Theorem rpcxpcl 25903

Description: Positive real closure of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpcxpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpcxpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprege0 12818	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
2		recxpcl 25902	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3expa 1117	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 3	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		relogcl 25803	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
7		remulcl 11029	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
9		efgt0 15884	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
11		rpcnne0 12821	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
12		recn 11034	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
13		cxpef 25892	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
14	13	3expa 1117	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
15	11, 12, 14	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
16	10, 15	breqtrrd 5115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < (𝐴↑𝑐𝐵))
17	4, 16	elrpd 12842	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941   class class class wbr 5087  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  ℂcc 10942  ℝcr 10943  0cc0 10944   · cmul 10949   < clt 11082   ≤ cle 11083  ℝ⁺crp 12803  expce 15843  logclog 25782  ↑_𝑐ccxp 25783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-inf2 9470  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022  ax-addf 11023  ax-mulf 11024

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-2o 8345  df-er 8546  df-map 8665  df-pm 8666  df-ixp 8734  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-fi 9240  df-sup 9271  df-inf 9272  df-oi 9339  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-z 12393  df-dec 12511  df-uz 12656  df-q 12762  df-rp 12804  df-xneg 12921  df-xadd 12922  df-xmul 12923  df-ioo 13156  df-ioc 13157  df-ico 13158  df-icc 13159  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-fl 13585  df-mod 13663  df-seq 13795  df-exp 13856  df-fac 14061  df-bc 14090  df-hash 14118  df-shft 14850  df-cj 14882  df-re 14883  df-im 14884  df-sqrt 15018  df-abs 15019  df-limsup 15252  df-clim 15269  df-rlim 15270  df-sum 15470  df-ef 15849  df-sin 15851  df-cos 15852  df-pi 15854  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-starv 17047  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-ip 17050  df-tset 17051  df-ple 17052  df-ds 17054  df-unif 17055  df-hom 17056  df-cco 17057  df-rest 17203  df-topn 17204  df-0g 17222  df-gsum 17223  df-topgen 17224  df-pt 17225  df-prds 17228  df-xrs 17283  df-qtop 17288  df-imas 17289  df-xps 17291  df-mre 17365  df-mrc 17366  df-acs 17368  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-submnd 18501  df-mulg 18770  df-cntz 18992  df-cmn 19456  df-psmet 20661  df-xmet 20662  df-met 20663  df-bl 20664  df-mopn 20665  df-fbas 20666  df-fg 20667  df-cnfld 20670  df-top 22115  df-topon 22132  df-topsp 22154  df-bases 22168  df-cld 22242  df-ntr 22243  df-cls 22244  df-nei 22321  df-lp 22359  df-perf 22360  df-cn 22450  df-cnp 22451  df-haus 22538  df-tx 22785  df-hmeo 22978  df-fil 23069  df-fm 23161  df-flim 23162  df-flf 23163  df-xms 23545  df-ms 23546  df-tms 23547  df-cncf 24113  df-limc 25102  df-dv 25103  df-log 25784  df-cxp 25785

This theorem is referenced by:  cxpge0  25910  cxple2  25924  cxplt3  25927  cxple3  25928  cxpsqrt  25930  rpcxpcld  25959  relogbmulexp  26000  cxplim  26193  cxp2limlem  26197  zetacvg  26236  bposlem6  26509  logdivsqrle  32736  amgmwlem  46758