Theorem cxplt 26436

Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxplt	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxplt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		rplogcl 26346	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
3	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
4	3	rpred 13022	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
5	1, 4	remulcld 11250	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
6		simprr 769	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6, 4	remulcld 11250	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8		eflt 16066	. . 3 ⊢ (((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ) → ((𝐵 · (log‘𝐴)) < (𝐶 · (log‘𝐴)) ↔ (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) < (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
9	5, 7, 8	syl2anc 582	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐵 · (log‘𝐴)) < (𝐶 · (log‘𝐴)) ↔ (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) < (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
10	1, 6, 3	ltmul1d 13063	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐵 · (log‘𝐴)) < (𝐶 · (log‘𝐴))))
11		simpll 763	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11248	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		0red 11223	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 ∈ ℝ)
14		1red 11221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 1 ∈ ℝ)
15		0lt1 11742	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < 1)
17		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 1 < 𝐴)
18	13, 14, 11, 16, 17	lttrd 11381	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 0 < 𝐴)
19	18	gt0ne0d 11784	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐴 ≠ 0)
20	1	recnd 11248	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		cxpef 26407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
22	12, 19, 20, 21	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
23	6	recnd 11248	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
24		cxpef 26407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
25	12, 19, 23, 24	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐴↑𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
26	22, 25	breq12d 5162	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))) < (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴)))))
27	9, 10, 26	3bitr4d 310	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐴↑𝑐𝐵) < (𝐴↑𝑐𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  ℂcc 11112  ℝcr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   · cmul 11119   < clt 11254  ℝ⁺crp 12980  expce 16011  logclog 26297  ↑_𝑐ccxp 26298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-lp 22862  df-perf 22863  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-haus 23041  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-cncf 24620  df-limc 25617  df-dv 25618  df-log 26299  df-cxp 26300

This theorem is referenced by:  cxple  26437  cxplt3  26442  cxpltd  26461  zetacvg  26753  dignn0ldlem  47377