Theorem djulepw 10183

Description: If 𝐴 is idempotent under cardinal sum and 𝐵 is dominated by the power set of 𝐴, then so is the cardinal sum of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djulepw	⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem djulepw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djueq1 9896	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊔ 𝐵) = (∅ ⊔ 𝐵))
2	1	breq1d 5157	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴))
3		relen 8940	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5731	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
6		canth2g 9127	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7		sdomdom 8972	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
9		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
10		reldom 8941	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
11	10	brrelex1i 5730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
12		djudom1 10173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
13	11, 12	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
14		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
15	10	brrelex2i 5731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
16		djudom2 10174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
17	14, 15, 16	syl2anc2 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18		domtr 8999	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
19	13, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
20	8, 9, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
21		pwdju1 10181	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
22	5, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
23		domentr 9005	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
24	20, 22, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
25	24	adantr 481	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
26		0sdomg 9100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
28	27	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
29		0sdom1dom 9234	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
30	28, 29	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1o ≼ 𝐴)
31	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
32		djudom2 10174	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
34		simpll 765	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
35		domentr 9005	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
36	33, 34, 35	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
37		pwdom 9125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
38	36, 37	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
39		domtr 8999	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
40	25, 38, 39	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
41		0ex 5306	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
42	11	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
43		djucomen 10168	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
44	41, 42, 43	sylancr 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
45		dju0en 10166	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵)
46		domen1 9115	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵 → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
47	42, 45, 46	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
48	9, 47	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴)
49		endomtr 9004	. . 3 ⊢ (((∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅) ∧ (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
50	44, 48, 49	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
51	2, 40, 50	pm2.61ne 3027	1 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  1_oc1o 8455   ≈ cen 8932   ≼ cdom 8933   ≺ csdm 8934   ⊔ cdju 9889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-dju 9892

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10620