Theorem fzoval 13397

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7291	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7303	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13392	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7317	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7437	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13393	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6621	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7465	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13252	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6621	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7465	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 481	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 809	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4257  𝒫 cpw 4534   × cxp 5588  (class class class)co 7284  1c1 10881   − cmin 11214  ℤcz 12328  ...cfz 13248  ..^cfzo 13391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-fv 6445  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-neg 11217  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-fzo 13392

This theorem is referenced by:  elfzo  13398  fzon  13417  fzoss1  13423  fzoss2  13424  fz1fzo0m1  13444  fzval3  13465  fzo13pr  13480  fzo0to2pr  13481  fzo0to3tp  13482  fzo0to42pr  13483  fzo1to4tp  13484  fzoend  13487  fzofzp1b  13494  elfzom1b  13495  peano2fzor  13503  fzoshftral  13513  zmodfzo  13623  zmodidfzo  13629  fzofi  13703  hashfzo  14153  wrdffz  14247  revcl  14483  revlen  14484  revccat  14488  revrev  14489  revco  14556  fzosump1  15473  telfsumo  15523  fsumparts  15527  geoser  15588  pwdif  15589  pwm1geoser  15590  geo2sum2  15595  dfphi2  16484  reumodprminv  16514  gsumwsubmcl  18484  gsumsgrpccat  18487  gsumccatOLD  18488  gsumwmhm  18493  efgsdmi  19347  efgs1b  19351  efgredlemf  19356  efgredlemd  19359  efgredlemc  19360  efgredlem  19362  cpmadugsumlemF  22034  advlogexp  25819  dchrisumlem1  26646  redwlklem  28048  wlkiswwlks2lem3  28245  wlkiswwlksupgr2  28251  clwlkclwwlklem2a  28371  wlk2v2e  28530  eucrct2eupth  28618  cycpmco2  31409  submat1n  31764  eulerpartlemd  32342  fzssfzo  32527  signstfvn  32557  pthhashvtx  33098  metakunt20  40151  fzosumm1  40225  bccbc  41970  monoords  42843  elfzolem1  42867  stirlinglem12  43633  iccpartiltu  44885  iccpartigtl  44886  iccpartgt  44890  nnsum4primeseven  45263  nnsum4primesevenALTV  45264  nn0sumshdiglemA  45976  nn0sumshdiglemB  45977