MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  djulepw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djulepw 9607
Description: If 𝐴 is idempotent under cardinal sum and 𝐵 is dominated by the power set of 𝐴, then so is the cardinal sum of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
djulepw (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem djulepw
StepHypRef Expression
1 djueq1 9322 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝐵) = (∅ ⊔ 𝐵))
21breq1d 5043 . 2 (𝐴 = ∅ → ((𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴))
3 relen 8501 . . . . . . . . 9 Rel ≈
43brrelex2i 5577 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐴 ∈ V)
54adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
6 canth2g 8659 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7 sdomdom 8524 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
9 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
10 reldom 8502 . . . . . . . . 9 Rel ≼
1110brrelex1i 5576 . . . . . . . 8 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ∈ V)
12 djudom1 9597 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
1311, 12sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴𝐵))
14 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
1510brrelex2i 5577 . . . . . . . 8 (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
16 djudom2 9598 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
1714, 15, 16syl2anc2 588 . . . . . . 7 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18 domtr 8549 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴𝐵) ∧ (𝒫 𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
1913, 17, 18syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
208, 9, 19syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
21 pwdju1 9605 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
225, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
23 domentr 8555 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
2420, 22, 23syl2anc 587 . . . 4 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
2524adantr 484 . . 3 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
26 0sdomg 8634 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
275, 26syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
2827biimpar 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
29 0sdom1dom 8704 . . . . . . 7 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o𝐴)
3028, 29sylib 221 . . . . . 6 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1o𝐴)
315adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
32 djudom2 9598 . . . . . 6 ((1o𝐴𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴))
3330, 31, 32syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴))
34 simpll 766 . . . . 5 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴𝐴) ≈ 𝐴)
35 domentr 8555 . . . . 5 (((𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴𝐴) ∧ (𝐴𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
3633, 34, 35syl2anc 587 . . . 4 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
37 pwdom 8657 . . . 4 ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
3836, 37syl 17 . . 3 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
39 domtr 8549 . . 3 (((𝐴𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
4025, 38, 39syl2anc 587 . 2 ((((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
41 0ex 5178 . . . 4 ∅ ∈ V
4211adantl 485 . . . 4 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
43 djucomen 9592 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
4441, 42, 43sylancr 590 . . 3 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
45 dju0en 9590 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵)
46 domen1 8647 . . . . 5 ((𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵 → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
4742, 45, 463syl 18 . . . 4 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
489, 47mpbird 260 . . 3 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴)
49 endomtr 8554 . . 3 (((∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅) ∧ (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
5044, 48, 49syl2anc 587 . 2 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
512, 40, 50pm2.61ne 3075 1 (((𝐴𝐴) ≈ 𝐴𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  Vcvv 3444  c0 4246  𝒫 cpw 4500   class class class wbr 5033  1oc1o 8082  cen 8493  cdom 8494  csdm 8495  cdju 9315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-dju 9318
This theorem is referenced by:  gchdomtri  10044
  Copyright terms: Public domain W3C validator