Theorem aks4d1p1p1 43304

Description: Exponential law for finite products, special case. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
aks4d1p1p1.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p1	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem aks4d1p1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p1p1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1	rpne0d 13193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ≠ 0)
6		elfzelz 13680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12828	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
8	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	3, 5, 8	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ))
10		cxpef 27020	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
12	11	prodeq2dv 16116	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
14		aks4d1p1p1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nnuz 13028	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleqtrdi 2874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
17		eluzelcn 13001	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℂ)
18	17	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ≠ 0)
21	19, 20	logcld 26925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
22	18, 21	mulcld 11353	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝑘 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	13, 16, 22	fprodefsum 16287	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))))
24		fzfid 14140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
25	2, 4	logcld 26925	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
26	24, 25, 8	fsummulc1 15977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)))
27	26	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)))
28	27	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
29	24, 8	fsumcl 15925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∈ ℂ)
30	2, 4, 29	cxpefd 27067	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
31	30	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
32	28, 31	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
33	23, 32	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
34	12, 33	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  0cc0 11224  1c1 11225   · cmul 11229  ℕcn 12359  ℤ_≥cuz 12989  ℝ⁺crp 13144  ...cfz 13663  Σcsu 15879  ∏cprod 16098  expce 16253  logclog 26909  ↑_𝑐ccxp 26910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-prod 16099  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214  df-log 26911  df-cxp 26912

This theorem is used by:  aks4d1p1p2  43311