Theorem fzoval 13560

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7353	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7365	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13555	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7379	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7501	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13556	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6662	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7530	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13411	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6662	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7530	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547   × cxp 5612  (class class class)co 7346  1c1 11007   − cmin 11344  ℤcz 12468  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555

This theorem is referenced by:  elfzo  13561  fzon  13580  fzoss1  13586  fzoss2  13587  elfzolem1  13604  fz1fzo0m1  13610  fzval3  13634  fzo13pr  13649  fzo0to2pr  13650  fzo0to3tp  13652  fzo0to42pr  13653  fzo1to4tp  13654  fzoend  13657  fzofzp1b  13665  elfzom1b  13666  peano2fzor  13675  fzoshftral  13687  zmodfzo  13798  zmodidfzo  13804  fzofi  13881  hashfzo  14336  wrdffz  14442  revcl  14668  revlen  14669  revccat  14673  revrev  14674  revco  14741  fzosump1  15659  telfsumo  15709  fsumparts  15713  geoser  15774  pwdif  15775  pwm1geoser  15776  geo2sum2  15781  dfphi2  16685  reumodprminv  16716  gsumwsubmcl  18745  gsumsgrpccat  18748  gsumwmhm  18753  efgsdmi  19644  efgs1b  19648  efgredlemf  19653  efgredlemd  19656  efgredlemc  19657  efgredlem  19659  cpmadugsumlemF  22791  advlogexp  26591  dchrisumlem1  27427  redwlklem  29648  wlkiswwlks2lem3  29849  wlkiswwlksupgr2  29855  clwlkclwwlklem2a  29978  wlk2v2e  30137  eucrct2eupth  30225  cycpmco2  33102  submat1n  33818  eulerpartlemd  34379  fzssfzo  34552  signstfvn  34582  pthhashvtx  35172  remexz  42196  fzosumm1  42342  bccbc  44437  monoords  45397  stirlinglem12  46182  difltmodne  47441  iccpartiltu  47521  iccpartigtl  47522  iccpartgt  47526  nnsum4primeseven  47899  nnsum4primesevenALTV  47900  nn0sumshdiglemA  48719  nn0sumshdiglemB  48720