Theorem aks4d1p1p1 42046

Description: Exponential law for finite products, special case. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1p1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
aks4d1p1p1.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1p1	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem aks4d1p1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p1p1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpcnd 12976	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4	1	rpne0d 12979	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ≠ 0)
6		elfzelz 13464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12618	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9	3, 5, 8	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ))
10		cxpef 26609	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴↑𝑐𝑘) = (exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
12	11	prodeq2dv 15866	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))))
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘1)
14		aks4d1p1p1.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nnuz 12815	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
17		eluzelcn 12784	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑘 ∈ ℂ)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
19	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
20	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐴 ≠ 0)
21	19, 20	logcld 26514	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
22	18, 21	mulcld 11173	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝑘 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
23	13, 16, 22	fprodefsum 16039	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))))
24		fzfid 13917	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
25	2, 4	logcld 26514	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
26	24, 25, 8	fsummulc1 15729	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)))
27	26	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴)) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴)))
28	27	fveq2d 6845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
29	24, 8	fsumcl 15677	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 ∈ ℂ)
30	2, 4, 29	cxpefd 26656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))))
31	30	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
32	28, 31	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
33	23, 32	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(exp‘(𝑘 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))
34	12, 33	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐴↑𝑐𝑘) = (𝐴↑𝑐Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  ℂcc 11045  0cc0 11047  1c1 11048   · cmul 11052  ℕcn 12165  ℤ_≥cuz 12772  ℝ⁺crp 12930  ...cfz 13447  Σcsu 15630  ∏cprod 15847  expce 16005  logclog 26498  ↑_𝑐ccxp 26499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-supp 8118  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8649  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8849  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-fsupp 9290  df-fi 9339  df-sup 9370  df-inf 9371  df-oi 9440  df-card 9871  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11815  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-4 12230  df-5 12231  df-6 12232  df-7 12233  df-8 12234  df-9 12235  df-n0 12422  df-z 12509  df-dec 12629  df-uz 12773  df-q 12887  df-rp 12931  df-xneg 13051  df-xadd 13052  df-xmul 13053  df-ioo 13289  df-ioc 13290  df-ico 13291  df-icc 13292  df-fz 13448  df-fzo 13595  df-fl 13733  df-mod 13811  df-seq 13946  df-exp 14006  df-fac 14218  df-bc 14247  df-hash 14275  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15631  df-prod 15848  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17095  df-sets 17112  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-base 17158  df-ress 17179  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-pt 17385  df-prds 17388  df-xrs 17443  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-xps 17451  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18551  df-sgrp 18630  df-mnd 18646  df-submnd 18695  df-mulg 18984  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-psmet 21290  df-xmet 21291  df-met 21292  df-bl 21293  df-mopn 21294  df-fbas 21295  df-fg 21296  df-cnfld 21299  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22868  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24243  df-ms 24244  df-tms 24245  df-cncf 24806  df-limc 25802  df-dv 25803  df-log 26500  df-cxp 26501

This theorem is referenced by:  aks4d1p1p2  42053