Theorem endomtr 9007

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8974	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 9002	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 591	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   class class class wbr 5108   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-f1o 6543  df-en 8942  df-dom 8943

This theorem is used by:  cnvct  9029  xpdom1g  9060  xpdom3  9061  domunsncan  9063  domsdomtr  9098  domen1  9105  mapdom1  9128  mapdom2  9134  mapdom3  9135  hartogslem1  9502  harcard  9971  infxpenlem  10004  infpwfien  10053  alephsucdom  10070  mappwen  10103  dfac12lem2  10135  djulepw  10183  fictb  10234  cfflb  10249  canthp1lem1  10643  pwfseqlem5  10654  pwxpndom2  10656  pwdjundom  10658  gchxpidm  10660  gchhar  10670  tskinf  10760  inar1  10766  gruina  10809  rexpen  16290  mreexdomd  17711  hauspwdom  23669  rectbntr0  25001  rabfodom  32862  snct  33068  dya2iocct  34679  karddom  35582  finminlem  36857  iccioo01  38001  pibt2  38091  lindsdom  38293  poimirlem26  38325  heiborlem3  38492  pellexlem4  43587  pellexlem5  43588  safesnsupfidom1o  44171  sn1dom  44280  mpct  45946  thincciso2  50261  aacllem  50649