Theorem fzoval 13700

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7450	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13695	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7464	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7588	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13696	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6747	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7617	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13551	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6747	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7617	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2780	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600   × cxp 5683  (class class class)co 7431  1c1 11156   − cmin 11492  ℤcz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  elfzo  13701  fzon  13720  fzoss1  13726  fzoss2  13727  elfzolem1  13744  fz1fzo0m1  13750  fzval3  13773  fzo13pr  13788  fzo0to2pr  13789  fzo0to3tp  13791  fzo0to42pr  13792  fzo1to4tp  13793  fzoend  13796  fzofzp1b  13804  elfzom1b  13805  peano2fzor  13813  fzoshftral  13823  zmodfzo  13934  zmodidfzo  13940  fzofi  14015  hashfzo  14468  wrdffz  14573  revcl  14799  revlen  14800  revccat  14804  revrev  14805  revco  14873  fzosump1  15788  telfsumo  15838  fsumparts  15842  geoser  15903  pwdif  15904  pwm1geoser  15905  geo2sum2  15910  dfphi2  16811  reumodprminv  16842  gsumwsubmcl  18850  gsumsgrpccat  18853  gsumwmhm  18858  efgsdmi  19750  efgs1b  19754  efgredlemf  19759  efgredlemd  19762  efgredlemc  19763  efgredlem  19765  cpmadugsumlemF  22882  advlogexp  26697  dchrisumlem1  27533  redwlklem  29689  wlkiswwlks2lem3  29891  wlkiswwlksupgr2  29897  clwlkclwwlklem2a  30017  wlk2v2e  30176  eucrct2eupth  30264  cycpmco2  33153  submat1n  33804  eulerpartlemd  34368  fzssfzo  34554  signstfvn  34584  pthhashvtx  35133  remexz  42105  metakunt20  42225  fzosumm1  42291  bccbc  44364  monoords  45309  stirlinglem12  46100  difltmodne  47344  iccpartiltu  47409  iccpartigtl  47410  iccpartgt  47414  nnsum4primeseven  47787  nnsum4primesevenALTV  47788  nn0sumshdiglemA  48540  nn0sumshdiglemB  48541