MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djudom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djudom2 10174
Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djudom2 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐶𝐴) ≼ (𝐶𝐵))

Proof of Theorem djudom2
StepHypRef Expression
1 djudom1 10173 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐶))
2 reldom 8941 . . . . 5 Rel ≼
32brrelex1i 5730 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
4 djucomen 10168 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐶𝐴))
53, 4sylan 581 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐶𝐴))
62brrelex2i 5731 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
7 djucomen 10168 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → (𝐵𝐶) ≈ (𝐶𝐵))
86, 7sylan 581 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐵𝐶) ≈ (𝐶𝐵))
9 domen1 9115 . . . 4 ((𝐴𝐶) ≈ (𝐶𝐴) → ((𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐶) ↔ (𝐶𝐴) ≼ (𝐵𝐶)))
10 domen2 9116 . . . 4 ((𝐵𝐶) ≈ (𝐶𝐵) → ((𝐶𝐴) ≼ (𝐵𝐶) ↔ (𝐶𝐴) ≼ (𝐶𝐵)))
119, 10sylan9bb 511 . . 3 (((𝐴𝐶) ≈ (𝐶𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≈ (𝐶𝐵)) → ((𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐶) ↔ (𝐶𝐴) ≼ (𝐶𝐵)))
125, 8, 11syl2anc 585 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → ((𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐶) ↔ (𝐶𝐴) ≼ (𝐶𝐵)))
131, 12mpbid 231 1 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐶𝐴) ≼ (𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5147  cen 8932  cdom 8933  cdju 9889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-dju 9892
This theorem is referenced by:  djulepw  10183  unctb  10196  infdjuabs  10197  infdju  10199  infdif  10200  fin45  10383  canthp1  10645  pwdjundom  10658  gchdjuidm  10659  gchpwdom  10661  gchhar  10670  pr2dom  42211  tr3dom  42212
  Copyright terms: Public domain W3C validator