Theorem cxpefd 26189

Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cxpefd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cxpefd	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Proof of Theorem cxpefd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxpefd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		cxpefd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		cxpef 26142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  ℂcc 11095  0cc0 11097   · cmul 11102  expce 15992  logclog 26032  ↑_𝑐ccxp 26033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-mulcl 11159  ax-i2m1 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-cxp 26035

This theorem is referenced by:  dvcxp1  26215  dvcxp2  26216  dvcncxp1  26218  cxpcn  26220  abscxpbnd  26228  root1eq1  26230  cxpeq  26232  cxplogb  26258  efiatan  26384  efiatan2  26389  efrlim  26441  cxp2limlem  26447  cxploglim  26449  amgmlem  26461  zetacvg  26486  gamcvg2lem  26530  bposlem9  26762  chtppilimlem1  26943  ostth2lem4  27106  ostth2  27107  ostth3  27108  iprodgam  34643  aks4d1p1p1  40834  proot1ex  41814  logcxp0  47061