Theorem ecxp 26694

Description: Write the exponential function as an exponent to the power e. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ecxp	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (e↑𝑐𝐴) = (exp‘𝐴))

Proof of Theorem ecxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ere 16083	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ
2	1	recni 11266	. . 3 ⊢ e ∈ ℂ
3		ene0 16203	. . 3 ⊢ e ≠ 0
4		cxpef 26686	. . 3 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (e↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘e))))
5	2, 3, 4	mp3an12 1448	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (e↑𝑐𝐴) = (exp‘(𝐴 · (log‘e))))
6		loge 26607	. . . . 5 ⊢ (log‘e) = 1
7	6	oveq2i 7424	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (log‘e)) = (𝐴 · 1)
8		mulrid 11250	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
9	7, 8	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (log‘e)) = 𝐴)
10	9	fveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 · (log‘e))) = (exp‘𝐴))
11	5, 10	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (e↑𝑐𝐴) = (exp‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151  expce 16055  eceu 16056  logclog 26575  ↑_𝑐ccxp 26576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-inf2 9674  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12516  df-z 12602  df-dec 12721  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13373  df-ioc 13374  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13673  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14013  df-exp 14073  df-fac 14283  df-bc 14312  df-hash 14340  df-shft 15064  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098  df-sqrt 15232  df-abs 15233  df-limsup 15465  df-clim 15482  df-rlim 15483  df-sum 15683  df-ef 16061  df-e 16062  df-sin 16063  df-cos 16064  df-pi 16066  df-struct 17141  df-sets 17158  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-ress 17235  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-rest 17429  df-topn 17430  df-0g 17448  df-gsum 17449  df-topgen 17450  df-pt 17451  df-prds 17454  df-xrs 17509  df-qtop 17514  df-imas 17515  df-xps 17517  df-mre 17591  df-mrc 17592  df-acs 17594  df-mgm 18625  df-sgrp 18704  df-mnd 18720  df-submnd 18766  df-mulg 19055  df-cntz 19304  df-cmn 19773  df-psmet 21328  df-xmet 21329  df-met 21330  df-bl 21331  df-mopn 21332  df-fbas 21333  df-fg 21334  df-cnfld 21337  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22934  df-cld 23008  df-ntr 23009  df-cls 23010  df-nei 23087  df-lp 23125  df-perf 23126  df-cn 23216  df-cnp 23217  df-haus 23304  df-tx 23551  df-hmeo 23744  df-fil 23835  df-fm 23927  df-flim 23928  df-flf 23929  df-xms 24311  df-ms 24312  df-tms 24313  df-cncf 24883  df-limc 25880  df-dv 25881  df-log 26577  df-cxp 26578

This theorem is referenced by: (None)