Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p1 39412
 Description: Exponential law for finite products, special case. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
aks4d1p1p1.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑐𝑘) = (𝐴𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem aks4d1p1p1
StepHypRef Expression
1 aks4d1p1p1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 12438 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
41rpne0d 12441 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
54adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ≠ 0)
6 elfzelz 12919 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
76zcnd 12093 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
87adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
93, 5, 83jca 1125 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ))
10 cxpef 25297 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
1211prodeq2dv 15286 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑐𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
13 eqid 2798 . . . 4 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
14 aks4d1p1p1.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
15 nnuz 12286 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15eleqtrdi 2900 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
17 eluzelcn 12260 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → 𝑘 ∈ ℂ)
1817adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
192adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
204adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐴 ≠ 0)
2119, 20logcld 25203 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2218, 21mulcld 10665 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (𝑘 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
2313, 16, 22fprodefsum 15457 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))))
24 fzfid 13353 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
252, 4logcld 25203 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2624, 25, 8fsummulc1 15149 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)))
2726eqcomd 2804 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)))
2827fveq2d 6656 . . . 4 (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
2924, 8fsumcl 15099 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∈ ℂ)
302, 4, 29cxpefd 25344 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
3130eqcomd 2804 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
3228, 31eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
3323, 32eqtrd 2833 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
3412, 33eqtrd 2833 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑐𝑘) = (𝐴𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ‘cfv 6329  (class class class)co 7142  ℂcc 10539  0cc0 10541  1c1 10542   · cmul 10546  ℕcn 11640  ℤ≥cuz 12248  ℝ+crp 12394  ...cfz 12902  Σcsu 15051  ∏cprod 15268  expce 15424  logclog 25187  ↑𝑐ccxp 25188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7451  ax-inf2 9103  ax-cnex 10597  ax-resscn 10598  ax-1cn 10599  ax-icn 10600  ax-addcl 10601  ax-addrcl 10602  ax-mulcl 10603  ax-mulrcl 10604  ax-mulcom 10605  ax-addass 10606  ax-mulass 10607  ax-distr 10608  ax-i2m1 10609  ax-1ne0 10610  ax-1rid 10611  ax-rnegex 10612  ax-rrecex 10613  ax-cnre 10614  ax-pre-lttri 10615  ax-pre-lttrn 10616  ax-pre-ltadd 10617  ax-pre-mulgt0 10618  ax-pre-sup 10619  ax-addf 10620  ax-mulf 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3722  df-csb 3830  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4246  df-if 4428  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-se 5482  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7397  df-om 7571  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7824  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10681  df-mnf 10682  df-xr 10683  df-ltxr 10684  df-le 10685  df-sub 10876  df-neg 10877  df-div 11302  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11987  df-dec 12104  df-uz 12249  df-q 12354  df-rp 12395  df-xneg 12512  df-xadd 12513  df-xmul 12514  df-ioo 12747  df-ioc 12748  df-ico 12749  df-icc 12750  df-fz 12903  df-fzo 13046  df-fl 13174  df-mod 13250  df-seq 13382  df-exp 13443  df-fac 13647  df-bc 13676  df-hash 13704  df-shft 14435  df-cj 14467  df-re 14468  df-im 14469  df-sqrt 14603  df-abs 14604  df-limsup 14837  df-clim 14854  df-rlim 14855  df-sum 15052  df-prod 15269  df-ef 15430  df-sin 15432  df-cos 15433  df-pi 15435  df-struct 16494  df-ndx 16495  df-slot 16496  df-base 16498  df-sets 16499  df-ress 16500  df-plusg 16587  df-mulr 16588  df-starv 16589  df-sca 16590  df-vsca 16591  df-ip 16592  df-tset 16593  df-ple 16594  df-ds 16596  df-unif 16597  df-hom 16598  df-cco 16599  df-rest 16705  df-topn 16706  df-0g 16724  df-gsum 16725  df-topgen 16726  df-pt 16727  df-prds 16730  df-xrs 16784  df-qtop 16789  df-imas 16790  df-xps 16792  df-mre 16866  df-mrc 16867  df-acs 16869  df-mgm 17861  df-sgrp 17910  df-mnd 17921  df-submnd 17966  df-mulg 18235  df-cntz 18457  df-cmn 18918  df-psmet 20101  df-xmet 20102  df-met 20103  df-bl 20104  df-mopn 20105  df-fbas 20106  df-fg 20107  df-cnfld 20110  df-top 21537  df-topon 21554  df-topsp 21576  df-bases 21589  df-cld 21662  df-ntr 21663  df-cls 21664  df-nei 21741  df-lp 21779  df-perf 21780  df-cn 21870  df-cnp 21871  df-haus 21958  df-tx 22205  df-hmeo 22398  df-fil 22489  df-fm 22581  df-flim 22582  df-flf 22583  df-xms 22965  df-ms 22966  df-tms 22967  df-cncf 23521  df-limc 24507  df-dv 24508  df-log 25189  df-cxp 25190 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator