Theorem aks4d1p1p1 39804

Description: Exponential law for finite products, special case. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
aks4d1p1p1.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p1	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem aks4d1p1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p1p1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12630	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1	rpne0d 12633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ≠ 0)
6		elfzelz 13112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12283	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
8	7	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	3, 5, 8	3jca 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ))
10		cxpef 25553	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
12	11	prodeq2dv 15485	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
14		aks4d1p1p1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nnuz 12477	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleqtrdi 2848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
17		eluzelcn 12450	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℂ)
18	17	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ≠ 0)
21	19, 20	logcld 25459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
22	18, 21	mulcld 10853	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝑘 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	13, 16, 22	fprodefsum 15656	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))))
24		fzfid 13546	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
25	2, 4	logcld 25459	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
26	24, 25, 8	fsummulc1 15349	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)))
27	26	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)))
28	27	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
29	24, 8	fsumcl 15297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∈ ℂ)
30	2, 4, 29	cxpefd 25600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
31	30	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
32	28, 31	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
33	23, 32	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
34	12, 33	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734  ℕcn 11830  ℤ_≥cuz 12438  ℝ⁺crp 12586  ...cfz 13095  Σcsu 15249  ∏cprod 15467  expce 15623  logclog 25443  ↑_𝑐ccxp 25444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-prod 15468  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-cxp 25446

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p2  39811