Theorem dssmapfvd 44006

Description: Value of the duality operator for self-mappings of subsets of a base set, 𝐵. (Contributed by RP, 19-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dssmapfvd.o	⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
dssmapfvd.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
dssmapfvd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dssmapfvd	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏,𝑓   𝐵,𝑠,𝑏   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑠)   𝐷(𝑓,𝑠,𝑏)   𝑂(𝑓,𝑠,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem dssmapfvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dssmapfvd.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
2		dssmapfvd.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
3		pweq 4577	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → 𝒫 𝑏 = 𝒫 𝐵)
4	3, 3	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) = (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → 𝑏 = 𝐵)
6		difeq1 4082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∖ 𝑠) = (𝐵 ∖ 𝑠))
7	6	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠)) = (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))
8	5, 7	difeq12d 4090	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
9	3, 8	mpteq12dv 5194	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))
10	4, 9	mpteq12dv 5194	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))) = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))
11		dssmapfvd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
12	11	elexd 3471	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
13		ovex 7420	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ∈ V
14		mptexg 7195	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ∈ V → (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∈ V)
15	13, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∈ V)
16	2, 10, 12, 15	fvmptd3 6991	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))
17	1, 16	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911  𝒫 cpw 4563   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390

This theorem is referenced by:  dssmapfv2d  44007  dssmapnvod  44009  dssmapf1od  44010