![]() |
Mathbox for metakunt |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > aks4d1p1p1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Exponential law for finite products, special case. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
aks4d1p1p1.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ+) |
aks4d1p1p1.2 | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
Ref | Expression |
---|---|
aks4d1p1p1 | โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐)(๐ดโ๐๐) = (๐ดโ๐ฮฃ๐ โ (1...๐)๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | aks4d1p1p1.1 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ+) | |
2 | 1 | rpcnd 13024 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
3 | 2 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ด โ โ) |
4 | 1 | rpne0d 13027 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ 0) |
5 | 4 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ด โ 0) |
6 | elfzelz 13507 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (1...๐) โ ๐ โ โค) | |
7 | 6 | zcnd 12671 | . . . . . 6 โข (๐ โ (1...๐) โ ๐ โ โ) |
8 | 7 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐)) โ ๐ โ โ) |
9 | 3, 5, 8 | 3jca 1125 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐ด โ โ โง ๐ด โ 0 โง ๐ โ โ)) |
10 | cxpef 26554 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด โ 0 โง ๐ โ โ) โ (๐ดโ๐๐) = (expโ(๐ ยท (logโ๐ด)))) | |
11 | 9, 10 | syl 17 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐)) โ (๐ดโ๐๐) = (expโ(๐ ยท (logโ๐ด)))) |
12 | 11 | prodeq2dv 15873 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐)(๐ดโ๐๐) = โ๐ โ (1...๐)(expโ(๐ ยท (logโ๐ด)))) |
13 | eqid 2726 | . . . 4 โข (โคโฅโ1) = (โคโฅโ1) | |
14 | aks4d1p1p1.2 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
15 | nnuz 12869 | . . . . 5 โข โ = (โคโฅโ1) | |
16 | 14, 15 | eleqtrdi 2837 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ1)) |
17 | eluzelcn 12838 | . . . . . 6 โข (๐ โ (โคโฅโ1) โ ๐ โ โ) | |
18 | 17 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1)) โ ๐ โ โ) |
19 | 2 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1)) โ ๐ด โ โ) |
20 | 4 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1)) โ ๐ด โ 0) |
21 | 19, 20 | logcld 26459 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1)) โ (logโ๐ด) โ โ) |
22 | 18, 21 | mulcld 11238 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ1)) โ (๐ ยท (logโ๐ด)) โ โ) |
23 | 13, 16, 22 | fprodefsum 16045 | . . 3 โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐)(expโ(๐ ยท (logโ๐ด))) = (expโฮฃ๐ โ (1...๐)(๐ ยท (logโ๐ด)))) |
24 | fzfid 13944 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (1...๐) โ Fin) | |
25 | 2, 4 | logcld 26459 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (logโ๐ด) โ โ) |
26 | 24, 25, 8 | fsummulc1 15737 | . . . . . 6 โข (๐ โ (ฮฃ๐ โ (1...๐)๐ ยท (logโ๐ด)) = ฮฃ๐ โ (1...๐)(๐ ยท (logโ๐ด))) |
27 | 26 | eqcomd 2732 | . . . . 5 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (1...๐)(๐ ยท (logโ๐ด)) = (ฮฃ๐ โ (1...๐)๐ ยท (logโ๐ด))) |
28 | 27 | fveq2d 6889 | . . . 4 โข (๐ โ (expโฮฃ๐ โ (1...๐)(๐ ยท (logโ๐ด))) = (expโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)๐ ยท (logโ๐ด)))) |
29 | 24, 8 | fsumcl 15685 | . . . . . 6 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (1...๐)๐ โ โ) |
30 | 2, 4, 29 | cxpefd 26601 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ดโ๐ฮฃ๐ โ (1...๐)๐) = (expโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)๐ ยท (logโ๐ด)))) |
31 | 30 | eqcomd 2732 | . . . 4 โข (๐ โ (expโ(ฮฃ๐ โ (1...๐)๐ ยท (logโ๐ด))) = (๐ดโ๐ฮฃ๐ โ (1...๐)๐)) |
32 | 28, 31 | eqtrd 2766 | . . 3 โข (๐ โ (expโฮฃ๐ โ (1...๐)(๐ ยท (logโ๐ด))) = (๐ดโ๐ฮฃ๐ โ (1...๐)๐)) |
33 | 23, 32 | eqtrd 2766 | . 2 โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐)(expโ(๐ ยท (logโ๐ด))) = (๐ดโ๐ฮฃ๐ โ (1...๐)๐)) |
34 | 12, 33 | eqtrd 2766 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐)(๐ดโ๐๐) = (๐ดโ๐ฮฃ๐ โ (1...๐)๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โcc 11110 0cc0 11112 1c1 11113 ยท cmul 11117 โcn 12216 โคโฅcuz 12826 โ+crp 12980 ...cfz 13490 ฮฃcsu 15638 โcprod 15855 expce 16011 logclog 26443 โ๐ccxp 26444 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 ax-addf 11191 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-2o 8468 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-ixp 8894 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-q 12937 df-rp 12981 df-xneg 13098 df-xadd 13099 df-xmul 13100 df-ioo 13334 df-ioc 13335 df-ico 13336 df-icc 13337 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-fl 13763 df-mod 13841 df-seq 13973 df-exp 14033 df-fac 14239 df-bc 14268 df-hash 14296 df-shft 15020 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-limsup 15421 df-clim 15438 df-rlim 15439 df-sum 15639 df-prod 15856 df-ef 16017 df-sin 16019 df-cos 16020 df-pi 16022 df-struct 17089 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-starv 17221 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-ip 17224 df-tset 17225 df-ple 17226 df-ds 17228 df-unif 17229 df-hom 17230 df-cco 17231 df-rest 17377 df-topn 17378 df-0g 17396 df-gsum 17397 df-topgen 17398 df-pt 17399 df-prds 17402 df-xrs 17457 df-qtop 17462 df-imas 17463 df-xps 17465 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-submnd 18714 df-mulg 18996 df-cntz 19233 df-cmn 19702 df-psmet 21232 df-xmet 21233 df-met 21234 df-bl 21235 df-mopn 21236 df-fbas 21237 df-fg 21238 df-cnfld 21241 df-top 22751 df-topon 22768 df-topsp 22790 df-bases 22804 df-cld 22878 df-ntr 22879 df-cls 22880 df-nei 22957 df-lp 22995 df-perf 22996 df-cn 23086 df-cnp 23087 df-haus 23174 df-tx 23421 df-hmeo 23614 df-fil 23705 df-fm 23797 df-flim 23798 df-flf 23799 df-xms 24181 df-ms 24182 df-tms 24183 df-cncf 24753 df-limc 25750 df-dv 25751 df-log 26445 df-cxp 26446 |
This theorem is referenced by: aks4d1p1p2 41452 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |