Theorem djulepw 9948

Description: If 𝐴 is idempotent under cardinal sum and 𝐵 is dominated by the power set of 𝐴, then so is the cardinal sum of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djulepw	⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem djulepw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djueq1 9663	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊔ 𝐵) = (∅ ⊔ 𝐵))
2	1	breq1d 5084	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴))
3		relen 8738	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
6		canth2g 8918	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7		sdomdom 8768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
9		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
10		reldom 8739	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
11	10	brrelex1i 5643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
12		djudom1 9938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
13	11, 12	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
14		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
15	10	brrelex2i 5644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
16		djudom2 9939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
17	14, 15, 16	syl2anc2 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18		domtr 8793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
19	13, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
20	8, 9, 19	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
21		pwdju1 9946	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
22	5, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
23		domentr 8799	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
24	20, 22, 23	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
25	24	adantr 481	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
26		0sdomg 8891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
28	27	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
29		0sdom1dom 9020	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
30	28, 29	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1o ≼ 𝐴)
31	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
32		djudom2 9939	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
34		simpll 764	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
35		domentr 8799	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
36	33, 34, 35	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
37		pwdom 8916	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
38	36, 37	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
39		domtr 8793	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
40	25, 38, 39	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
41		0ex 5231	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
42	11	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
43		djucomen 9933	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
44	41, 42, 43	sylancr 587	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
45		dju0en 9931	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵)
46		domen1 8906	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵 → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
47	42, 45, 46	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
48	9, 47	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴)
49		endomtr 8798	. . 3 ⊢ (((∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅) ∧ (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
50	44, 48, 49	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
51	2, 40, 50	pm2.61ne 3030	1 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074  1_oc1o 8290   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732   ⊔ cdju 9656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10385