Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihmeetlem2N 39762
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 22-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihmeetlem2.m = (meet‘𝐾)
dihmeetlem2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeetlem2.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.l = (le‘𝐾)
dihmeetlem2.j = (join‘𝐾)
dihmeetlem2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihmeetlem2.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
dihmeetlem2.o 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))

Proof of Theorem dihmeetlem2N
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . 6 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2 dihmeetlem2.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
3 simp1l 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋𝐵)
5 simp3l 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5meetval 18280 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
76fveq2d 6846 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8 simp1 1136 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 dihmeetlem2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 dihmeetlem2.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
11 dihmeetlem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
139, 10, 11, 12dibeldmN 39621 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
1413biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → 𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
15143adant3 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
169, 10, 11, 12dibeldmN 39621 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ↔ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)))
1716biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
18173adant2 1131 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
19 prssg 4779 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)))
204, 5, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)))
2115, 18, 20mpbi2and 710 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
22 prnzg 4739 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
234, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
241, 11, 12dibglbN 39629 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
258, 21, 23, 24syl12anc 835 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
267, 25eqtrd 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
273hllatd 37826 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
289, 2latmcl 18329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
2927, 4, 5, 28syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
30 simp1r 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑊𝐻)
319, 11lhpbase 38461 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑊𝐵)
339, 10, 2latmle1 18353 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
3427, 4, 5, 33syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
35 simp2r 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋 𝑊)
369, 10, 27, 29, 4, 32, 34, 35lattrd 18335 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) 𝑊)
37 dihmeetlem2.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
389, 10, 11, 37, 12dihvalb 39700 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)))
398, 29, 36, 38syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)))
40 simpl1 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41 vex 3449 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
4241elpr 4609 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑌))
43 simpl2 1192 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
44 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐵𝑋𝐵))
45 breq1 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 𝑊𝑋 𝑊))
4644, 45anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
4746adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
4843, 47mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
49 simpl3 1193 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑌𝐵𝑌 𝑊))
50 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐵𝑌𝐵))
51 breq1 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 𝑊𝑌 𝑊))
5250, 51anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)))
5352adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)))
5449, 53mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
5548, 54jaodan 956 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑌)) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
5642, 55sylan2b 594 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
579, 10, 11, 37, 12dihvalb 39700 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵𝑥 𝑊)) → (𝐼𝑥) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
5840, 56, 57syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}) → (𝐼𝑥) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
5958iineq2dv 4979 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
6026, 39, 593eqtr4d 2786 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥))
61 fveq2 6842 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑋))
62 fveq2 6842 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑌))
6361, 62iinxprg 5049 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
644, 5, 63syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
6560, 64eqtrd 2776 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {cpr 4588   ciin 4955   class class class wbr 5105  cmpt 5188   I cid 5530  dom cdm 5633  cres 5635  cfv 6496  crio 7312  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  occoc 17141  glbcglb 18199  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564  trLctrl 38621  TEndoctendo 39215  DIsoBcdib 39601  DIsoHcdih 39691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8767  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-disoa 39492  df-dib 39602  df-dih 39692
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  39766
  Copyright terms: Public domain W3C validator