Theorem cxpefd 26772

Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cxpefd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cxpefd	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Proof of Theorem cxpefd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxpefd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		cxpefd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		cxpef 26725	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   · cmul 11189  expce 16109  logclog 26614  ↑_𝑐ccxp 26615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-mulcl 11246  ax-i2m1 11252

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-cxp 26617

This theorem is referenced by:  dvcxp1  26800  dvcxp2  26801  dvcncxp1  26803  cxpcn  26805  cxpcnOLD  26806  abscxpbnd  26814  root1eq1  26816  cxpeq  26818  cxplogb  26847  efiatan  26973  efiatan2  26978  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  cxp2limlem  27037  cxploglim  27039  amgmlem  27051  zetacvg  27076  gamcvg2lem  27120  bposlem9  27354  chtppilimlem1  27535  ostth2lem4  27698  ostth2  27699  ostth3  27700  iprodgam  35704  aks4d1p1p1  42020  cxp112d  42329  cxp111d  42330  proot1ex  43157  logcxp0  48269