Theorem djulepw 10222

Description: If 𝐴 is idempotent under cardinal sum and 𝐵 is dominated by the power set of 𝐴, then so is the cardinal sum of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djulepw	⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem djulepw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djueq1 9935	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊔ 𝐵) = (∅ ⊔ 𝐵))
2	1	breq1d 5159	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴))
3		relen 8969	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
6		canth2g 9159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7		sdomdom 9001	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
9		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
10		reldom 8970	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
11	10	brrelex1i 5734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
12		djudom1 10212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
13	11, 12	sylan2 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
14		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
15	10	brrelex2i 5735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
16		djudom2 10213	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
17	14, 15, 16	syl2anc2 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18		domtr 9028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
19	13, 17, 18	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
20	8, 9, 19	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
21		pwdju1 10220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
22	5, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
23		domentr 9034	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
24	20, 22, 23	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
25	24	adantr 479	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
26		0sdomg 9132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
28	27	biimpar 476	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
29		0sdom1dom 9266	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
30	28, 29	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1o ≼ 𝐴)
31	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
32		djudom2 10213	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
34		simpll 765	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
35		domentr 9034	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
36	33, 34, 35	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
37		pwdom 9157	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
38	36, 37	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
39		domtr 9028	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
40	25, 38, 39	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
41		0ex 5308	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
42	11	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
43		djucomen 10207	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
44	41, 42, 43	sylancr 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
45		dju0en 10205	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵)
46		domen1 9147	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵 → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
47	42, 45, 46	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
48	9, 47	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴)
49		endomtr 9033	. . 3 ⊢ (((∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅) ∧ (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
50	44, 48, 49	syl2anc 582	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
51	2, 40, 50	pm2.61ne 3016	1 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  Vcvv 3461  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149  1_oc1o 8480   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962   ≺ csdm 8963   ⊔ cdju 9928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-dju 9931

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10659