Theorem abscxp2 27067

Description: Absolute value of a power, when the exponent is real. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
abscxp2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵))

Proof of Theorem abscxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11348	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
2		0le0 12482	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ 0)
4		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		recxpcl 27049	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (0↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
7		cxpge0 27057	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (0↑𝑐𝐵))
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ (0↑𝑐𝐵))
9	6, 8	absidd 15631	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘(0↑𝑐𝐵)) = (0↑𝑐𝐵))
10		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
11	10	oveq1d 7464	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
12	11	fveq2d 6918	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = (abs‘(0↑𝑐𝐵)))
13	10	abs00bd 15499	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘𝐴) = 0)
14	13	oveq1d 7464	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
15	9, 12, 14	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵))
16		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		logcl 26942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
19	18	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 11366	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
21		absef 16406	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
23	16, 19	remul2d 15435	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))) = (𝐵 · (ℜ‘(log‘𝐴))))
24		relog 26971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
25	24	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
26	25	oveq2d 7465	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (ℜ‘(log‘𝐴))) = (𝐵 · (log‘(abs‘𝐴))))
27	23, 26	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))) = (𝐵 · (log‘(abs‘𝐴))))
28	27	fveq2d 6918	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(𝐵 · (log‘(abs‘𝐴)))))
29	22, 28	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(𝐵 · (log‘(abs‘𝐴)))))
30		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
32		cxpef 27039	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
33	30, 31, 17, 32	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
34	33	fveq2d 6918	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
35	30	abscld 15647	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11374	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
37		abs00 15497	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
38	37	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
39	38	necon3bid 3003	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
40	39	biimpar 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
41		cxpef 27039	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘(abs‘𝐴)))))
42	36, 40, 17, 41	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘(abs‘𝐴)))))
43	29, 34, 42	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵))
44	15, 43	pm2.61dane 3046	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237   · cmul 11242   ≤ cle 11381  ℜcre 15305  abscabs 15442  expce 16268  logclog 26928  ↑_𝑐ccxp 26929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ioc 13519  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-bc 14486  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-ef 16274  df-sin 16276  df-cos 16277  df-pi 16279  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-mulg 19319  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-cnfld 21721  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-lp 23498  df-perf 23499  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-haus 23677  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-xms 24683  df-ms 24684  df-tms 24685  df-cncf 25243  df-limc 26230  df-dv 26231  df-log 26930  df-cxp 26931

This theorem is used by:  root1cj  27130  rlimcxp  27347