Theorem fzoval 13317

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7262	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7274	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13312	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7288	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7406	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13313	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6596	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7434	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13172	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6596	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7434	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 808	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530   × cxp 5578  (class class class)co 7255  1c1 10803   − cmin 11135  ℤcz 12249  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  elfzo  13318  fzon  13336  fzoss1  13342  fzoss2  13343  fz1fzo0m1  13363  fzval3  13384  fzo13pr  13399  fzo0to2pr  13400  fzo0to3tp  13401  fzo0to42pr  13402  fzo1to4tp  13403  fzoend  13406  fzofzp1b  13413  elfzom1b  13414  peano2fzor  13422  fzoshftral  13432  zmodfzo  13542  zmodidfzo  13548  fzofi  13622  hashfzo  14072  wrdffz  14166  revcl  14402  revlen  14403  revccat  14407  revrev  14408  revco  14475  fzosump1  15392  telfsumo  15442  fsumparts  15446  geoser  15507  pwdif  15508  pwm1geoser  15509  geo2sum2  15514  dfphi2  16403  reumodprminv  16433  gsumwsubmcl  18390  gsumsgrpccat  18393  gsumccatOLD  18394  gsumwmhm  18399  efgsdmi  19253  efgs1b  19257  efgredlemf  19262  efgredlemd  19265  efgredlemc  19266  efgredlem  19268  cpmadugsumlemF  21933  advlogexp  25715  dchrisumlem1  26542  redwlklem  27941  wlkiswwlks2lem3  28137  wlkiswwlksupgr2  28143  clwlkclwwlklem2a  28263  wlk2v2e  28422  eucrct2eupth  28510  cycpmco2  31302  submat1n  31657  eulerpartlemd  32233  fzssfzo  32418  signstfvn  32448  pthhashvtx  32989  metakunt20  40072  fzosumm1  40144  bccbc  41852  monoords  42726  elfzolem1  42750  stirlinglem12  43516  iccpartiltu  44762  iccpartigtl  44763  iccpartgt  44767  nnsum4primeseven  45140  nnsum4primesevenALTV  45141  nn0sumshdiglemA  45853  nn0sumshdiglemB  45854