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Theorem firest 16361
Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
firest (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)

Proof of Theorem firest
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6874 . . . . . 6 (𝐽t 𝐴) ∈ V
2 elfi2 8527 . . . . . 6 ((𝐽t 𝐴) ∈ V → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦)
4 eldifi 3894 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin))
54adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin))
6 elfpw 8475 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
76simprbi 490 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
96simplbi 491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴))
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴))
1110sseld 3760 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧𝑦𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴)))
12 elrest 16356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1312adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1411, 13sylibd 230 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧𝑦 → ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1514ralrimiv 3112 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝑦𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴))
16 ineq1 3969 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑦𝐴) = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
1716eqeq2d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑧 = (𝑦𝐴) ↔ 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
1817ac6sfi 8411 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ∀𝑧𝑦𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
198, 15, 18syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
20 eldifsni 4476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
2120ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑦 ≠ ∅)
22 iinin1 4747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ≠ ∅ → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) = ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) = ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
24 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . 14 (fi‘𝐽) ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → (fi‘𝐽) ∈ V)
26 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝐴 ∈ V)
27 ffn 6223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑦𝐽𝑓 Fn 𝑦)
2827adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑓 Fn 𝑦)
29 fniinfv 6446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn 𝑦 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ran 𝑓)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ran 𝑓)
31 simplll 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝐽 ∈ V)
32 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑓:𝑦𝐽)
338adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑦 ∈ Fin)
34 intrnfi 8529 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ V ∧ (𝑓:𝑦𝐽𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
3531, 32, 21, 33, 34syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
3630, 35eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∈ (fi‘𝐽))
37 elrestr 16357 . . . . . . . . . . . . 13 (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∈ (fi‘𝐽)) → ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
3825, 26, 36, 37syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
3923, 38eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
40 intiin 4730 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
41 iineq2 4694 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑧𝑦 𝑧 = 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
4240, 41syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
4342eleq1d 2829 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → ( 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4439, 43syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4544expimpd 445 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ((𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4645exlimdv 2028 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4719, 46mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
48 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4947, 48syl5ibrcom 238 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
5049rexlimdva 3178 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
513, 50syl5bi 233 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) → 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
52 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
53 elrest 16356 . . . . . 6 (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴)))
5424, 52, 53sylancr 581 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴)))
55 elfi2 8527 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
5655adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
57 eldifsni 4476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
5857adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ≠ ∅)
59 iinin1 4747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ≠ ∅ → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴))
6140ineq1i 3972 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑦𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴)
6260, 61syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑦𝐴))
631a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝐽t 𝐴) ∈ V)
64 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
6564adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
66 elfpw 8475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐽𝑦 ∈ Fin))
6766simplbi 491 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) → 𝑦𝐽)
6865, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦𝐽)
69 elrestr 16357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝐽) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
70693expa 1147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
7170ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
73 ssralv 3826 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐽 → (∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴)))
7468, 72, 73sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
7566simprbi 490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
7665, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
77 iinfi 8530 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝐴) ∈ V ∧ (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
7863, 74, 58, 76, 77syl13anc 1491 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
7962, 78eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ( 𝑦𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
80 eleq1 2832 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ( 𝑦𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
8179, 80syl5ibrcom 238 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
82 ineq1 3969 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐴) = ( 𝑦𝐴))
8382eqeq2d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) ↔ 𝑥 = ( 𝑦𝐴)))
8483imbi1d 332 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))) ↔ (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8581, 84syl5ibrcom 238 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8685rexlimdva 3178 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8756, 86sylbid 231 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8887rexlimdv 3177 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
8954, 88sylbid 231 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
9051, 89impbid 203 . . 3 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
9190eqrdv 2763 . 2 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
92 fi0 8533 . . 3 (fi‘∅) = ∅
93 relxp 5295 . . . . . 6 Rel (V × V)
94 restfn 16353 . . . . . . . 8 t Fn (V × V)
95 fndm 6168 . . . . . . . 8 ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
9694, 95ax-mp 5 . . . . . . 7 dom ↾t = (V × V)
9796releqi 5372 . . . . . 6 (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
9893, 97mpbir 222 . . . . 5 Rel dom ↾t
9998ovprc 6879 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) = ∅)
10099fveq2d 6379 . . 3 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = (fi‘∅))
101 ianor 1004 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V))
102 fvprc 6368 . . . . . . 7 𝐽 ∈ V → (fi‘𝐽) = ∅)
103102oveq1d 6857 . . . . . 6 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = (∅ ↾t 𝐴))
104 0rest 16358 . . . . . 6 (∅ ↾t 𝐴) = ∅
105103, 104syl6eq 2815 . . . . 5 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10698ovprc2 6881 . . . . 5 𝐴 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
107105, 106jaoi 883 . . . 4 ((¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
108101, 107sylbi 208 . . 3 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10992, 100, 1083eqtr4a 2825 . 2 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
11091, 109pm2.61i 176 1 (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  c0 4079  𝒫 cpw 4315  {csn 4334   cint 4633   ciin 4677   × cxp 5275  dom cdm 5277  ran crn 5278  Rel wrel 5282   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  ficfi 8523  t crest 16349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-1o 7764  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-fin 8164  df-fi 8524  df-rest 16351
This theorem is referenced by:  ordtrest2  21288  xkoptsub  21737  ordtrest2NEW  30351  ptrest  33764
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