Theorem djudom2 10177

Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djudom2	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djudom1 10176	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))
2		reldom 8944	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex1i 5732	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
4		djucomen 10171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴))
5	3, 4	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴))
6	2	brrelex2i 5733	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		djucomen 10171	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵))
8	6, 7	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵))
9		domen1 9118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶)))
10		domen2 9119	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵) → ((𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
11	9, 10	sylan9bb 510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵)) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
12	5, 8, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
13	1, 12	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   ≈ cen 8935   ≼ cdom 8936   ⊔ cdju 9892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-dju 9895

This theorem is referenced by:  djulepw  10186  unctb  10199  infdjuabs  10200  infdju  10202  infdif  10203  fin45  10386  canthp1  10648  pwdjundom  10661  gchdjuidm  10662  gchpwdom  10664  gchhar  10673  pr2dom  42268  tr3dom  42269