Theorem dibeldmN 37171

Description: Member of domain of the partial isomorphism B. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibfn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibfn.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibfn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibfn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dibeldmN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)))

Proof of Theorem dibeldmN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibfn.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2797	. . . 4 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3		dibfn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dibdiadm 37168	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → dom 𝐼 = dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
5	4	eleq2d 2862	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ 𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)))
6		dibfn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		dibfn.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8	6, 7, 1, 2	diaeldm 37049	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)))
9	5, 8	bitrd 271	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4841  dom cdm 5310  ‘cfv 6099  Basecbs 16181  lecple 16271  LHypclh 35997  DIsoAcdia 37041  DIsoBcdib 37151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-disoa 37042  df-dib 37152

This theorem is referenced by:  dibf11N  37174  dibintclN  37180  dihmeetlem2N  37312