Theorem cxpmul 26744

Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑐𝐶))

Proof of Theorem cxpmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
2		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		relogcl 26631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7	1, 3, 6	mulassd 11281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 · 𝐵) · (log‘𝐴)) = (𝐶 · (𝐵 · (log‘𝐴))))
8	3, 1	mulcomd 11279	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
9	8	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐶) · (log‘𝐴)) = ((𝐶 · 𝐵) · (log‘𝐴)))
10		rpcn 13042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12		rpne0 13048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
13	12	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
14		cxpef 26721	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
15	11, 13, 3, 14	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
16	15	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = (log‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
17	2, 5	remulcld 11288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
18	17	relogefd 26684	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (𝐵 · (log‘𝐴)))
19	16, 18	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐵 · (log‘𝐴)))
20	19	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · (log‘(𝐴↑𝑐𝐵))) = (𝐶 · (𝐵 · (log‘𝐴))))
21	7, 9, 20	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 · 𝐶) · (log‘𝐴)) = (𝐶 · (log‘(𝐴↑𝑐𝐵))))
22	21	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 · 𝐶) · (log‘𝐴))) = (exp‘(𝐶 · (log‘(𝐴↑𝑐𝐵)))))
23	3, 1	mulcld 11278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
24		cxpef 26721	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = (exp‘((𝐵 · 𝐶) · (log‘𝐴))))
25	11, 13, 23, 24	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = (exp‘((𝐵 · 𝐶) · (log‘𝐴))))
26		cxpcl 26730	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
27	11, 3, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
28		cxpne0 26733	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ≠ 0)
29	11, 13, 3, 28	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ≠ 0)
30		cxpef 26721	. . 3 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑐𝐵) ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘(𝐴↑𝑐𝐵)))))
31	27, 29, 1, 30	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘(𝐴↑𝑐𝐵)))))
32	22, 25, 31	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑐𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157  ℝ⁺crp 13031  expce 16093  logclog 26610  ↑_𝑐ccxp 26611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613

This theorem is referenced by:  2irrexpq  26787  cxpmuld  26793  cxpcom  26795  aks6d1c7lem1  42161