Theorem endomtr 8953

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8920	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8948	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 581	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5099   ≈ cen 8884   ≼ cdom 8885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-f1o 6500  df-en 8888  df-dom 8889

This theorem is referenced by:  cnvct  8975  xpdom1g  9006  xpdom3  9007  domunsncan  9009  domsdomtr  9044  domen1  9051  mapdom1  9074  mapdom2  9080  mapdom3  9081  hartogslem1  9451  harcard  9894  infxpenlem  9927  infpwfien  9976  alephsucdom  9993  mappwen  10026  dfac12lem2  10059  djulepw  10107  fictb  10158  cfflb  10173  canthp1lem1  10567  pwfseqlem5  10578  pwxpndom2  10580  pwdjundom  10582  gchxpidm  10584  gchhar  10594  tskinf  10684  inar1  10690  gruina  10733  rexpen  16157  mreexdomd  17576  hauspwdom  23449  rectbntr0  24781  rabfodom  32583  snct  32793  dya2iocct  34439  finminlem  36514  iccioo01  37534  pibt2  37624  lindsdom  37817  poimirlem26  37849  heiborlem3  38016  pellexlem4  43141  pellexlem5  43142  safesnsupfidom1o  43725  sn1dom  43834  mpct  45512  thincciso2  49767  aacllem  50113