Theorem elfzolem1 40276

Description: A member in a half-open integer interval is less than or equal to the upper bound minus 1 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolem1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem elfzolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
2		elfzoel2 12723	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		simpl 475	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
4		fzoval 12725	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5	4	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
6	3, 5	eleqtrd 2881	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		elfzle2 12598	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
9	1, 2, 8	syl2anc 580	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4844  (class class class)co 6879  1c1 10226   ≤ cle 10365   − cmin 10557  ℤcz 11665  ...cfz 12579  ..^cfzo 12719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-neg 10560  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720

This theorem is referenced by:  iundjiun  41415