Theorem aks4d1p1p1 41589

Description: Exponential law for finite products, special case. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
aks4d1p1p1.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p1	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem aks4d1p1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p1p1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 13048	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1	rpne0d 13051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ≠ 0)
6		elfzelz 13531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12695	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
8	7	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	3, 5, 8	3jca 1125	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ))
10		cxpef 26615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
12	11	prodeq2dv 15897	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
13		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
14		aks4d1p1p1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nnuz 12893	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleqtrdi 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
17		eluzelcn 12862	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℂ)
18	17	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	2	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	4	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ≠ 0)
21	19, 20	logcld 26520	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
22	18, 21	mulcld 11262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝑘 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	13, 16, 22	fprodefsum 16069	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))))
24		fzfid 13968	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
25	2, 4	logcld 26520	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
26	24, 25, 8	fsummulc1 15761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)))
27	26	eqcomd 2731	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)))
28	27	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
29	24, 8	fsumcl 15709	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∈ ℂ)
30	2, 4, 29	cxpefd 26662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
31	30	eqcomd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
32	28, 31	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
33	23, 32	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
34	12, 33	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  ℂcc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   · cmul 11141  ℕcn 12240  ℤ_≥cuz 12850  ℝ⁺crp 13004  ...cfz 13514  Σcsu 15662  ∏cprod 15879  expce 16035  logclog 26504  ↑_𝑐ccxp 26505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-prod 15880  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506  df-cxp 26507

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p2  41596