Theorem elfzolem1 13738

Description: A member in a half-open integer interval is less than or equal to the upper bound minus 1 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzolem1	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))

Proof of Theorem elfzolem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
2		elfzoel2 13691	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁))
4		fzoval 13693	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
5	4	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
6	3, 5	eleqtrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		elfzle2 13560	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
9	1, 2, 8	syl2anc 595	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  1c1 11105   ≤ cle 11248   − cmin 11445  ℤcz 12595  ...cfz 13539  ..^cfzo 13687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-neg 11448  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688

This theorem is used by:  elfzo0subge1  13739  iundjiun  47202