Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihmeetlem2N 40473
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 22-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = π‘ž)
dihmeetlem2.o 0 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem dihmeetlem2N
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . . . 6 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
2 dihmeetlem2.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3 simp1l 1195 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simp2l 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp3l 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
61, 2, 3, 4, 5meetval 18348 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ}))
76fveq2d 6894 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})))
8 simp1 1134 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 dihmeetlem2.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
10 dihmeetlem2.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 dihmeetlem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 eqid 2730 . . . . . . . . 9 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
139, 10, 11, 12dibeldmN 40332 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
1413biimpar 476 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
15143adant3 1130 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
169, 10, 11, 12dibeldmN 40332 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
1716biimpar 476 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
18173adant2 1129 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
19 prssg 4821 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
204, 5, 19syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2115, 18, 20mpbi2and 708 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
22 prnzg 4781 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
234, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
241, 11, 12dibglbN 40340 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ({𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
258, 21, 23, 24syl12anc 833 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
267, 25eqtrd 2770 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
273hllatd 38537 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
289, 2latmcl 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2927, 4, 5, 28syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
30 simp1r 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
319, 11lhpbase 39172 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
339, 10, 2latmle1 18421 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
3427, 4, 5, 33syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
35 simp2r 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
369, 10, 27, 29, 4, 32, 34, 35lattrd 18403 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)
37 dihmeetlem2.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
389, 10, 11, 37, 12dihvalb 40411 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
398, 29, 36, 38syl12anc 833 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
40 simpl1 1189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41 vex 3476 . . . . . . 7 π‘₯ ∈ V
4241elpr 4650 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} ↔ (π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ = π‘Œ))
43 simpl2 1190 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š))
44 eleq1 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ 𝐡))
45 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ≀ π‘Š ↔ 𝑋 ≀ π‘Š))
4644, 45anbi12d 629 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
4746adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
4843, 47mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
49 simpl3 1191 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š))
50 eleq1 2819 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ 𝐡))
51 breq1 5150 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ ≀ π‘Š ↔ π‘Œ ≀ π‘Š))
5250, 51anbi12d 629 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘Œ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
5352adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
5449, 53mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
5548, 54jaodan 954 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ = π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
5642, 55sylan2b 592 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
579, 10, 11, 37, 12dihvalb 40411 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
5840, 56, 57syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
5958iineq2dv 5021 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
6026, 39, 593eqtr4d 2780 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯))
61 fveq2 6890 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘‹))
62 fveq2 6890 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘Œ))
6361, 62iinxprg 5091 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
644, 5, 63syl2anc 582 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
6560, 64eqtrd 2770 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {cpr 4629  βˆ© ciin 4997   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6542  β„©crio 7366  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  occoc 17209  glbcglb 18267  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332  TEndoctendo 39926  DIsoBcdib 40312  DIsoHcdih 40402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-disoa 40203  df-dib 40313  df-dih 40403
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  40477
  Copyright terms: Public domain W3C validator