Theorem endomtr 8798

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8767	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8793	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   class class class wbr 5074   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-f1o 6440  df-en 8734  df-dom 8735

This theorem is referenced by:  cnvct  8824  undomOLD  8847  xpdom1g  8856  xpdom3  8857  domunsncan  8859  sucdom2OLD  8869  domsdomtr  8899  domen1  8906  mapdom1  8929  mapdom2  8935  mapdom3  8936  phpOLD  9005  onomeneqOLD  9012  hartogslem1  9301  harcard  9736  infxpenlem  9769  infpwfien  9818  alephsucdom  9835  mappwen  9868  dfac12lem2  9900  djulepw  9948  fictb  10001  cfflb  10015  canthp1lem1  10408  pwfseqlem5  10419  pwxpndom2  10421  pwdjundom  10423  gchxpidm  10425  gchhar  10435  tskinf  10525  inar1  10531  gruina  10574  rexpen  15937  mreexdomd  17358  hauspwdom  22652  rectbntr0  23995  rabfodom  30851  snct  31048  dya2iocct  32247  finminlem  34507  iccioo01  35498  pibt2  35588  lindsdom  35771  poimirlem26  35803  heiborlem3  35971  pellexlem4  40654  pellexlem5  40655  sn1dom  41133  mpct  42741  aacllem  46505