Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihmeetlem2N 39812
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 22-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = π‘ž)
dihmeetlem2.o 0 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem dihmeetlem2N
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
2 dihmeetlem2.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3 simp1l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simp2l 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp3l 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
61, 2, 3, 4, 5meetval 18288 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ}))
76fveq2d 6850 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})))
8 simp1 1137 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 dihmeetlem2.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
10 dihmeetlem2.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 dihmeetlem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
139, 10, 11, 12dibeldmN 39671 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
1413biimpar 479 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
15143adant3 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
169, 10, 11, 12dibeldmN 39671 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
1716biimpar 479 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
18173adant2 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
19 prssg 4783 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
204, 5, 19syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2115, 18, 20mpbi2and 711 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
22 prnzg 4743 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
234, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
241, 11, 12dibglbN 39679 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ({𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
258, 21, 23, 24syl12anc 836 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
267, 25eqtrd 2773 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
273hllatd 37876 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
289, 2latmcl 18337 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2927, 4, 5, 28syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
30 simp1r 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
319, 11lhpbase 38511 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
339, 10, 2latmle1 18361 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
3427, 4, 5, 33syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
35 simp2r 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
369, 10, 27, 29, 4, 32, 34, 35lattrd 18343 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)
37 dihmeetlem2.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
389, 10, 11, 37, 12dihvalb 39750 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
398, 29, 36, 38syl12anc 836 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
40 simpl1 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41 vex 3451 . . . . . . 7 π‘₯ ∈ V
4241elpr 4613 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} ↔ (π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ = π‘Œ))
43 simpl2 1193 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š))
44 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ 𝐡))
45 breq1 5112 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ≀ π‘Š ↔ 𝑋 ≀ π‘Š))
4644, 45anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
4746adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
4843, 47mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
49 simpl3 1194 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š))
50 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ 𝐡))
51 breq1 5112 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ ≀ π‘Š ↔ π‘Œ ≀ π‘Š))
5250, 51anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘Œ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
5352adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
5449, 53mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
5548, 54jaodan 957 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ = π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
5642, 55sylan2b 595 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
579, 10, 11, 37, 12dihvalb 39750 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
5840, 56, 57syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
5958iineq2dv 4983 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
6026, 39, 593eqtr4d 2783 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯))
61 fveq2 6846 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘‹))
62 fveq2 6846 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘Œ))
6361, 62iinxprg 5053 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
644, 5, 63syl2anc 585 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
6560, 64eqtrd 2773 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {cpr 4592  βˆ© ciin 4959   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   I cid 5534  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  lecple 17148  occoc 17149  glbcglb 18207  joincjn 18208  meetcmee 18209  Latclat 18328  Atomscatm 37775  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  trLctrl 38671  TEndoctendo 39265  DIsoBcdib 39651  DIsoHcdih 39741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-disoa 39542  df-dib 39652  df-dih 39742
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  39816
  Copyright terms: Public domain W3C validator