MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  firest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem firest 17360
Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
firest (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)

Proof of Theorem firest
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7426 . . . . . 6 (𝐽t 𝐴) ∈ V
2 elfi2 9391 . . . . . 6 ((𝐽t 𝐴) ∈ V → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦)
4 eldifi 4122 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin))
54adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin))
65elin2d 4195 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
7 elfpw 9337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
87simplbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴))
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴))
109sseld 3977 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧𝑦𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴)))
11 elrest 17355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1211adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1310, 12sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧𝑦 → ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1413ralrimiv 3144 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝑦𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴))
15 ineq1 4201 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑦𝐴) = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
1615eqeq2d 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑧 = (𝑦𝐴) ↔ 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
1716ac6sfi 9270 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ∀𝑧𝑦𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
186, 14, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
19 eldifsni 4786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
2019ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑦 ≠ ∅)
21 iinin1 5075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ≠ ∅ → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) = ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) = ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
23 fvex 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (fi‘𝐽) ∈ V
24 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝐴 ∈ V)
25 ffn 6704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑦𝐽𝑓 Fn 𝑦)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑓 Fn 𝑦)
27 fniinfv 6955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn 𝑦 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ran 𝑓)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ran 𝑓)
29 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝐽 ∈ V)
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑓:𝑦𝐽)
316adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑦 ∈ Fin)
32 intrnfi 9393 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ V ∧ (𝑓:𝑦𝐽𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
3329, 30, 20, 31, 32syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
3428, 33eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∈ (fi‘𝐽))
35 elrestr 17356 . . . . . . . . . . . . 13 (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∈ (fi‘𝐽)) → ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
3623, 24, 34, 35mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
3722, 36eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
38 intiin 5055 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
39 iineq2 5010 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑧𝑦 𝑧 = 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
4038, 39eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
4140eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → ( 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4237, 41syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4342expimpd 454 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ((𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4443exlimdv 1936 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4518, 44mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
46 eleq1 2820 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4745, 46syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4847rexlimdva 3154 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
493, 48biimtrid 241 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) → 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
50 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
51 elrest 17355 . . . . . 6 (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴)))
5223, 50, 51sylancr 587 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴)))
53 elfi2 9391 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
5453adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
55 eldifsni 4786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ≠ ∅)
57 iinin1 5075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ≠ ∅ → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴))
5938ineq1i 4204 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑦𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴)
6058, 59eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑦𝐴))
61 ovexd 7428 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝐽t 𝐴) ∈ V)
62 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
64 elfpw 9337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐽𝑦 ∈ Fin))
6564simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) → 𝑦𝐽)
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦𝐽)
67 elrestr 17356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝐽) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
68673expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
6968ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
71 ssralv 4046 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐽 → (∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴)))
7266, 70, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
7363elin2d 4195 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
74 iinfi 9394 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝐴) ∈ V ∧ (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
7561, 72, 56, 73, 74syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
7660, 75eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ( 𝑦𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
77 eleq1 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ( 𝑦𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
7876, 77syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
79 ineq1 4201 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐴) = ( 𝑦𝐴))
8079eqeq2d 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) ↔ 𝑥 = ( 𝑦𝐴)))
8180imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))) ↔ (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8278, 81syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8382rexlimdva 3154 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8454, 83sylbid 239 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8584rexlimdv 3152 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
8652, 85sylbid 239 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
8749, 86impbid 211 . . 3 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
8887eqrdv 2729 . 2 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
89 fi0 9397 . . 3 (fi‘∅) = ∅
90 relxp 5687 . . . . . 6 Rel (V × V)
91 restfn 17352 . . . . . . . 8 t Fn (V × V)
9291fndmi 6642 . . . . . . 7 dom ↾t = (V × V)
9392releqi 5769 . . . . . 6 (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
9490, 93mpbir 230 . . . . 5 Rel dom ↾t
9594ovprc 7431 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) = ∅)
9695fveq2d 6882 . . 3 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = (fi‘∅))
97 ianor 980 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V))
98 fvprc 6870 . . . . . . 7 𝐽 ∈ V → (fi‘𝐽) = ∅)
9998oveq1d 7408 . . . . . 6 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = (∅ ↾t 𝐴))
100 0rest 17357 . . . . . 6 (∅ ↾t 𝐴) = ∅
10199, 100eqtrdi 2787 . . . . 5 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10294ovprc2 7433 . . . . 5 𝐴 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
103101, 102jaoi 855 . . . 4 ((¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10497, 103sylbi 216 . . 3 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10589, 96, 1043eqtr4a 2797 . 2 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
10688, 105pm2.61i 182 1 (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  cdif 3941  cin 3943  wss 3944  c0 4318  𝒫 cpw 4596  {csn 4622   cint 4943   ciin 4991   × cxp 5667  dom cdm 5669  ran crn 5670  Rel wrel 5674   Fn wfn 6527  wf 6528  cfv 6532  (class class class)co 7393  Fincfn 8922  ficfi 9387  t crest 17348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-fin 8926  df-fi 9388  df-rest 17350
This theorem is referenced by:  ordtrest2  22637  xkoptsub  23087  ordtrest2NEW  32734  ptrest  36291
  Copyright terms: Public domain W3C validator