MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpsqrtlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpsqrtlem 26210
Description: Lemma for cxpsqrt 26211. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrtlem (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (i Β· (βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem cxpsqrtlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11169 . . 3 i ∈ β„‚
2 sqrtcl 15308 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„‚)
32ad2antrr 725 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„‚)
4 mulcl 11194 . . 3 ((i ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
51, 3, 4sylancr 588 . 2 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (i Β· (βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
6 imval 15054 . . . 4 ((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜(i Β· (βˆšβ€˜π΄))) = (β„œβ€˜((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i)))
75, 6syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(i Β· (βˆšβ€˜π΄))) = (β„œβ€˜((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i)))
8 ine0 11649 . . . . . 6 i β‰  0
9 divcan3 11898 . . . . . 6 (((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ i β‰  0) β†’ ((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i) = (βˆšβ€˜π΄))
101, 8, 9mp3an23 1454 . . . . 5 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ ((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i) = (βˆšβ€˜π΄))
113, 10syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ ((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i) = (βˆšβ€˜π΄))
1211fveq2d 6896 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i)) = (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
13 halfre 12426 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
1413recni 11228 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ β„‚
15 logcl 26077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
16 mulcl 11194 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
1714, 15, 16sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
1817recld 15141 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
1918reefcld 16031 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ ℝ)
2017imcld 15142 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
2120recoscld 16087 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ ℝ)
2218rpefcld 16048 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ ℝ+)
2322rpge0d 13020 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 0 ≀ (expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))
24 immul2 15084 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) = ((1 / 2) Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
2513, 15, 24sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) = ((1 / 2) Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
2615imcld 15142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
2726recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
28 mulcom 11196 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ ((1 / 2) Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) Β· (1 / 2)))
2914, 27, 28sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 2) Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) Β· (1 / 2)))
3025, 29eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) = ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) Β· (1 / 2)))
31 logimcl 26078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€))
3231simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ -Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
33 pire 25968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο€ ∈ ℝ
3433renegcli 11521 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ ℝ
35 ltle 11302 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
3634, 26, 35sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
3732, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
3831simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€)
3934, 33elicc2i 13390 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€))
4026, 37, 38, 39syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
41 halfgt0 12428 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (1 / 2)
4213, 41elrpii 12977 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ+
4333recni 11228 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ β„‚
44 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„‚
45 2ne0 12316 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 β‰  0
46 divneg 11906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ -(Ο€ / 2) = (-Ο€ / 2))
4743, 44, 45, 46mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . 14 -(Ο€ / 2) = (-Ο€ / 2)
4834recni 11228 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ β„‚
4948, 44, 45divreci 11959 . . . . . . . . . . . . . 14 (-Ο€ / 2) = (-Ο€ Β· (1 / 2))
5047, 49eqtr2i 2762 . . . . . . . . . . . . 13 (-Ο€ Β· (1 / 2)) = -(Ο€ / 2)
5143, 44, 45divreci 11959 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ο€ / 2) = (Ο€ Β· (1 / 2))
5251eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ Β· (1 / 2)) = (Ο€ / 2)
5334, 33, 42, 50, 52iccdili 13468 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) Β· (1 / 2)) ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
5440, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) Β· (1 / 2)) ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
5530, 54eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
56 cosq14ge0 26021 . . . . . . . . . 10 ((β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)) β†’ 0 ≀ (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 0 ≀ (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))
5819, 21, 23, 57mulge0d 11791 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 0 ≀ ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))
59 cxpef 26173 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0 ∧ (1 / 2) ∈ β„‚) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))
6014, 59mp3an3 1451 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))
61 efeul 16105 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))))
6217, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))))
6360, 62eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))))
6463fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))) = (β„œβ€˜((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))))))
6521recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ β„‚)
6620resincld 16086 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ ℝ)
6766recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ β„‚)
68 mulcl 11194 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))) ∈ β„‚)
691, 67, 68sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))) ∈ β„‚)
7065, 69addcld 11233 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))) ∈ β„‚)
7119, 70remul2d 15174 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„œβ€˜((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))))))
7221, 66crred 15178 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))) = (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))
7372oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))
7464, 71, 733eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))
7558, 74breqtrrd 5177 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))))
7675adantr 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))))
77 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄))
7877fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))) = (β„œβ€˜-(βˆšβ€˜π΄)))
793renegd 15156 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜-(βˆšβ€˜π΄)) = -(β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
8078, 79eqtrd 2773 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))) = -(β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
8176, 80breqtrd 5175 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ -(β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
823recld 15141 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
8382le0neg1d 11785 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ ((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ 0 ↔ 0 ≀ -(β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
8481, 83mpbird 257 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ 0)
85 sqrtrege0 15312 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
8685ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
87 0re 11216 . . . . 5 0 ∈ ℝ
88 letri3 11299 . . . . 5 (((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 0 ↔ ((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
8982, 87, 88sylancl 587 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ ((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 0 ↔ ((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
9084, 86, 89mpbir2and 712 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 0)
917, 12, 903eqtrd 2777 . 2 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(i Β· (βˆšβ€˜π΄))) = 0)
925, 91reim0bd 15147 1 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (i Β· (βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  [,]cicc 13327  β„œcre 15044  β„‘cim 15045  βˆšcsqrt 15180  expce 16005  sincsin 16007  cosccos 16008  Ο€cpi 16010  logclog 26063  β†‘𝑐ccxp 26064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066
This theorem is referenced by:  cxpsqrt  26211
  Copyright terms: Public domain W3C validator