Theorem dssmapfvd 44462

Description: Value of the duality operator for self-mappings of subsets of a base set, 𝐵. (Contributed by RP, 19-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dssmapfvd.o	⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
dssmapfvd.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
dssmapfvd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dssmapfvd	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏,𝑓   𝐵,𝑠,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,𝑠,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑠,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem dssmapfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dssmapfvd.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
2		dssmapfvd.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
3		pweq 4550	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → 𝒫 𝑏 = 𝒫 𝐵)
4	3, 3	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) = (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → 𝑏 = 𝐵)
6		difeq1 4057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∖ 𝑠) = (𝐵 ∖ 𝑠))
7	6	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠)) = (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))
8	5, 7	difeq12d 4065	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
9	3, 8	mpteq12dv 5166	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))
10	4, 9	mpteq12dv 5166	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))) = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))
11		dssmapfvd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
12	11	elexd 3456	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
13		ovex 7396	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ∈ V
14		mptexg 7172	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ∈ V → (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∈ V)
15	13, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∈ V)
16	2, 10, 12, 15	fvmptd3 6966	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))
17	1, 16	eqtrid 2787	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887  𝒫 cpw 4536   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366

This theorem is referenced by:  dssmapfv2d  44463  dssmapnvod  44465  dssmapf1od  44466