Theorem fzoval 13563

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7356	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7368	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13558	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7382	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7504	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13559	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6663	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7533	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13414	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6663	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7533	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551   × cxp 5617  (class class class)co 7349  1c1 11010   − cmin 11347  ℤcz 12471  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558

This theorem is referenced by:  elfzo  13564  fzon  13583  fzoss1  13589  fzoss2  13590  elfzolem1  13607  fz1fzo0m1  13613  fzval3  13637  fzo13pr  13652  fzo0to2pr  13653  fzo0to3tp  13655  fzo0to42pr  13656  fzo1to4tp  13657  fzoend  13660  fzofzp1b  13668  elfzom1b  13669  peano2fzor  13677  fzoshftral  13687  zmodfzo  13798  zmodidfzo  13804  fzofi  13881  hashfzo  14336  wrdffz  14442  revcl  14667  revlen  14668  revccat  14672  revrev  14673  revco  14741  fzosump1  15659  telfsumo  15709  fsumparts  15713  geoser  15774  pwdif  15775  pwm1geoser  15776  geo2sum2  15781  dfphi2  16685  reumodprminv  16716  gsumwsubmcl  18711  gsumsgrpccat  18714  gsumwmhm  18719  efgsdmi  19611  efgs1b  19615  efgredlemf  19620  efgredlemd  19623  efgredlemc  19624  efgredlem  19626  cpmadugsumlemF  22761  advlogexp  26562  dchrisumlem1  27398  redwlklem  29619  wlkiswwlks2lem3  29820  wlkiswwlksupgr2  29826  clwlkclwwlklem2a  29946  wlk2v2e  30105  eucrct2eupth  30193  cycpmco2  33084  submat1n  33788  eulerpartlemd  34350  fzssfzo  34523  signstfvn  34553  pthhashvtx  35121  remexz  42097  fzosumm1  42243  bccbc  44338  monoords  45299  stirlinglem12  46086  difltmodne  47346  iccpartiltu  47426  iccpartigtl  47427  iccpartgt  47431  nnsum4primeseven  47804  nnsum4primesevenALTV  47805  nn0sumshdiglemA  48624  nn0sumshdiglemB  48625