Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibord Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dibord 39728
Description: The isomorphism B for a lattice 𝐾 is order-preserving in the region under co-atom π‘Š. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib11.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dib11.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dib11.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dib11.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dibord (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
Proof of Theorem dibord
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dib11.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dib11.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dib11.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 eqid 2731 . . . . 5 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2731 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) = (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
6 eqid 2731 . . . . 5 ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 dib11.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7dibval2 39713 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}))
983adant3 1132 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7dibval2 39713 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}))
11103adant2 1131 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) = ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}))
129, 11sseq12d 3995 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}) βŠ† ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))})))
131, 2, 3, 7dibn0 39722 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
14133adant3 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) β‰  βˆ…)
159, 14eqnetrrd 3008 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}) β‰  βˆ…)
16 ssxpb 6146 . . 3 (((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}) β‰  βˆ… β†’ (((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}) βŠ† ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}) ↔ ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))} βŠ† {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))})))
1715, 16syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}) βŠ† ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}) ↔ ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))} βŠ† {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))})))
18 ssid 3984 . . . 4 {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))} βŠ† {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}
1918biantru 530 . . 3 ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ↔ ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))} βŠ† {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}))
201, 2, 3, 6diaord 39616 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
2119, 20bitr3id 284 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ (((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))} βŠ† {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
2212, 17, 213bitrd 304 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‹) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑋 ≀ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939   βŠ† wss 3928  βˆ…c0 4302  {csn 4606   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208   I cid 5550   Γ— cxp 5651   β†Ύ cres 5655  β€˜cfv 6516  Basecbs 17109  lecple 17169  HLchlt 37918  LHypclh 38553  LTrncltrn 38670  DIsoAcdia 39597  DIsoBcdib 39707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-riotaBAD 37521
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-undef 8224  df-map 8789  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-p1 18344  df-lat 18350  df-clat 18417  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-llines 38067  df-lplanes 38068  df-lvols 38069  df-lines 38070  df-psubsp 38072  df-pmap 38073  df-padd 38365  df-lhyp 38557  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674  df-trl 38728  df-disoa 39598  df-dib 39708
This theorem is referenced by:  dib11N  39729  cdlemn2a  39765  dihord1  39787  dihord3  39826  dihord5b  39828
  Copyright terms: Public domain W3C validator