Theorem cxpefd 26886

Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxp0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cxpefd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
cxpefd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
cxpefd	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Proof of Theorem cxpefd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxp0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cxpefd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		cxpefd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		cxpef 26839	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11102  0cc0 11104   · cmul 11109  expce 16119  logclog 26728  ↑_𝑐ccxp 26729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-mulcl 11166  ax-i2m1 11172

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-cxp 26731

This theorem is used by:  dvcxp1  26914  dvcxp2  26915  dvcncxp1  26917  cxpcn  26919  abscxpbnd  26927  root1eq1  26929  cxpeq  26931  cxplogb  26960  efiatan  27086  efiatan2  27091  efrlim  27143  cxp2limlem  27149  cxploglim  27151  amgmlem  27163  zetacvg  27188  gamcvg2lem  27232  bposlem9  27465  chtppilimlem1  27646  ostth2lem4  27809  ostth2  27810  ostth3  27811  iprodgam  36242  aks4d1p1p1  42858  cxp112d  43130  cxp111d  43131  proot1ex  43951  logcxp0  49343