Theorem cxpefd 26673

Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cxpefd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cxpefd	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Proof of Theorem cxpefd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxpefd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		cxpefd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		cxpef 26626	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   · cmul 11134  expce 16077  logclog 26515  ↑_𝑐ccxp 26516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-mulcl 11191  ax-i2m1 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-cxp 26518

This theorem is referenced by:  dvcxp1  26701  dvcxp2  26702  dvcncxp1  26704  cxpcn  26706  cxpcnOLD  26707  abscxpbnd  26715  root1eq1  26717  cxpeq  26719  cxplogb  26748  efiatan  26874  efiatan2  26879  efrlim  26931  efrlimOLD  26932  cxp2limlem  26938  cxploglim  26940  amgmlem  26952  zetacvg  26977  gamcvg2lem  27021  bposlem9  27255  chtppilimlem1  27436  ostth2lem4  27599  ostth2  27600  ostth3  27601  iprodgam  35759  aks4d1p1p1  42076  cxp112d  42390  cxp111d  42391  proot1ex  43220  logcxp0  48515