Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzoval 13038
 Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoval (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝑚 = 𝑀𝑚 = 𝑀)
2 oveq1 7146 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
31, 2oveqan12d 7158 . . 3 ((𝑚 = 𝑀𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4 df-fzo 13033 . . 3 ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5 ovex 7172 . . 3 (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
63, 4, 5ovmpoa 7288 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7 simpl 486 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 fzof 13034 . . . . . . 7 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
98fdmi 6502 . . . . . 6 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
109ndmov 7316 . . . . 5 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
117, 10nsyl5 162 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12 simpl 486 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 fzf 12893 . . . . . . 7 ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
1413fdmi 6502 . . . . . 6 dom ... = (ℤ × ℤ)
1514ndmov 7316 . . . . 5 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
1612, 15nsyl5 162 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
1711, 16eqtr4d 2839 . . 3 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
1817adantr 484 . 2 ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
196, 18pm2.61ian 811 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∅c0 4246  𝒫 cpw 4500   × cxp 5521  (class class class)co 7139  1c1 10531   − cmin 10863  ℤcz 11973  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-neg 10866  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033 This theorem is referenced by:  elfzo  13039  fzon  13057  fzoss1  13063  fzoss2  13064  fz1fzo0m1  13084  fzval3  13105  fzo13pr  13120  fzo0to2pr  13121  fzo0to3tp  13122  fzo0to42pr  13123  fzo1to4tp  13124  fzoend  13127  fzofzp1b  13134  elfzom1b  13135  peano2fzor  13143  fzoshftral  13153  zmodfzo  13261  zmodidfzo  13267  fzofi  13341  hashfzo  13790  wrdffz  13882  revcl  14118  revlen  14119  revccat  14123  revrev  14124  revco  14191  fzosump1  15103  telfsumo  15153  fsumparts  15157  geoser  15218  pwdif  15219  pwm1geoser  15220  geo2sum2  15226  dfphi2  16105  reumodprminv  16135  gsumwsubmcl  17997  gsumsgrpccat  18000  gsumccatOLD  18001  gsumwmhm  18006  efgsdmi  18854  efgs1b  18858  efgredlemf  18863  efgredlemd  18866  efgredlemc  18867  efgredlem  18869  cpmadugsumlemF  21485  advlogexp  25250  dchrisumlem1  26077  redwlklem  27465  wlkiswwlks2lem3  27661  wlkiswwlksupgr2  27667  clwlkclwwlklem2a  27787  wlk2v2e  27946  eucrct2eupth  28034  cycpmco2  30829  submat1n  31162  eulerpartlemd  31738  fzssfzo  31923  signstfvn  31953  pthhashvtx  32488  metakunt20  39366  fzosumm1  39418  bccbc  41046  monoords  41926  elfzolem1  41950  stirlinglem12  42724  iccpartiltu  43936  iccpartigtl  43937  iccpartgt  43941  nnsum4primeseven  44315  nnsum4primesevenALTV  44316  nn0sumshdiglemA  45030  nn0sumshdiglemB  45031
 Copyright terms: Public domain W3C validator