Theorem djudom2 10134

Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djudom2	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djudom1 10133	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))
2		reldom 8927	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex1i 5699	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
4		djucomen 10128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴))
5	3, 4	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴))
6	2	brrelex2i 5700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		djucomen 10128	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵))
8	6, 7	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵))
9		domen1 9085	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶)))
10		domen2 9086	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵) → ((𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
11	9, 10	sylan9bb 517	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵)) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
12	5, 8, 11	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
13	1, 12	mpbid 234	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5097   ≈ cen 8918   ≼ cdom 8919   ⊔ cdju 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-ord 6344  df-on 6345  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-dju 9853

This theorem is referenced by:  djulepw  10143  unctb  10154  infdjuabs  10155  infdju  10157  infdif  10158  fin45  10343  canthp1  10606  pwdjundom  10619  gchdjuidm  10620  gchpwdom  10622  gchhar  10631  pr2dom  44064  tr3dom  44065