Theorem elfzolem1 42860

Description: A member in a half-open integer interval is less than or equal to the upper bound minus 1 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolem1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem elfzolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
2		elfzoel2 13386	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
4		fzoval 13388	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
6	3, 5	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		elfzle2 13260	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
9	1, 2, 8	syl2anc 584	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  1c1 10872   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by:  iundjiun  43998