Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibeldmN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dibeldmN 41160
Description: Member of domain of the partial isomorphism B. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibfn.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibfn.l = (le‘𝐾)
dibfn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibfn.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dibeldmN ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))

Proof of Theorem dibeldmN
StepHypRef Expression
1 dibfn.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2737 . . . 4 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3 dibfn.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3dibdiadm 41157 . . 3 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → dom 𝐼 = dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊))
54eleq2d 2827 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)))
6 dibfn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 dibfn.l . . 3 = (le‘𝐾)
86, 7, 1, 2diaeldm 41038 . 2 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
95, 8bitrd 279 1 ((𝐾𝑉𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom 𝐼 ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  LHypclh 39986  DIsoAcdia 41030  DIsoBcdib 41140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-disoa 41031  df-dib 41141
This theorem is referenced by:  dibf11N  41163  dibintclN  41169  dihmeetlem2N  41301
  Copyright terms: Public domain W3C validator