MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpefd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpefd 26220
Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxp0d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
cxpefd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
cxpefd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
cxpefd (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))))

Proof of Theorem cxpefd
StepHypRef Expression
1 cxp0d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 cxpefd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
3 cxpefd.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 cxpef 26173 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))))
51, 2, 3, 4syl3anc 1372 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110   ยท cmul 11115  expce 16005  logclog 26063  โ†‘๐‘ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-mulcl 11172  ax-i2m1 11178
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  dvcxp1  26248  dvcxp2  26249  dvcncxp1  26251  cxpcn  26253  abscxpbnd  26261  root1eq1  26263  cxpeq  26265  cxplogb  26291  efiatan  26417  efiatan2  26422  efrlim  26474  cxp2limlem  26480  cxploglim  26482  amgmlem  26494  zetacvg  26519  gamcvg2lem  26563  bposlem9  26795  chtppilimlem1  26976  ostth2lem4  27139  ostth2  27140  ostth3  27141  iprodgam  34712  gg-cxpcn  35184  aks4d1p1p1  40928  proot1ex  41943  logcxp0  47221
  Copyright terms: Public domain W3C validator