![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cxpmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Proposition 10-4.2(b) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
cxpmul | โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ดโ๐(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ๐๐ต)โ๐๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp3 1137 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ๐ถ โ โ) | |
2 | simp2 1136 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ๐ต โ โ) | |
3 | 2 | recnd 11249 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ๐ต โ โ) |
4 | relogcl 26424 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ+ โ (logโ๐ด) โ โ) | |
5 | 4 | 3ad2ant1 1132 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (logโ๐ด) โ โ) |
6 | 5 | recnd 11249 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (logโ๐ด) โ โ) |
7 | 1, 3, 6 | mulassd 11244 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (logโ๐ด)) = (๐ถ ยท (๐ต ยท (logโ๐ด)))) |
8 | 3, 1 | mulcomd 11242 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
9 | 8 | oveq1d 7427 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (logโ๐ด)) = ((๐ถ ยท ๐ต) ยท (logโ๐ด))) |
10 | rpcn 12991 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ) | |
11 | 10 | 3ad2ant1 1132 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ๐ด โ โ) |
12 | rpne0 12997 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ 0) | |
13 | 12 | 3ad2ant1 1132 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ๐ด โ 0) |
14 | cxpef 26513 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ดโ๐๐ต) = (expโ(๐ต ยท (logโ๐ด)))) | |
15 | 11, 13, 3, 14 | syl3anc 1370 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ดโ๐๐ต) = (expโ(๐ต ยท (logโ๐ด)))) |
16 | 15 | fveq2d 6895 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (logโ(๐ดโ๐๐ต)) = (logโ(expโ(๐ต ยท (logโ๐ด))))) |
17 | 2, 5 | remulcld 11251 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท (logโ๐ด)) โ โ) |
18 | 17 | relogefd 26476 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (logโ(expโ(๐ต ยท (logโ๐ด)))) = (๐ต ยท (logโ๐ด))) |
19 | 16, 18 | eqtrd 2771 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (logโ(๐ดโ๐๐ต)) = (๐ต ยท (logโ๐ด))) |
20 | 19 | oveq2d 7428 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ถ ยท (logโ(๐ดโ๐๐ต))) = (๐ถ ยท (๐ต ยท (logโ๐ด)))) |
21 | 7, 9, 20 | 3eqtr4d 2781 | . . 3 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (logโ๐ด)) = (๐ถ ยท (logโ(๐ดโ๐๐ต)))) |
22 | 21 | fveq2d 6895 | . 2 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (expโ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (logโ๐ด))) = (expโ(๐ถ ยท (logโ(๐ดโ๐๐ต))))) |
23 | 3, 1 | mulcld 11241 | . . 3 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) โ โ) |
24 | cxpef 26513 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0 โง (๐ต ยท ๐ถ) โ โ) โ (๐ดโ๐(๐ต ยท ๐ถ)) = (expโ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (logโ๐ด)))) | |
25 | 11, 13, 23, 24 | syl3anc 1370 | . 2 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ดโ๐(๐ต ยท ๐ถ)) = (expโ((๐ต ยท ๐ถ) ยท (logโ๐ด)))) |
26 | cxpcl 26522 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ดโ๐๐ต) โ โ) | |
27 | 11, 3, 26 | syl2anc 583 | . . 3 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ดโ๐๐ต) โ โ) |
28 | cxpne0 26525 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0 โง ๐ต โ โ) โ (๐ดโ๐๐ต) โ 0) | |
29 | 11, 13, 3, 28 | syl3anc 1370 | . . 3 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ดโ๐๐ต) โ 0) |
30 | cxpef 26513 | . . 3 โข (((๐ดโ๐๐ต) โ โ โง (๐ดโ๐๐ต) โ 0 โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ดโ๐๐ต)โ๐๐ถ) = (expโ(๐ถ ยท (logโ(๐ดโ๐๐ต))))) | |
31 | 27, 29, 1, 30 | syl3anc 1370 | . 2 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ดโ๐๐ต)โ๐๐ถ) = (expโ(๐ถ ยท (logโ(๐ดโ๐๐ต))))) |
32 | 22, 25, 31 | 3eqtr4d 2781 | 1 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ดโ๐(๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ดโ๐๐ต)โ๐๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1086 = wceq 1540 โ wcel 2105 โ wne 2939 โcfv 6543 (class class class)co 7412 โcc 11114 โcr 11115 0cc0 11116 ยท cmul 11121 โ+crp 12981 expce 16012 logclog 26403 โ๐ccxp 26404 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-inf2 9642 ax-cnex 11172 ax-resscn 11173 ax-1cn 11174 ax-icn 11175 ax-addcl 11176 ax-addrcl 11177 ax-mulcl 11178 ax-mulrcl 11179 ax-mulcom 11180 ax-addass 11181 ax-mulass 11182 ax-distr 11183 ax-i2m1 11184 ax-1ne0 11185 ax-1rid 11186 ax-rnegex 11187 ax-rrecex 11188 ax-cnre 11189 ax-pre-lttri 11190 ax-pre-lttrn 11191 ax-pre-ltadd 11192 ax-pre-mulgt0 11193 ax-pre-sup 11194 ax-addf 11195 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-of 7674 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-supp 8152 df-frecs 8272 df-wrecs 8303 df-recs 8377 df-rdg 8416 df-1o 8472 df-2o 8473 df-er 8709 df-map 8828 df-pm 8829 df-ixp 8898 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-fin 8949 df-fsupp 9368 df-fi 9412 df-sup 9443 df-inf 9444 df-oi 9511 df-card 9940 df-pnf 11257 df-mnf 11258 df-xr 11259 df-ltxr 11260 df-le 11261 df-sub 11453 df-neg 11454 df-div 11879 df-nn 12220 df-2 12282 df-3 12283 df-4 12284 df-5 12285 df-6 12286 df-7 12287 df-8 12288 df-9 12289 df-n0 12480 df-z 12566 df-dec 12685 df-uz 12830 df-q 12940 df-rp 12982 df-xneg 13099 df-xadd 13100 df-xmul 13101 df-ioo 13335 df-ioc 13336 df-ico 13337 df-icc 13338 df-fz 13492 df-fzo 13635 df-fl 13764 df-mod 13842 df-seq 13974 df-exp 14035 df-fac 14241 df-bc 14270 df-hash 14298 df-shft 15021 df-cj 15053 df-re 15054 df-im 15055 df-sqrt 15189 df-abs 15190 df-limsup 15422 df-clim 15439 df-rlim 15440 df-sum 15640 df-ef 16018 df-sin 16020 df-cos 16021 df-pi 16023 df-struct 17087 df-sets 17104 df-slot 17122 df-ndx 17134 df-base 17152 df-ress 17181 df-plusg 17217 df-mulr 17218 df-starv 17219 df-sca 17220 df-vsca 17221 df-ip 17222 df-tset 17223 df-ple 17224 df-ds 17226 df-unif 17227 df-hom 17228 df-cco 17229 df-rest 17375 df-topn 17376 df-0g 17394 df-gsum 17395 df-topgen 17396 df-pt 17397 df-prds 17400 df-xrs 17455 df-qtop 17460 df-imas 17461 df-xps 17463 df-mre 17537 df-mrc 17538 df-acs 17540 df-mgm 18571 df-sgrp 18650 df-mnd 18666 df-submnd 18712 df-mulg 18994 df-cntz 19229 df-cmn 19698 df-psmet 21225 df-xmet 21226 df-met 21227 df-bl 21228 df-mopn 21229 df-fbas 21230 df-fg 21231 df-cnfld 21234 df-top 22716 df-topon 22733 df-topsp 22755 df-bases 22769 df-cld 22843 df-ntr 22844 df-cls 22845 df-nei 22922 df-lp 22960 df-perf 22961 df-cn 23051 df-cnp 23052 df-haus 23139 df-tx 23386 df-hmeo 23579 df-fil 23670 df-fm 23762 df-flim 23763 df-flf 23764 df-xms 24146 df-ms 24147 df-tms 24148 df-cncf 24718 df-limc 25715 df-dv 25716 df-log 26405 df-cxp 26406 |
This theorem is referenced by: 2irrexpq 26579 cxpmuld 26585 cxpcom 26587 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |