dssmapnvod - Mathbox for Richard Penner

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Theorem dssmapnvod 41116

Description: For any base set 𝐵 the duality operator for self-mappings of subsets of that base set is its own inverse, an involution. (Contributed by RP, 20-Apr-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dssmapfvd.o	⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑_m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
dssmapfvd.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
dssmapfvd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

**Assertion**
Ref	Expression
dssmapnvod	⊢ (𝜑 → ^◡𝐷 = 𝐷)

Distinct variable groups: 𝐵,𝑏,𝑓,𝑠 𝜑,𝑏,𝑓,𝑠 Allowed substitution hints: 𝐷(𝑓,𝑠,𝑏) 𝑂(𝑓,𝑠,𝑏) 𝑉(𝑓,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem dssmapnvod Dummy variables 𝑔 𝑧 𝑡 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) → 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))
2		difeq2 4022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝐵 ∖ 𝑠) = (𝐵 ∖ 𝑡))
3	2	fveq2d 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)) = (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡)))
4	3	difeq2d 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
5	4	cbvmptv 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))) = (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
6	1, 5	eqtrdi 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) → 𝑔 = (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
7		ssun1 4077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡)))
8	7	sspwi 4508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝐵 ⊆ 𝒫 (𝐵 ∪ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡)))
9		dssmapfvd.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
10		pwidg 4516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
12	8, 11	sseldi 3890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 (𝐵 ∪ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
13		fvex 6671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡)) ∈ V
14	13	elpwun 7490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 (𝐵 ∪ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ 𝒫 𝐵)
15	12, 14	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ 𝒫 𝐵)
16	15	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ 𝒫 𝐵)
17	6, 16	fmpt3d 6871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) → 𝑔:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
18	9	pwexd 5248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
19	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
20	19, 19	elmapd 8430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ↔ 𝑔:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵))
21	17, 20	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵))
22	21	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) → 𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵))
23		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))
24		difeq2 4022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝐵 ∖ 𝑠) = (𝐵 ∖ 𝑢))
25	24	fveq2d 6662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)) = (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑢)))
26	25	difeq2d 4028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑢))))
27	26	cbvmptv 5135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))) = (𝑢 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑢))))
28	23, 27	eqtrdi 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑔 = (𝑢 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑢)))))
29		difeq2 4022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝐵 ∖ 𝑢) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))
30	29	fveq2d 6662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑢)) = (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))))
31	30	difeq2d 4028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑢))) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))))
32	31	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑢 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑢))) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))))
33		ssun1 4077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝑡)
34	33	sspwi 4508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝒫 𝐵 ⊆ 𝒫 (𝐵 ∪ 𝑡)
35	34, 11	sseldi 3890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 (𝐵 ∪ 𝑡))
36		vex 3413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑡 ∈ V
37	36	elpwun 7490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 (𝐵 ∪ 𝑡) ↔ (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
38	35, 37	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
39	38	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
40		difexg 5197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))) ∈ V)
41	9, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))) ∈ V)
42	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))) ∈ V)
43	28, 32, 39, 42	fvmptd 6766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡)) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))))
44	43	difeq2d 4028	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))))))
45	44	adantlrl 719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))))))
46		elpwi 4503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑡 ⊆ 𝐵)
47		dfss4 4163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)) = 𝑡)
48	46, 47	sylib 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)) = 𝑡)
49	48	fveq2d 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))) = (𝑓‘𝑡))
50	49	difeq2d 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ (𝑓‘𝑡)))
51	50	difeq2d 4028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))))) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑓‘𝑡))))
52	51	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))))) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑓‘𝑡))))
53	18, 18	elmapd 8430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ↔ 𝑓:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵))
54	53	biimpa 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵)) → 𝑓:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
55	54	ffvelrnda 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑓‘𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
56	55	elpwid 4505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑓‘𝑡) ⊆ 𝐵)
57		dfss4 4163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝑡) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑓‘𝑡))) = (𝑓‘𝑡))
58	56, 57	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑓‘𝑡))) = (𝑓‘𝑡))
59	58	adantlrr 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑓‘𝑡))) = (𝑓‘𝑡))
60	45, 52, 59	3eqtrrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑓‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
61	60	ralrimiva 3113	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝑓‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
62		elmapfn 8447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) → 𝑓 Fn 𝒫 𝐵)
63	62	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) → 𝑓 Fn 𝒫 𝐵)
64		difeq2 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑧 → (𝐵 ∖ 𝑡) = (𝐵 ∖ 𝑧))
65	64	fveq2d 6662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑧 → (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡)) = (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))
66	65	difeq2d 4028	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑧 → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))) = (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))
67		difexg 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ V)
68	9, 67	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ V)
69	68	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ V)
70		difexg 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))) ∈ V)
71	9, 70	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))) ∈ V)
72	71	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))) ∈ V)
73	63, 66, 69, 72	fnmptfvd 6802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) → (𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝑓‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
74	61, 73	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) → 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))
75	22, 74	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))) → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))))
76		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) → 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))
77		difeq2 4022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (𝐵 ∖ 𝑧) = (𝐵 ∖ 𝑡))
78	77	fveq2d 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)) = (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡)))
79	78	difeq2d 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑡 → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))) = (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
80	79	cbvmptv 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))) = (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
81	76, 80	eqtrdi 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) → 𝑓 = (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
82		ssun1 4077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡)))
83	82	sspwi 4508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝒫 𝐵 ⊆ 𝒫 (𝐵 ∪ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡)))
84	83, 11	sseldi 3890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 (𝐵 ∪ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
85		fvex 6671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡)) ∈ V
86	85	elpwun 7490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝒫 (𝐵 ∪ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ 𝒫 𝐵)
87	84, 86	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ 𝒫 𝐵)
88	87	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ 𝒫 𝐵)
89	81, 88	fmpt3d 6871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) → 𝑓:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
90	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
91	90, 90	elmapd 8430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) → (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ↔ 𝑓:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵))
92	89, 91	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) → 𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵))
93	92	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) → 𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵))
94		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))
95		difeq2 4022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (𝐵 ∖ 𝑧) = (𝐵 ∖ 𝑢))
96	95	fveq2d 6662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)) = (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑢)))
97	96	difeq2d 4028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑢 → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))) = (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑢))))
98	97	cbvmptv 5135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))) = (𝑢 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑢))))
99	94, 98	eqtrdi 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑓 = (𝑢 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑢)))))
100	29	fveq2d 6662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑢)) = (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))))
101	100	difeq2d 4028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑢))) = (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))))
102	101	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑢 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑢))) = (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))))
103	38	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
104		difexg 5197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))) ∈ V)
105	9, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))) ∈ V)
106	105	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))) ∈ V)
107	99, 102, 103, 106	fvmptd 6766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡)) = (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))))
108	107	difeq2d 4028	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))))))
109	108	adantlrl 719	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))))))
110	48	fveq2d 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))) = (𝑔‘𝑡))
111	110	difeq2d 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ (𝑔‘𝑡)))
112	111	difeq2d 4028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))))) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑔‘𝑡))))
113	112	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑡))))) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑔‘𝑡))))
114	18, 18	elmapd 8430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ↔ 𝑔:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵))
115	114	biimpa 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵)) → 𝑔:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
116	115	ffvelrnda 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑔‘𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
117	116	elpwid 4505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑔‘𝑡) ⊆ 𝐵)
118		dfss4 4163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔‘𝑡) ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑔‘𝑡))) = (𝑔‘𝑡))
119	117, 118	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵)) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑔‘𝑡))) = (𝑔‘𝑡))
120	119	adantlrr 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ (𝑔‘𝑡))) = (𝑔‘𝑡))
121	109, 113, 120	3eqtrrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑔‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
122	121	ralrimiva 3113	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) → ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝑔‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
123		elmapfn 8447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) → 𝑔 Fn 𝒫 𝐵)
124	123	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) → 𝑔 Fn 𝒫 𝐵)
125		difeq2 4022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐵 ∖ 𝑡) = (𝐵 ∖ 𝑠))
126	125	fveq2d 6662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡)) = (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))
127	126	difeq2d 4028	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
128		difexg 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ V)
129	9, 128	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ V)
130	129	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ∈ V)
131		difexg 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))) ∈ V)
132	9, 131	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))) ∈ V)
133	132	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))) ∈ V)
134	124, 127, 130, 133	fnmptfvd 6802	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) → (𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝑔‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
135	122, 134	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) → 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠)))))
136	93, 135	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))) → (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))
137	75, 136	impbida 800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑔 = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) ↔ (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧)))))))
138	137	mptcnv 5970	. 2 ⊢ (𝜑 → ^◡(𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))) = (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))))
139		dssmapfvd.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑_m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))))
140		dssmapfvd.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
141	139, 140, 9	dssmapfvd 41113	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))
142	141	cnveqd 5715	. 2 ⊢ (𝜑 → ^◡𝐷 = ^◡(𝑓 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑓‘(𝐵 ∖ 𝑠))))))
143		fveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠)) = (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑠)))
144	143	difeq2d 4028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))) = (𝑏 ∖ (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑠))))
145	144	mpteq2dv 5128	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑠)))))
146		difeq2 4022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑏 ∖ 𝑠) = (𝑏 ∖ 𝑧))
147	146	fveq2d 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑠)) = (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑧)))
148	147	difeq2d 4028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝑏 ∖ (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑠))) = (𝑏 ∖ (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑧))))
149	148	cbvmptv 5135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑠)))) = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑧))))
150	145, 149	eqtrdi 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠)))) = (𝑧 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑧)))))
151	150	cbvmptv 5135	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑_m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠))))) = (𝑔 ∈ (𝒫 𝑏 ↑_m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑧)))))
152	151	mpteq2i 5124	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ V ↦ (𝑓 ∈ (𝒫 𝑏 ↑_m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑓‘(𝑏 ∖ 𝑠)))))) = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑔 ∈ (𝒫 𝑏 ↑_m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑧))))))
153	139, 152	eqtri 2781	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑏 ∈ V ↦ (𝑔 ∈ (𝒫 𝑏 ↑_m 𝒫 𝑏) ↦ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑏 ↦ (𝑏 ∖ (𝑔‘(𝑏 ∖ 𝑧))))))
154	153, 140, 9	dssmapfvd 41113	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑔 ∈ (𝒫 𝐵 ↑_m 𝒫 𝐵) ↦ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝐵 ∖ (𝑔‘(𝐵 ∖ 𝑧))))))
155	138, 142, 154	3eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝜑 → ^◡𝐷 = 𝐷)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ∀wral 3070 Vcvv 3409 ∖ cdif 3855 ∪ cun 3856 ⊆ wss 3858 𝒫 cpw 4494 ↦ cmpt 5112 ^◡ccnv 5523 Fn wfn 6330 ⟶wf 6331 ‘cfv 6335 (class class class)co 7150 ↑_m cmap 8416

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2729 ax-rep 5156 ax-sep 5169 ax-nul 5176 ax-pow 5234 ax-pr 5298 ax-un 7459

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3an 1086 df-tru 1541 df-fal 1551 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2557 df-eu 2588 df-clab 2736 df-cleq 2750 df-clel 2830 df-nfc 2901 df-ne 2952 df-ral 3075 df-rex 3076 df-reu 3077 df-rab 3079 df-v 3411 df-sbc 3697 df-csb 3806 df-dif 3861 df-un 3863 df-in 3865 df-ss 3875 df-nul 4226 df-if 4421 df-pw 4496 df-sn 4523 df-pr 4525 df-op 4529 df-uni 4799 df-iun 4885 df-br 5033 df-opab 5095 df-mpt 5113 df-id 5430 df-xp 5530 df-rel 5531 df-cnv 5532 df-co 5533 df-dm 5534 df-rn 5535 df-res 5536 df-ima 5537 df-iota 6294 df-fun 6337 df-fn 6338 df-f 6339 df-f1 6340 df-fo 6341 df-f1o 6342 df-fv 6343 df-ov 7153 df-oprab 7154 df-mpo 7155 df-1st 7693 df-2nd 7694 df-map 8418

This theorem is referenced by: dssmapf1od 41117 dssmap2d 41118 ntrclsnvobr 41150 clsneicnv 41203 neicvgnvo 41213 dssmapclsntr 41227

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