MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpsqrtlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpsqrtlem 26217
Description: Lemma for cxpsqrt 26218. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrtlem (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (i Β· (βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)

Proof of Theorem cxpsqrtlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 11171 . . 3 i ∈ β„‚
2 sqrtcl 15310 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„‚)
32ad2antrr 724 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„‚)
4 mulcl 11196 . . 3 ((i ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
51, 3, 4sylancr 587 . 2 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (i Β· (βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
6 imval 15056 . . . 4 ((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) ∈ β„‚ β†’ (β„‘β€˜(i Β· (βˆšβ€˜π΄))) = (β„œβ€˜((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i)))
75, 6syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(i Β· (βˆšβ€˜π΄))) = (β„œβ€˜((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i)))
8 ine0 11651 . . . . . 6 i β‰  0
9 divcan3 11900 . . . . . 6 (((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ i β‰  0) β†’ ((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i) = (βˆšβ€˜π΄))
101, 8, 9mp3an23 1453 . . . . 5 ((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ ((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i) = (βˆšβ€˜π΄))
113, 10syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ ((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i) = (βˆšβ€˜π΄))
1211fveq2d 6895 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜((i Β· (βˆšβ€˜π΄)) / i)) = (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
13 halfre 12428 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ
1413recni 11230 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ β„‚
15 logcl 26084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
16 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
1714, 15, 16sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
1817recld 15143 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
1918reefcld 16033 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ ℝ)
2017imcld 15144 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) ∈ ℝ)
2120recoscld 16089 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ ℝ)
2218rpefcld 16050 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ ℝ+)
2322rpge0d 13022 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 0 ≀ (expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))
24 immul2 15086 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) = ((1 / 2) Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
2513, 15, 24sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) = ((1 / 2) Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
2615imcld 15144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
2726recnd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
28 mulcom 11198 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ β„‚) β†’ ((1 / 2) Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) Β· (1 / 2)))
2914, 27, 28sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((1 / 2) Β· (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))) = ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) Β· (1 / 2)))
3025, 29eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) = ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) Β· (1 / 2)))
31 logimcl 26085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€))
3231simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ -Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
33 pire 25975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ο€ ∈ ℝ
3433renegcli 11523 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ ℝ
35 ltle 11304 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
3634, 26, 35sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄))))
3732, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)))
3831simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€)
3934, 33elicc2i 13392 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∧ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ≀ Ο€))
4026, 37, 38, 39syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
41 halfgt0 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (1 / 2)
4213, 41elrpii 12979 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ+
4333recni 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ β„‚
44 2cn 12289 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„‚
45 2ne0 12318 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 β‰  0
46 divneg 11908 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0) β†’ -(Ο€ / 2) = (-Ο€ / 2))
4743, 44, 45, 46mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . 14 -(Ο€ / 2) = (-Ο€ / 2)
4834recni 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ β„‚
4948, 44, 45divreci 11961 . . . . . . . . . . . . . 14 (-Ο€ / 2) = (-Ο€ Β· (1 / 2))
5047, 49eqtr2i 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (-Ο€ Β· (1 / 2)) = -(Ο€ / 2)
5143, 44, 45divreci 11961 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ο€ / 2) = (Ο€ Β· (1 / 2))
5251eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ Β· (1 / 2)) = (Ο€ / 2)
5334, 33, 42, 50, 52iccdili 13470 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) Β· (1 / 2)) ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
5440, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((β„‘β€˜(logβ€˜π΄)) Β· (1 / 2)) ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
5530, 54eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)))
56 cosq14ge0 26028 . . . . . . . . . 10 ((β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) ∈ (-(Ο€ / 2)[,](Ο€ / 2)) β†’ 0 ≀ (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 0 ≀ (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))
5819, 21, 23, 57mulge0d 11793 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 0 ≀ ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))
59 cxpef 26180 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0 ∧ (1 / 2) ∈ β„‚) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))
6014, 59mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))
61 efeul 16107 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))))
6217, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (expβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))))
6360, 62eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))))
6463fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))) = (β„œβ€˜((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))))))
6521recnd 11244 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ β„‚)
6620resincld 16088 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ ℝ)
6766recnd 11244 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ β„‚)
68 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))) ∈ β„‚)
691, 67, 68sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))) ∈ β„‚)
7065, 69addcld 11235 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))) ∈ β„‚)
7119, 70remul2d 15176 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„œβ€˜((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· ((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))))))
7221, 66crred 15180 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))) = (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))
7372oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· (β„œβ€˜((cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) + (i Β· (sinβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))))))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))
7464, 71, 733eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))) = ((expβ€˜(β„œβ€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄)))) Β· (cosβ€˜(β„‘β€˜((1 / 2) Β· (logβ€˜π΄))))))
7558, 74breqtrrd 5176 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))))
7675adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))))
77 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄))
7877fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))) = (β„œβ€˜-(βˆšβ€˜π΄)))
793renegd 15158 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜-(βˆšβ€˜π΄)) = -(β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
8078, 79eqtrd 2772 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜(𝐴↑𝑐(1 / 2))) = -(β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
8176, 80breqtrd 5174 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ -(β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
823recld 15143 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
8382le0neg1d 11787 . . . . 5 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ ((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ 0 ↔ 0 ≀ -(β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄))))
8481, 83mpbird 256 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ 0)
85 sqrtrege0 15314 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
8685ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))
87 0re 11218 . . . . 5 0 ∈ ℝ
88 letri3 11301 . . . . 5 (((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 0 ↔ ((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
8982, 87, 88sylancl 586 . . . 4 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ ((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 0 ↔ ((β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)))))
9084, 86, 89mpbir2and 711 . . 3 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„œβ€˜(βˆšβ€˜π΄)) = 0)
917, 12, 903eqtrd 2776 . 2 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (β„‘β€˜(i Β· (βˆšβ€˜π΄))) = 0)
925, 91reim0bd 15149 1 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(βˆšβ€˜π΄)) β†’ (i Β· (βˆšβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  [,]cicc 13329  β„œcre 15046  β„‘cim 15047  βˆšcsqrt 15182  expce 16007  sincsin 16009  cosccos 16010  Ο€cpi 16012  logclog 26070  β†‘𝑐ccxp 26071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073
This theorem is referenced by:  cxpsqrt  26218
  Copyright terms: Public domain W3C validator