MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpefd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpefd 26560
Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxp0d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
cxpefd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
cxpefd.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
cxpefd (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))))

Proof of Theorem cxpefd
StepHypRef Expression
1 cxp0d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 cxpefd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
3 cxpefd.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 cxpef 26513 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))))
51, 2, 3, 4syl3anc 1370 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11114  0cc0 11116   ยท cmul 11121  expce 16012  logclog 26403  โ†‘๐‘ccxp 26404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-mulcl 11178  ax-i2m1 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-cxp 26406
This theorem is referenced by:  dvcxp1  26588  dvcxp2  26589  dvcncxp1  26591  cxpcn  26593  cxpcnOLD  26594  abscxpbnd  26602  root1eq1  26604  cxpeq  26606  cxplogb  26632  efiatan  26758  efiatan2  26763  efrlim  26815  cxp2limlem  26821  cxploglim  26823  amgmlem  26835  zetacvg  26860  gamcvg2lem  26904  bposlem9  27138  chtppilimlem1  27319  ostth2lem4  27482  ostth2  27483  ostth3  27484  iprodgam  35182  aks4d1p1p1  41395  proot1ex  42406  logcxp0  47383
  Copyright terms: Public domain W3C validator