Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihmeetlem2N 41301
Description: Isomorphism H of a conjunction. (Contributed by NM, 22-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihmeetlem2.m = (meet‘𝐾)
dihmeetlem2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeetlem2.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.l = (le‘𝐾)
dihmeetlem2.j = (join‘𝐾)
dihmeetlem2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihmeetlem2.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem2.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑞)
dihmeetlem2.o 0 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))

Proof of Theorem dihmeetlem2N
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2 dihmeetlem2.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
3 simp1l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp2l 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋𝐵)
5 simp3l 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5meetval 18436 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
76fveq2d 6910 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8 simp1 1137 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 dihmeetlem2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 dihmeetlem2.l . . . . . . . . 9 = (le‘𝐾)
11 dihmeetlem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
139, 10, 11, 12dibeldmN 41160 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
1413biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)) → 𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
15143adant3 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
169, 10, 11, 12dibeldmN 41160 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ↔ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)))
1716biimpar 477 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
18173adant2 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
19 prssg 4819 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)))
204, 5, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → ((𝑋 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑌 ∈ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)))
2115, 18, 20mpbi2and 712 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊))
22 prnzg 4778 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
234, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
241, 11, 12dibglbN 41168 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑋, 𝑌} ⊆ dom ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
258, 21, 23, 24syl12anc 837 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
267, 25eqtrd 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
273hllatd 39365 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
289, 2latmcl 18485 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
2927, 4, 5, 28syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
30 simp1r 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑊𝐻)
319, 11lhpbase 40000 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑊𝐵)
339, 10, 2latmle1 18509 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
3427, 4, 5, 33syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
35 simp2r 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑋 𝑊)
369, 10, 27, 29, 4, 32, 34, 35lattrd 18491 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝑋 𝑌) 𝑊)
37 dihmeetlem2.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
389, 10, 11, 37, 12dihvalb 41239 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)))
398, 29, 36, 38syl12anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑋 𝑌)))
40 simpl1 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41 vex 3484 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
4241elpr 4650 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑌))
43 simpl2 1193 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑋𝐵𝑋 𝑊))
44 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐵𝑋𝐵))
45 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 𝑊𝑋 𝑊))
4644, 45anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
4746adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑋𝐵𝑋 𝑊)))
4843, 47mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
49 simpl3 1194 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑌𝐵𝑌 𝑊))
50 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥𝐵𝑌𝐵))
51 breq1 5146 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 𝑊𝑌 𝑊))
5250, 51anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)))
5352adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑌) → ((𝑥𝐵𝑥 𝑊) ↔ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)))
5449, 53mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
5548, 54jaodan 960 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑥 = 𝑌)) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
5642, 55sylan2b 594 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}) → (𝑥𝐵𝑥 𝑊))
579, 10, 11, 37, 12dihvalb 41239 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑥𝐵𝑥 𝑊)) → (𝐼𝑥) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
5840, 56, 57syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌}) → (𝐼𝑥) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
5958iineq2dv 5017 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑥))
6026, 39, 593eqtr4d 2787 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥))
61 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑋))
62 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑌))
6361, 62iinxprg 5089 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
644, 5, 63syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼𝑥) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
6560, 64eqtrd 2777 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵𝑋 𝑊) ∧ (𝑌𝐵𝑌 𝑊)) → (𝐼‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐼𝑋) ∩ (𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {cpr 4628   ciin 4992   class class class wbr 5143  cmpt 5225   I cid 5577  dom cdm 5685  cres 5687  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  occoc 17305  glbcglb 18356  joincjn 18357  meetcmee 18358  Latclat 18476  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  trLctrl 40160  TEndoctendo 40754  DIsoBcdib 41140  DIsoHcdih 41230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-disoa 41031  df-dib 41141  df-dih 41231
This theorem is referenced by:  dihmeetbN  41305
  Copyright terms: Public domain W3C validator