Theorem djulepw 10172

Description: If 𝐴 is idempotent under cardinal sum and 𝐵 is dominated by the power set of 𝐴, then so is the cardinal sum of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djulepw	⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem djulepw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djueq1 9887	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊔ 𝐵) = (∅ ⊔ 𝐵))
2	1	breq1d 5120	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴))
3		relen 8944	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5716	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
6		canth2g 9115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7		sdomdom 8973	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8	5, 6, 7	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
9		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
10		reldom 8945	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
11	10	brrelex1i 5715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
12		djudom1 10162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
13	11, 12	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
14		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
15	10	brrelex2i 5716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
16		djudom2 10163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
17	14, 15, 16	syl2anc2 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18		domtr 9000	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
19	13, 17, 18	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
20	8, 9, 19	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
21		pwdju1 10170	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
22	5, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
23		domentr 9006	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
24	20, 22, 23	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
25	24	adantr 485	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
26		0sdomg 9090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
27	5, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
28	27	biimpar 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
29		0sdom1dom 9202	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
30	28, 29	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1o ≼ 𝐴)
31	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
32		djudom2 10163	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
34		simpll 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
35		domentr 9006	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
36	33, 34, 35	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
37		pwdom 9113	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
38	36, 37	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
39		domtr 9000	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
40	25, 38, 39	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
41		0ex 5269	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
42	11	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
43		djucomen 10157	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
44	41, 42, 43	sylancr 598	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
45		dju0en 10155	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵)
46		domen1 9103	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵 → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
47	42, 45, 46	3syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
48	9, 47	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴)
49		endomtr 9005	. . 3 ⊢ (((∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅) ∧ (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
50	44, 48, 49	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
51	2, 40, 50	pm2.61ne 3049	1 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5110  1_oc1o 8442   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938   ⊔ cdju 9880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-dju 9883

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10610