Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihmeetlem2N 41282
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 22-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihmeetlem2.m = (meet‘𝐾)
dihmeetlem2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeetlem2.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.l = (le‘𝐾)
dihmeetlem2.j = (join‘𝐾)
dihmeetlem2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihmeetlem2.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
dihmeetlem2.o 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))

Proof of Theorem dihmeetlem2N
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . 6 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2 dihmeetlem2.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
3 simp1l 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp2l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋𝐵)
5 simp3l 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5meetval 18449 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
76fveq2d 6911 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8 simp1 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 dihmeetlem2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 dihmeetlem2.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
11 dihmeetlem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 eqid 2735 . . . . . . . . 9 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
139, 10, 11, 12dibeldmN 41141 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
1413biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → 𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
15143adant3 1131 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
169, 10, 11, 12dibeldmN 41141 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ↔ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)))
1716biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
18173adant2 1130 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
19 prssg 4824 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)))
204, 5, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)))
2115, 18, 20mpbi2and 712 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
22 prnzg 4783 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
234, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
241, 11, 12dibglbN 41149 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
258, 21, 23, 24syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
267, 25eqtrd 2775 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
273hllatd 39346 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
289, 2latmcl 18498 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
2927, 4, 5, 28syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
30 simp1r 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑊𝐻)
319, 11lhpbase 39981 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑊𝐵)
339, 10, 2latmle1 18522 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
3427, 4, 5, 33syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
35 simp2r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋 𝑊)
369, 10, 27, 29, 4, 32, 34, 35lattrd 18504 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) 𝑊)
37 dihmeetlem2.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
389, 10, 11, 37, 12dihvalb 41220 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)))
398, 29, 36, 38syl12anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)))
40 simpl1 1190 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41 vex 3482 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
4241elpr 4655 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑌))
43 simpl2 1191 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
44 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐵𝑋𝐵))
45 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 𝑊𝑋 𝑊))
4644, 45anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
4746adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
4843, 47mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
49 simpl3 1192 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑌𝐵𝑌 𝑊))
50 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐵𝑌𝐵))
51 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 𝑊𝑌 𝑊))
5250, 51anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)))
5352adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)))
5449, 53mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
5548, 54jaodan 959 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑌)) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
5642, 55sylan2b 594 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
579, 10, 11, 37, 12dihvalb 41220 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵𝑥 𝑊)) → (𝐼𝑥) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
5840, 56, 57syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}) → (𝐼𝑥) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
5958iineq2dv 5022 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
6026, 39, 593eqtr4d 2785 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥))
61 fveq2 6907 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑋))
62 fveq2 6907 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑌))
6361, 62iinxprg 5094 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
644, 5, 63syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
6560, 64eqtrd 2775 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {cpr 4633   ciin 4997   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5582  dom cdm 5689  cres 5691  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  occoc 17306  glbcglb 18368  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141  TEndoctendo 40735  DIsoBcdib 41121  DIsoHcdih 41211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-disoa 41012  df-dib 41122  df-dih 41212
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  41286
  Copyright terms: Public domain W3C validator