Theorem djudom2 9870

Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djudom2	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djudom1 9869	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))
2		reldom 8697	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex1i 5634	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
4		djucomen 9864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴))
5	3, 4	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴))
6	2	brrelex2i 5635	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		djucomen 9864	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵))
8	6, 7	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵))
9		domen1 8855	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶)))
10		domen2 8856	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵) → ((𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
11	9, 10	sylan9bb 509	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵)) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
12	5, 8, 11	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
13	1, 12	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689   ⊔ cdju 9587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-dju 9590

This theorem is referenced by:  djulepw  9879  unctb  9892  infdjuabs  9893  infdju  9895  infdif  9896  fin45  10079  canthp1  10341  pwdjundom  10354  gchdjuidm  10355  gchpwdom  10357  gchhar  10366  pr2dom  41032  tr3dom  41033