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Theorem firest 16701
 Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
firest (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)

Proof of Theorem firest
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7183 . . . . . 6 (𝐽t 𝐴) ∈ V
2 elfi2 8872 . . . . . 6 ((𝐽t 𝐴) ∈ V → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦)
4 eldifi 4107 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin))
54adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin))
65elin2d 4180 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
7 elfpw 8820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
87simplbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴))
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴))
109sseld 3970 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧𝑦𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴)))
11 elrest 16696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1211adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1310, 12sylibd 240 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧𝑦 → ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1413ralrimiv 3186 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝑦𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴))
15 ineq1 4185 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑦𝐴) = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
1615eqeq2d 2837 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑧 = (𝑦𝐴) ↔ 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
1716ac6sfi 8756 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ∀𝑧𝑦𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
186, 14, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
19 eldifsni 4721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
2019ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑦 ≠ ∅)
21 iinin1 4998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ≠ ∅ → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) = ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) = ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
23 fvex 6682 . . . . . . . . . . . . 13 (fi‘𝐽) ∈ V
24 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝐴 ∈ V)
25 ffn 6513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑦𝐽𝑓 Fn 𝑦)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑓 Fn 𝑦)
27 fniinfv 6741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn 𝑦 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ran 𝑓)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ran 𝑓)
29 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝐽 ∈ V)
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑓:𝑦𝐽)
316adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑦 ∈ Fin)
32 intrnfi 8874 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ V ∧ (𝑓:𝑦𝐽𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
3329, 30, 20, 31, 32syl13anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
3428, 33eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∈ (fi‘𝐽))
35 elrestr 16697 . . . . . . . . . . . . 13 (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∈ (fi‘𝐽)) → ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
3623, 24, 34, 35mp3an2i 1459 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
3722, 36eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
38 intiin 4980 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
39 iineq2 4936 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑧𝑦 𝑧 = 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
4038, 39syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
4140eleq1d 2902 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → ( 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4237, 41syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4342expimpd 454 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ((𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4443exlimdv 1927 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4518, 44mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
46 eleq1 2905 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4745, 46syl5ibrcom 248 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4847rexlimdva 3289 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
493, 48syl5bi 243 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) → 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
50 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
51 elrest 16696 . . . . . 6 (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴)))
5223, 50, 51sylancr 587 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴)))
53 elfi2 8872 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
5453adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
55 eldifsni 4721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ≠ ∅)
57 iinin1 4998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ≠ ∅ → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴))
5938ineq1i 4189 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑦𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴)
6058, 59syl6eqr 2879 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑦𝐴))
61 ovexd 7185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝐽t 𝐴) ∈ V)
62 eldifi 4107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
64 elfpw 8820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐽𝑦 ∈ Fin))
6564simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) → 𝑦𝐽)
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦𝐽)
67 elrestr 16697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝐽) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
68673expa 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
6968ralrimiva 3187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
71 ssralv 4037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐽 → (∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴)))
7266, 70, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
7363elin2d 4180 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
74 iinfi 8875 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝐴) ∈ V ∧ (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
7561, 72, 56, 73, 74syl13anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
7660, 75eqeltrrd 2919 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ( 𝑦𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
77 eleq1 2905 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ( 𝑦𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
7876, 77syl5ibrcom 248 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
79 ineq1 4185 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐴) = ( 𝑦𝐴))
8079eqeq2d 2837 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) ↔ 𝑥 = ( 𝑦𝐴)))
8180imbi1d 343 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))) ↔ (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8278, 81syl5ibrcom 248 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8382rexlimdva 3289 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8454, 83sylbid 241 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8584rexlimdv 3288 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
8652, 85sylbid 241 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
8749, 86impbid 213 . . 3 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
8887eqrdv 2824 . 2 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
89 fi0 8878 . . 3 (fi‘∅) = ∅
90 relxp 5572 . . . . . 6 Rel (V × V)
91 restfn 16693 . . . . . . . 8 t Fn (V × V)
92 fndm 6454 . . . . . . . 8 ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
9391, 92ax-mp 5 . . . . . . 7 dom ↾t = (V × V)
9493releqi 5651 . . . . . 6 (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
9590, 94mpbir 232 . . . . 5 Rel dom ↾t
9695ovprc 7188 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) = ∅)
9796fveq2d 6673 . . 3 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = (fi‘∅))
98 ianor 977 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V))
99 fvprc 6662 . . . . . . 7 𝐽 ∈ V → (fi‘𝐽) = ∅)
10099oveq1d 7165 . . . . . 6 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = (∅ ↾t 𝐴))
101 0rest 16698 . . . . . 6 (∅ ↾t 𝐴) = ∅
102100, 101syl6eq 2877 . . . . 5 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10395ovprc2 7190 . . . . 5 𝐴 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
104102, 103jaoi 853 . . . 4 ((¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10598, 104sylbi 218 . . 3 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10689, 97, 1053eqtr4a 2887 . 2 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
10788, 106pm2.61i 183 1 (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 843   = wceq 1530  ∃wex 1773   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∀wral 3143  ∃wrex 3144  Vcvv 3500   ∖ cdif 3937   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  ∅c0 4295  𝒫 cpw 4542  {csn 4564  ∩ cint 4874  ∩ ciin 4918   × cxp 5552  dom cdm 5554  ran crn 5555  Rel wrel 5559   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  ficfi 8868   ↾t crest 16689 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-1o 8098  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-fin 8507  df-fi 8869  df-rest 16691 This theorem is referenced by:  ordtrest2  21747  xkoptsub  22197  ordtrest2NEW  31071  ptrest  34777
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