Theorem cxpefd 25772

Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cxpefd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cxpefd	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Proof of Theorem cxpefd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxpefd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		cxpefd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		cxpef 25725	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   · cmul 10807  expce 15699  logclog 25615  ↑_𝑐ccxp 25616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-mulcl 10864  ax-i2m1 10870

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-cxp 25618

This theorem is referenced by:  dvcxp1  25798  dvcxp2  25799  dvcncxp1  25801  cxpcn  25803  abscxpbnd  25811  root1eq1  25813  cxpeq  25815  cxplogb  25841  efiatan  25967  efiatan2  25972  efrlim  26024  cxp2limlem  26030  cxploglim  26032  amgmlem  26044  zetacvg  26069  gamcvg2lem  26113  bposlem9  26345  chtppilimlem1  26526  ostth2lem4  26689  ostth2  26690  ostth3  26691  iprodgam  33614  aks4d1p1p1  39999  proot1ex  40942  logcxp0  45769