Theorem endomtr 8986

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8953	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8981	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   class class class wbr 5110   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-f1o 6521  df-en 8922  df-dom 8923

This theorem is referenced by:  cnvct  9008  undomOLD  9034  xpdom1g  9043  xpdom3  9044  domunsncan  9046  sucdom2OLD  9056  domsdomtr  9082  domen1  9089  mapdom1  9112  mapdom2  9118  mapdom3  9119  hartogslem1  9502  harcard  9938  infxpenlem  9973  infpwfien  10022  alephsucdom  10039  mappwen  10072  dfac12lem2  10105  djulepw  10153  fictb  10204  cfflb  10219  canthp1lem1  10612  pwfseqlem5  10623  pwxpndom2  10625  pwdjundom  10627  gchxpidm  10629  gchhar  10639  tskinf  10729  inar1  10735  gruina  10778  rexpen  16203  mreexdomd  17617  hauspwdom  23395  rectbntr0  24728  rabfodom  32441  snct  32644  dya2iocct  34278  finminlem  36313  iccioo01  37322  pibt2  37412  lindsdom  37615  poimirlem26  37647  heiborlem3  37814  pellexlem4  42827  pellexlem5  42828  safesnsupfidom1o  43413  sn1dom  43522  mpct  45202  thincciso2  49448  aacllem  49794