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Theorem firest 17479
Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
firest (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)

Proof of Theorem firest
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7464 . . . . . 6 (𝐽t 𝐴) ∈ V
2 elfi2 9452 . . . . . 6 ((𝐽t 𝐴) ∈ V → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦)
4 eldifi 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin))
54adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin))
65elin2d 4215 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
7 elfpw 9392 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ↔ (𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Fin))
87simplbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴))
95, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ⊆ (𝐽t 𝐴))
109sseld 3994 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧𝑦𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴)))
11 elrest 17474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1211adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1310, 12sylibd 239 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧𝑦 → ∃𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)))
1413ralrimiv 3143 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝑦𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴))
15 ineq1 4221 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑦𝐴) = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
1615eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑧 = (𝑦𝐴) ↔ 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
1716ac6sfi 9318 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ∀𝑧𝑦𝑦𝐽 𝑧 = (𝑦𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
186, 14, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)))
19 eldifsni 4795 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
2019ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑦 ≠ ∅)
21 iinin1 5084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ≠ ∅ → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) = ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) = ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
23 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (fi‘𝐽) ∈ V
24 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝐴 ∈ V)
25 ffn 6737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑦𝐽𝑓 Fn 𝑦)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑓 Fn 𝑦)
27 fniinfv 6987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Fn 𝑦 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ran 𝑓)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ran 𝑓)
29 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝐽 ∈ V)
30 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑓:𝑦𝐽)
316adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑦 ∈ Fin)
32 intrnfi 9454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ V ∧ (𝑓:𝑦𝐽𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
3329, 30, 20, 31, 32syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → ran 𝑓 ∈ (fi‘𝐽))
3428, 33eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∈ (fi‘𝐽))
35 elrestr 17475 . . . . . . . . . . . . 13 (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∈ (fi‘𝐽)) → ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
3623, 24, 34, 35mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → ( 𝑧𝑦 (𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
3722, 36eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
38 intiin 5064 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 = 𝑧𝑦 𝑧
39 iineq2 5017 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑧𝑦 𝑧 = 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
4038, 39eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑦 = 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴))
4140eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → ( 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ 𝑧𝑦 ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4237, 41syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝑦𝐽) → (∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4342expimpd 453 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → ((𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4443exlimdv 1931 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (∃𝑓(𝑓:𝑦𝐽 ∧ ∀𝑧𝑦 𝑧 = ((𝑓𝑧) ∩ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4518, 44mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
46 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ 𝑦 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4745, 46syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
4847rexlimdva 3153 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 (𝐽t 𝐴) ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
493, 48biimtrid 242 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) → 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
50 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
51 elrest 17474 . . . . . 6 (((fi‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴)))
5223, 50, 51sylancr 587 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴)))
53 elfi2 9452 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ V → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
5453adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦))
55 eldifsni 4795 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ≠ ∅)
57 iinin1 5084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ≠ ∅ → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴))
5938ineq1i 4224 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑦𝐴) = ( 𝑧𝑦 𝑧𝐴)
6058, 59eqtr4di 2793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) = ( 𝑦𝐴))
61 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝐽t 𝐴) ∈ V)
62 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin))
64 elfpw 9392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) ↔ (𝑦𝐽𝑦 ∈ Fin))
6564simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐽 ∩ Fin) → 𝑦𝐽)
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦𝐽)
67 elrestr 17475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑧𝐽) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
68673expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
6968ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
71 ssralv 4064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐽 → (∀𝑧𝐽 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴)))
7266, 70, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
7363elin2d 4215 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑦 ∈ Fin)
74 iinfi 9455 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽t 𝐴) ∈ V ∧ (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴) ∧ 𝑦 ≠ ∅ ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
7561, 72, 56, 73, 74syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → 𝑧𝑦 (𝑧𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
7660, 75eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → ( 𝑦𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))
77 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ ( 𝑦𝐴) ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
7876, 77syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
79 ineq1 4221 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐴) = ( 𝑦𝐴))
8079eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) ↔ 𝑥 = ( 𝑦𝐴)))
8180imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))) ↔ (𝑥 = ( 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8278, 81syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8382rexlimdva 3153 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐽 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8454, 83sylbid 240 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑧 ∈ (fi‘𝐽) → (𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)))))
8584rexlimdv 3151 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑧 ∈ (fi‘𝐽)𝑥 = (𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
8652, 85sylbid 240 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴))))
8749, 86impbid 212 . . 3 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐽t 𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)))
8887eqrdv 2733 . 2 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
89 fi0 9458 . . 3 (fi‘∅) = ∅
90 relxp 5707 . . . . . 6 Rel (V × V)
91 restfn 17471 . . . . . . . 8 t Fn (V × V)
9291fndmi 6673 . . . . . . 7 dom ↾t = (V × V)
9392releqi 5790 . . . . . 6 (Rel dom ↾t ↔ Rel (V × V))
9490, 93mpbir 231 . . . . 5 Rel dom ↾t
9594ovprc 7469 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) = ∅)
9695fveq2d 6911 . . 3 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = (fi‘∅))
97 ianor 983 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V))
98 fvprc 6899 . . . . . . 7 𝐽 ∈ V → (fi‘𝐽) = ∅)
9998oveq1d 7446 . . . . . 6 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = (∅ ↾t 𝐴))
100 0rest 17476 . . . . . 6 (∅ ↾t 𝐴) = ∅
10199, 100eqtrdi 2791 . . . . 5 𝐽 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10294ovprc2 7471 . . . . 5 𝐴 ∈ V → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
103101, 102jaoi 857 . . . 4 ((¬ 𝐽 ∈ V ∨ ¬ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10497, 103sylbi 217 . . 3 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴) = ∅)
10589, 96, 1043eqtr4a 2801 . 2 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴))
10688, 105pm2.61i 182 1 (fi‘(𝐽t 𝐴)) = ((fi‘𝐽) ↾t 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cint 4951   ciin 4997   × cxp 5687  dom cdm 5689  ran crn 5690  Rel wrel 5694   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ficfi 9448  t crest 17467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fi 9449  df-rest 17469
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