Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihmeetlem2N 40170
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 22-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = π‘ž)
dihmeetlem2.o 0 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem dihmeetlem2N
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
2 dihmeetlem2.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3 simp1l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simp2l 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp3l 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
61, 2, 3, 4, 5meetval 18344 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ}))
76fveq2d 6896 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})))
8 simp1 1137 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 dihmeetlem2.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
10 dihmeetlem2.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 dihmeetlem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
139, 10, 11, 12dibeldmN 40029 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
1413biimpar 479 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
15143adant3 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
169, 10, 11, 12dibeldmN 40029 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
1716biimpar 479 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
18173adant2 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
19 prssg 4823 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
204, 5, 19syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2115, 18, 20mpbi2and 711 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
22 prnzg 4783 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
234, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
241, 11, 12dibglbN 40037 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ({𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
258, 21, 23, 24syl12anc 836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
267, 25eqtrd 2773 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
273hllatd 38234 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
289, 2latmcl 18393 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2927, 4, 5, 28syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
30 simp1r 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
319, 11lhpbase 38869 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
339, 10, 2latmle1 18417 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
3427, 4, 5, 33syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
35 simp2r 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
369, 10, 27, 29, 4, 32, 34, 35lattrd 18399 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)
37 dihmeetlem2.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
389, 10, 11, 37, 12dihvalb 40108 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
398, 29, 36, 38syl12anc 836 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
40 simpl1 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41 vex 3479 . . . . . . 7 π‘₯ ∈ V
4241elpr 4652 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} ↔ (π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ = π‘Œ))
43 simpl2 1193 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š))
44 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ 𝐡))
45 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ≀ π‘Š ↔ 𝑋 ≀ π‘Š))
4644, 45anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
4746adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
4843, 47mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
49 simpl3 1194 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š))
50 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ 𝐡))
51 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ ≀ π‘Š ↔ π‘Œ ≀ π‘Š))
5250, 51anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘Œ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
5352adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
5449, 53mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
5548, 54jaodan 957 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ = π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
5642, 55sylan2b 595 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
579, 10, 11, 37, 12dihvalb 40108 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
5840, 56, 57syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
5958iineq2dv 5023 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
6026, 39, 593eqtr4d 2783 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯))
61 fveq2 6892 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘‹))
62 fveq2 6892 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘Œ))
6361, 62iinxprg 5093 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
644, 5, 63syl2anc 585 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
6560, 64eqtrd 2773 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {cpr 4631  βˆ© ciin 4999   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  occoc 17205  glbcglb 18263  joincjn 18264  meetcmee 18265  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029  TEndoctendo 39623  DIsoBcdib 40009  DIsoHcdih 40099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-disoa 39900  df-dib 40010  df-dih 40100
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  40174
  Copyright terms: Public domain W3C validator