  pwxpndom2  10594  pwdjundom  10596  gchxpidm  10598  gchhar  10608  tskinf  10698  inar1  10704  gruina  10747  rexpen  16172  mreexdomd  17590  hauspwdom  23421  rectbntr0  24754  rabfodom  32484  snct  32687  dya2iocct  34264  finminlem  36299  iccioo01  37308  pibt2  37398  lindsdom  37601  poimirlem26  37633  heiborlem3  37800  pellexlem4  42813  pellexlem5  42814  safesnsupfidom1o  43399  sn1dom  43508  mpct  45188  thincciso2  49437  aacllem  49783