Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibeldmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibeldmN 37171
Description: Member of domain of the partial isomorphism B. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibfn.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibfn.l = (le‘𝐾)
dibfn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibfn.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibeldmN ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))

Proof of Theorem dibeldmN
StepHypRef Expression
1 dibfn.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2797 . . . 4 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3 dibfn.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3dibdiadm 37168 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → dom 𝐼 = dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
54eleq2d 2862 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)))
6 dibfn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 dibfn.l . . 3 = (le‘𝐾)
86, 7, 1, 2diaeldm 37049 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
95, 8bitrd 271 1 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4841  dom cdm 5310  cfv 6099  Basecbs 16181  lecple 16271  LHypclh 35997  DIsoAcdia 37041  DIsoBcdib 37151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-disoa 37042  df-dib 37152
This theorem is referenced by:  dibf11N  37174  dibintclN  37180  dihmeetlem2N  37312
  Copyright terms: Public domain W3C validator