Theorem aks4d1p1p1 42490

Description: Exponential law for finite products, special case. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
aks4d1p1p1.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p1	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem aks4d1p1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p1p1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1	rpne0d 12980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ≠ 0)
6		elfzelz 13467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12623	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	3, 5, 8	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ))
10		cxpef 26617	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
12	11	prodeq2dv 15876	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
14		aks4d1p1p1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nnuz 12816	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleqtrdi 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
17		eluzelcn 12789	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℂ)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ≠ 0)
21	19, 20	logcld 26522	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
22	18, 21	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝑘 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	13, 16, 22	fprodefsum 16049	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))))
24		fzfid 13924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
25	2, 4	logcld 26522	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
26	24, 25, 8	fsummulc1 15736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)))
27	26	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)))
28	27	fveq2d 6833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
29	24, 8	fsumcl 15684	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∈ ℂ)
30	2, 4, 29	cxpefd 26664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
31	30	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
32	28, 31	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
33	23, 32	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
34	12, 33	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032  ℕcn 12163  ℤ_≥cuz 12777  ℝ⁺crp 12931  ...cfz 13450  Σcsu 15637  ∏cprod 15857  expce 16015  logclog 26506  ↑_𝑐ccxp 26507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-fi 9313  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-prod 15858  df-ef 16021  df-sin 16023  df-cos 16024  df-pi 16026  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-fbas 21338  df-fg 21339  df-cnfld 21342  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-lp 23089  df-perf 23090  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24273  df-ms 24274  df-tms 24275  df-cncf 24833  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26508  df-cxp 26509

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p2  42497