MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djudom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djudom2 10127
Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
djudom2 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐶𝐴) ≼ (𝐶𝐵))

Proof of Theorem djudom2
StepHypRef Expression
1 djudom1 10126 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐶))
2 reldom 8895 . . . . 5 Rel ≼
32brrelex1i 5692 . . . 4 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
4 djucomen 10121 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐶𝐴))
53, 4sylan 581 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐴𝐶) ≈ (𝐶𝐴))
62brrelex2i 5693 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
7 djucomen 10121 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶𝑉) → (𝐵𝐶) ≈ (𝐶𝐵))
86, 7sylan 581 . . 3 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐵𝐶) ≈ (𝐶𝐵))
9 domen1 9069 . . . 4 ((𝐴𝐶) ≈ (𝐶𝐴) → ((𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐶) ↔ (𝐶𝐴) ≼ (𝐵𝐶)))
10 domen2 9070 . . . 4 ((𝐵𝐶) ≈ (𝐶𝐵) → ((𝐶𝐴) ≼ (𝐵𝐶) ↔ (𝐶𝐴) ≼ (𝐶𝐵)))
119, 10sylan9bb 511 . . 3 (((𝐴𝐶) ≈ (𝐶𝐴) ∧ (𝐵𝐶) ≈ (𝐶𝐵)) → ((𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐶) ↔ (𝐶𝐴) ≼ (𝐶𝐵)))
125, 8, 11syl2anc 585 . 2 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → ((𝐴𝐶) ≼ (𝐵𝐶) ↔ (𝐶𝐴) ≼ (𝐶𝐵)))
131, 12mpbid 231 1 ((𝐴𝐵𝐶𝑉) → (𝐶𝐴) ≼ (𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  Vcvv 3447   class class class wbr 5109  cen 8886  cdom 8887  cdju 9842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-dju 9845
This theorem is referenced by:  djulepw  10136  unctb  10149  infdjuabs  10150  infdju  10152  infdif  10153  fin45  10336  canthp1  10598  pwdjundom  10611  gchdjuidm  10612  gchpwdom  10614  gchhar  10623  pr2dom  41891  tr3dom  41892
  Copyright terms: Public domain W3C validator