Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem2N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihmeetlem2N 40165
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 22-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihmeetlem2.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem2.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = π‘ž)
dihmeetlem2.o 0 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem dihmeetlem2N
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . 6 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
2 dihmeetlem2.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3 simp1l 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 simp3l 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
61, 2, 3, 4, 5meetval 18343 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ}))
76fveq2d 6895 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})))
8 simp1 1136 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 dihmeetlem2.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
10 dihmeetlem2.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 dihmeetlem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 eqid 2732 . . . . . . . . 9 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
139, 10, 11, 12dibeldmN 40024 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
1413biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
15143adant3 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
169, 10, 11, 12dibeldmN 40024 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
1716biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
18173adant2 1131 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
19 prssg 4822 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
204, 5, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑋 ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ↔ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2115, 18, 20mpbi2and 710 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ {𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
22 prnzg 4782 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
234, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)
241, 11, 12dibglbN 40032 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ({𝑋, π‘Œ} βŠ† dom ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ {𝑋, π‘Œ} β‰  βˆ…)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
258, 21, 23, 24syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑋, π‘Œ})) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
267, 25eqtrd 2772 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
273hllatd 38229 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
289, 2latmcl 18392 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
2927, 4, 5, 28syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
30 simp1r 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
319, 11lhpbase 38864 . . . . . 6 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
339, 10, 2latmle1 18416 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
3427, 4, 5, 33syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
35 simp2r 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Š)
369, 10, 27, 29, 4, 32, 34, 35lattrd 18398 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)
37 dihmeetlem2.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
389, 10, 11, 37, 12dihvalb 40103 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
398, 29, 36, 38syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
40 simpl1 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41 vex 3478 . . . . . . 7 π‘₯ ∈ V
4241elpr 4651 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} ↔ (π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ = π‘Œ))
43 simpl2 1192 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š))
44 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ 𝐡))
45 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ≀ π‘Š ↔ 𝑋 ≀ π‘Š))
4644, 45anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
4746adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)))
4843, 47mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
49 simpl3 1193 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š))
50 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘Œ ∈ 𝐡))
51 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (π‘₯ ≀ π‘Š ↔ π‘Œ ≀ π‘Š))
5250, 51anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = π‘Œ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
5352adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)))
5449, 53mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ = π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
5548, 54jaodan 956 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ (π‘₯ = 𝑋 ∨ π‘₯ = π‘Œ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
5642, 55sylan2b 594 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š))
579, 10, 11, 37, 12dihvalb 40103 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
5840, 56, 57syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ}) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
5958iineq2dv 5022 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘₯))
6026, 39, 593eqtr4d 2782 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯))
61 fveq2 6891 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘‹))
62 fveq2 6891 . . . 4 (π‘₯ = π‘Œ β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘Œ))
6361, 62iinxprg 5092 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
644, 5, 63syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ∩ π‘₯ ∈ {𝑋, π‘Œ} (πΌβ€˜π‘₯) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
6560, 64eqtrd 2772 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΌβ€˜π‘‹) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {cpr 4630  βˆ© ciin 4998   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  β„©crio 7363  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  occoc 17204  glbcglb 18262  joincjn 18263  meetcmee 18264  Latclat 18383  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024  TEndoctendo 39618  DIsoBcdib 40004  DIsoHcdih 40094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-disoa 39895  df-dib 40005  df-dih 40095
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  40169
  Copyright terms: Public domain W3C validator