Theorem fzoval 13599

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7388	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13594	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7402	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7524	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13595	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6681	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7553	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13450	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6681	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7553	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559   × cxp 5629  (class class class)co 7369  1c1 11047   − cmin 11383  ℤcz 12507  ...cfz 13446  ..^cfzo 13593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-neg 11386  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447  df-fzo 13594

This theorem is referenced by:  elfzo  13600  fzon  13619  fzoss1  13625  fzoss2  13626  elfzolem1  13643  fz1fzo0m1  13649  fzval3  13673  fzo13pr  13688  fzo0to2pr  13689  fzo0to3tp  13691  fzo0to42pr  13692  fzo1to4tp  13693  fzoend  13696  fzofzp1b  13704  elfzom1b  13705  peano2fzor  13713  fzoshftral  13723  zmodfzo  13834  zmodidfzo  13840  fzofi  13917  hashfzo  14372  wrdffz  14478  revcl  14703  revlen  14704  revccat  14708  revrev  14709  revco  14777  fzosump1  15695  telfsumo  15745  fsumparts  15749  geoser  15810  pwdif  15811  pwm1geoser  15812  geo2sum2  15817  dfphi2  16721  reumodprminv  16752  gsumwsubmcl  18747  gsumsgrpccat  18750  gsumwmhm  18755  efgsdmi  19647  efgs1b  19651  efgredlemf  19656  efgredlemd  19659  efgredlemc  19660  efgredlem  19662  cpmadugsumlemF  22797  advlogexp  26598  dchrisumlem1  27434  redwlklem  29651  wlkiswwlks2lem3  29852  wlkiswwlksupgr2  29858  clwlkclwwlklem2a  29978  wlk2v2e  30137  eucrct2eupth  30225  cycpmco2  33106  submat1n  33789  eulerpartlemd  34351  fzssfzo  34524  signstfvn  34554  pthhashvtx  35109  remexz  42086  fzosumm1  42232  bccbc  44328  monoords  45289  stirlinglem12  46077  difltmodne  47337  iccpartiltu  47417  iccpartigtl  47418  iccpartgt  47422  nnsum4primeseven  47795  nnsum4primesevenALTV  47796  nn0sumshdiglemA  48602  nn0sumshdiglemB  48603