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Theorem firest 17314
Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
firest (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)

Proof of Theorem firest
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7390 . . . . . 6 (𝐽t 𝐴) ∈ V
2 elfi2 9350 . . . . . 6 ((𝐽t 𝐴) ∈ V → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦)
4 eldifi 4086 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin))
54adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin))
65elin2d 4159 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
7 elfpw 9298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
87simplbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴))
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴))
109sseld 3943 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧𝑦𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴)))
11 elrest 17309 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1211adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1310, 12sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧𝑦 → ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1413ralrimiv 3142 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝑦𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴))
15 ineq1 4165 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑦𝐴) = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
1615eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑧 = (𝑦𝐴) ↔ 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
1716ac6sfi 9231 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ∀𝑧𝑦𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
186, 14, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
19 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
2019ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑦 ≠ ∅)
21 iinin1 5039 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ≠ ∅ → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) = ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) = ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
23 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (fi‘𝐽) ∈ V
24 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝐴 ∈ V)
25 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑦𝐽𝑓 Fn 𝑦)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑓 Fn 𝑦)
27 fniinfv 6919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn 𝑦 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ran 𝑓)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ran 𝑓)
29 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝐽 ∈ V)
30 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑓:𝑦𝐽)
316adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑦 ∈ Fin)
32 intrnfi 9352 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ V ∧ (𝑓:𝑦𝐽𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
3329, 30, 20, 31, 32syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
3428, 33eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∈ (fi‘𝐽))
35 elrestr 17310 . . . . . . . . . . . . 13 (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∈ (fi‘𝐽)) → ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
3623, 24, 34, 35mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
3722, 36eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
38 intiin 5019 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
39 iineq2 4974 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑧𝑦 𝑧 = 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
4038, 39eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
4140eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → ( 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4237, 41syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4342expimpd 454 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ((𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4443exlimdv 1936 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4518, 44mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
46 eleq1 2825 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4745, 46syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4847rexlimdva 3152 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
493, 48biimtrid 241 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) → 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
50 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
51 elrest 17309 . . . . . 6 (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴)))
5223, 50, 51sylancr 587 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴)))
53 elfi2 9350 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
5453adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
55 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ≠ ∅)
57 iinin1 5039 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ≠ ∅ → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴))
5938ineq1i 4168 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑦𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴)
6058, 59eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑦𝐴))
61 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝐽t 𝐴) ∈ V)
62 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
6362adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
64 elfpw 9298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐽𝑦 ∈ Fin))
6564simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) → 𝑦𝐽)
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦𝐽)
67 elrestr 17310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝐽) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
68673expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
6968ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
71 ssralv 4010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐽 → (∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴)))
7266, 70, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
7363elin2d 4159 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
74 iinfi 9353 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝐴) ∈ V ∧ (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
7561, 72, 56, 73, 74syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
7660, 75eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ( 𝑦𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
77 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ( 𝑦𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
7876, 77syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
79 ineq1 4165 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐴) = ( 𝑦𝐴))
8079eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) ↔ 𝑥 = ( 𝑦𝐴)))
8180imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))) ↔ (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8278, 81syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8382rexlimdva 3152 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8454, 83sylbid 239 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8584rexlimdv 3150 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
8652, 85sylbid 239 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
8749, 86impbid 211 . . 3 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
8887eqrdv 2734 . 2 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
89 fi0 9356 . . 3 (fi‘∅) = ∅
90 relxp 5651 . . . . . 6 Rel (V × V)
91 restfn 17306 . . . . . . . 8 t Fn (V × V)
9291fndmi 6606 . . . . . . 7 dom ↾t = (V × V)
9392releqi 5733 . . . . . 6 (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
9490, 93mpbir 230 . . . . 5 Rel dom ↾t
9594ovprc 7395 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) = ∅)
9695fveq2d 6846 . . 3 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = (fi‘∅))
97 ianor 980 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V))
98 fvprc 6834 . . . . . . 7 𝐽 ∈ V → (fi‘𝐽) = ∅)
9998oveq1d 7372 . . . . . 6 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = (∅ ↾t 𝐴))
100 0rest 17311 . . . . . 6 (∅ ↾t 𝐴) = ∅
10199, 100eqtrdi 2792 . . . . 5 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10294ovprc2 7397 . . . . 5 𝐴 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
103101, 102jaoi 855 . . . 4 ((¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10497, 103sylbi 216 . . 3 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10589, 96, 1043eqtr4a 2802 . 2 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
10688, 105pm2.61i 182 1 (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   cint 4907   ciin 4955   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  Rel wrel 5638   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  ficfi 9346  t crest 17302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887  df-fi 9347  df-rest 17304
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