MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djulepw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djulepw 9453
Description: If 𝐴 is idempotent under cardinal sum and 𝐵 is dominated by the power set of 𝐴, then so is the cardinal sum of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
djulepw (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem djulepw
StepHypRef Expression
1 djueq1 9169 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = (∅ ⊔ 𝐵))
21breq1d 4966 . 2 (𝐴 = ∅ → ((𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴))
3 relen 8352 . . . . . . . . 9 Rel ≈
43brrelex2i 5487 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ∈ V)
54adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
6 canth2g 8508 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7 sdomdom 8375 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
9 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
10 reldom 8353 . . . . . . . . 9 Rel ≼
1110brrelex1i 5486 . . . . . . . 8 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ∈ V)
12 djudom1 9443 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
1311, 12sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
14 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
1510brrelex2i 5487 . . . . . . . 8 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
16 djudom2 9444 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
1714, 15, 16syl2anc2 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18 domtr 8400 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴𝐵) ∧ (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
1913, 17, 18syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
208, 9, 19syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
21 pwdju1 9451 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
225, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
23 domentr 8406 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
2524adantr 481 . . 3 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
26 0sdomg 8483 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
275, 26syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
2827biimpar 478 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
29 0sdom1dom 8552 . . . . . . 7 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o𝐴)
3028, 29sylib 219 . . . . . 6 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1o𝐴)
315adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
32 djudom2 9444 . . . . . 6 ((1o𝐴𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴))
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴))
34 simpll 763 . . . . 5 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴𝐴) ≈ 𝐴)
35 domentr 8406 . . . . 5 (((𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
3633, 34, 35syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
37 pwdom 8506 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
3836, 37syl 17 . . 3 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
39 domtr 8400 . . 3 (((𝐴𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
4025, 38, 39syl2anc 584 . 2 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
41 0ex 5096 . . . 4 ∅ ∈ V
4211adantl 482 . . . 4 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
43 djucomen 9438 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
4441, 42, 43sylancr 587 . . 3 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
45 dju0en 9436 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵)
46 domen1 8496 . . . . 5 ((𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵 → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
4742, 45, 463syl 18 . . . 4 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
489, 47mpbird 258 . . 3 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴)
49 endomtr 8405 . . 3 (((∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅) ∧ (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
5044, 48, 49syl2anc 584 . 2 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
512, 40, 50pm2.61ne 3068 1 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  Vcvv 3432  c0 4206  𝒫 cpw 4447   class class class wbr 4956  1oc1o 7937  cen 8344  cdom 8345  csdm 8346  cdju 9162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-1o 7944  df-2o 7945  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-dju 9165
This theorem is referenced by:  gchdomtri  9886
  Copyright terms: Public domain W3C validator