Theorem elfzolem1 13863

Description: A member in a half-open integer interval is less than or equal to the upper bound minus 1 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolem1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem elfzolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
2		elfzoel2 13816	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
4		fzoval 13818	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
6	3, 5	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		elfzle2 13685	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
9	1, 2, 8	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  1c1 11225   ≤ cle 11368   − cmin 11565  ℤcz 12717  ...cfz 13663  ..^cfzo 13812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-neg 11568  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813

This theorem is used by:  elfzo0subge1  13864  iundjiun  47673