Theorem abscxp2 26582

Description: Absolute value of a power, when the exponent is real. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
abscxp2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵))

Proof of Theorem abscxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11221	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
2		0le0 12317	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 0
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ 0)
4		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		recxpcl 26564	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (0↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
7		cxpge0 26572	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (0↑𝑐𝐵))
8	1, 3, 4, 7	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ≤ (0↑𝑐𝐵))
9	6, 8	absidd 15375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘(0↑𝑐𝐵)) = (0↑𝑐𝐵))
10		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
11	10	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
12	11	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = (abs‘(0↑𝑐𝐵)))
13	10	abs00bd 15244	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘𝐴) = 0)
14	13	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
15	9, 12, 14	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵))
16		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		logcl 26457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
19	18	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
20	17, 19	mulcld 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
21		absef 16147	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
23	16, 19	remul2d 15180	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))) = (𝐵 · (ℜ‘(log‘𝐴))))
24		relog 26486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
25	24	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
26	25	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (ℜ‘(log‘𝐴))) = (𝐵 · (log‘(abs‘𝐴))))
27	23, 26	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))) = (𝐵 · (log‘(abs‘𝐴))))
28	27	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(𝐵 · (log‘(abs‘𝐴)))))
29	22, 28	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(𝐵 · (log‘(abs‘𝐴)))))
30		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
32		cxpef 26554	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
33	30, 31, 17, 32	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
34	33	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
35	30	abscld 15389	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11246	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
37		abs00 15242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
39	38	necon3bid 2979	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
40	39	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
41		cxpef 26554	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘(abs‘𝐴)))))
42	36, 40, 17, 41	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘(abs‘𝐴)))))
43	29, 34, 42	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵))
44	15, 43	pm2.61dane 3023	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴↑𝑐𝐵)) = ((abs‘𝐴)↑𝑐𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   ≤ cle 11253  ℜcre 15050  abscabs 15187  expce 16011  logclog 26443  ↑_𝑐ccxp 26444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-cxp 26446

This theorem is referenced by:  root1cj  26646  rlimcxp  26861