Theorem dssmapfvd 45110

Description: Value of the duality operator for self-mappings of subsets of a base set, 𝐵. (Contributed by RP, 19-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dssmapfvd.o	⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
dssmapfvd.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
dssmapfvd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dssmapfvd	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏,𝑓   𝐵,𝑠,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑠)   𝐷(𝑓, 𝑠, 𝑏)   𝑂(𝑓, 𝑠, 𝑏)   𝑉(𝑓, 𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem dssmapfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dssmapfvd.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
2		dssmapfvd.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
3		pweq 4570	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → 𝒫 𝑏 = 𝒫 𝐵)
4	3, 3	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) = (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → 𝑏 = 𝐵)
6		difeq1 4056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∖ 𝑠) = (𝐵 ∖ 𝑠))
7	6	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠)) = (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))
8	5, 7	difeq12d 4064	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
9	3, 8	mpteq12dv 5191	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))
10	4, 9	mpteq12dv 5191	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))) = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))
11		dssmapfvd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
12	11	elexd 3473	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
13		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ∈ V
14		mptexg 7227	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ∈ V → (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∈ V)
15	13, 14	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∈ V)
16	2, 10, 12, 15	fvmptd3 7017	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))
17	1, 16	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045  𝒫 cpw 4556   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423

This theorem is used by:  dssmapfv2d  45111  dssmapnvod  45113  dssmapf1od  45114