Theorem elfzolem1 42474

Description: A member in a half-open integer interval is less than or equal to the upper bound minus 1 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolem1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem elfzolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
2		elfzoel2 13207	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
4		fzoval 13209	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5	4	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
6	3, 5	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		elfzle2 13081	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
9	1, 2, 8	syl2anc 587	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191  1c1 10695   ≤ cle 10833   − cmin 11027  ℤcz 12141  ...cfz 13060  ..^cfzo 13203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-neg 11030  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204

This theorem is referenced by:  iundjiun  43616