Theorem cxpadd 26569

Description: Sum of exponents law for complex exponentiation. Proposition 10-4.2(a) of [Gleason] p. 135. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵) · (𝐴↑𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxpadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		logcl 26458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	adddird 11128	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴)) = ((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴))))
6	5	fveq2d 6820	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))) = (exp‘((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴)))))
7	1, 4	mulcld 11123	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
8	2, 4	mulcld 11123	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9		efadd 15988	. . . 4 ⊢ (((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴)))) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 · (log‘𝐴)) + (𝐶 · (log‘𝐴)))) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
11	6, 10	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
12		simp1l 1198	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		simp1r 1199	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
14		addcl 11079	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
15	14	3adant1 1130	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
16		cxpef 26555	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 + 𝐶)) = (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 + 𝐶)) = (exp‘((𝐵 + 𝐶) · (log‘𝐴))))
18		cxpef 26555	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
19	12, 13, 1, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
20		cxpef 26555	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
21	12, 13, 2, 20	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
22	19, 21	oveq12d 7358	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝐵) · (𝐴↑𝑐𝐶)) = ((exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) · (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
23	11, 17, 22	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵) · (𝐴↑𝑐𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  ℂcc 10995  0cc0 10997   + caddc 11000   · cmul 11002  expce 15955  logclog 26444  ↑_𝑐ccxp 26445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-inf2 9525  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075  ax-addf 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8616  df-map 8746  df-pm 8747  df-ixp 8816  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-fi 9289  df-sup 9320  df-inf 9321  df-oi 9390  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-xmul 13004  df-ioo 13240  df-ioc 13241  df-ico 13242  df-icc 13243  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-fl 13684  df-mod 13762  df-seq 13897  df-exp 13957  df-fac 14169  df-bc 14198  df-hash 14226  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15365  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15581  df-ef 15961  df-sin 15963  df-cos 15964  df-pi 15966  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-hom 17172  df-cco 17173  df-rest 17313  df-topn 17314  df-0g 17332  df-gsum 17333  df-topgen 17334  df-pt 17335  df-prds 17338  df-xrs 17393  df-qtop 17398  df-imas 17399  df-xps 17401  df-mre 17475  df-mrc 17476  df-acs 17478  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-submnd 18645  df-mulg 18934  df-cntz 19183  df-cmn 19648  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-met 21239  df-bl 21240  df-mopn 21241  df-fbas 21242  df-fg 21243  df-cnfld 21246  df-top 22763  df-topon 22780  df-topsp 22802  df-bases 22815  df-cld 22888  df-ntr 22889  df-cls 22890  df-nei 22967  df-lp 23005  df-perf 23006  df-cn 23096  df-cnp 23097  df-haus 23184  df-tx 23431  df-hmeo 23624  df-fil 23715  df-fm 23807  df-flim 23808  df-flf 23809  df-xms 24189  df-ms 24190  df-tms 24191  df-cncf 24752  df-limc 25748  df-dv 25749  df-log 26446  df-cxp 26447

This theorem is referenced by:  cxpp1  26570  cxpneg  26571  cxpsub  26572  cxpmul2  26579  cxpsqrt  26593  cxpaddd  26607  bposlem6  27181  logdivsqrle  34631