Theorem endomtr 8613

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8582	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)
2		domtr 8608	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 583	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   class class class wbr 5030   ≈ cen 8552   ≼ cdom 8553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-f1o 6346  df-en 8556  df-dom 8557

This theorem is referenced by:  cnvct  8633  undom  8654  xpdom1g  8663  xpdom3  8664  domunsncan  8666  sucdom2  8676  domsdomtr  8702  domen1  8709  mapdom1  8732  mapdom2  8738  mapdom3  8739  php  8751  onomeneq  8788  hartogslem1  9079  harcard  9480  infxpenlem  9513  infpwfien  9562  alephsucdom  9579  mappwen  9612  dfac12lem2  9644  djulepw  9692  fictb  9745  cfflb  9759  canthp1lem1  10152  pwfseqlem5  10163  pwxpndom2  10165  pwdjundom  10167  gchxpidm  10169  gchhar  10179  tskinf  10269  inar1  10275  gruina  10318  rexpen  15673  mreexdomd  17023  hauspwdom  22252  rectbntr0  23584  rabfodom  30425  snct  30623  dya2iocct  31817  finminlem  34145  iccioo01  35118  pibt2  35211  lindsdom  35394  poimirlem26  35426  heiborlem3  35594  pellexlem4  40226  pellexlem5  40227  sn1dom  40687  mpct  42279  aacllem  45958