Theorem fzoval 13719

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7424	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7436	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13714	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7450	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7572	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13715	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6718	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7602	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 160	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13569	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6718	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7602	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 160	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 486	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 824	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560   × cxp 5657  (class class class)co 7417  1c1 11129   − cmin 11469  ℤcz 12619  ...cfz 13565  ..^cfzo 13713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-neg 11472  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714

This theorem is used by:  elfzo  13720  fzon  13740  fzoss1  13746  fzoss2  13747  elfzolem1  13764  fz1fzo0m1  13770  fzval3  13794  fzo13pr  13809  fzo0to2pr  13810  fzo0to3tp  13812  fzo0to42pr  13813  fzo1to4tp  13814  fzoend  13817  fzofzp1b  13825  elfzom1b  13826  peano2fzor  13835  fzoshftral  13847  zmodfzo  13959  zmodidfzo  13965  fzofi  14042  hashfzo  14498  wrdffz  14604  revcl  14834  revlen  14835  revccat  14839  revrev  14840  revco  14909  fzosump1  15842  telfsumo  15893  fsumparts  15897  geoser  15960  pwdif  15961  pwm1geoser  15962  geo2sum2  15967  dfphi2  16871  reumodprminv  16902  gsumwsubmcl  18952  gsumsgrpccat  18955  gsumwmhm  18960  efgsdmi  19865  efgs1b  19869  efgredlemf  19874  efgredlemd  19877  efgredlemc  19878  efgredlem  19880  cpmadugsumlemF  23107  advlogexp  26900  dchrisumlem1  27733  redwlklem  30137  pthhashvtx  30202  wlkiswwlks2lem3  30347  wlkiswwlksupgr2  30353  clwlkclwwlklem2a  30476  wlk2v2e  30645  eucrct2eupth  30733  gsummulsubdishift1  33516  cycpmco2  33581  submat1n  34323  eulerpartlemd  34885  fzssfzo  35058  signstfvn  35085  remexz  42978  fzosumm1  43125  bccbc  45177  monoords  46138  stirlinglem12  46921  difltmodne  48244  muldvdsfacm1  48283  iccpartiltu  48330  iccpartigtl  48331  iccpartgt  48335  nprmmul1  48435  nnsum4primeseven  48724  nnsum4primesevenALTV  48725  nn0sumshdiglemA  49557  nn0sumshdiglemB  49558