Theorem djudom2 10222

Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djudom2	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djudom1 10221	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))
2		reldom 8990	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex1i 5745	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
4		djucomen 10216	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴))
5	3, 4	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴))
6	2	brrelex2i 5746	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		djucomen 10216	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵))
8	6, 7	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵))
9		domen1 9158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶)))
10		domen2 9159	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵) → ((𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
11	9, 10	sylan9bb 509	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵)) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
12	5, 8, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
13	1, 12	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   ≈ cen 8981   ≼ cdom 8982   ⊔ cdju 9936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-dju 9939

This theorem is referenced by:  djulepw  10231  unctb  10242  infdjuabs  10243  infdju  10245  infdif  10246  fin45  10430  canthp1  10692  pwdjundom  10705  gchdjuidm  10706  gchpwdom  10708  gchhar  10717  pr2dom  43517  tr3dom  43518