Theorem fzoval 13667

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7405	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7417	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13662	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7431	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7553	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13663	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6705	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7582	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13518	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6705	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7582	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2802	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 484	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 821	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4557   × cxp 5647  (class class class)co 7398  1c1 11076   − cmin 11416  ℤcz 12570  ...cfz 13514  ..^cfzo 13661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-neg 11419  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-fzo 13662

This theorem is referenced by:  elfzo  13668  fzon  13688  fzoss1  13694  fzoss2  13695  elfzolem1  13712  fz1fzo0m1  13718  fzval3  13742  fzo13pr  13757  fzo0to2pr  13758  fzo0to3tp  13760  fzo0to42pr  13761  fzo1to4tp  13762  fzoend  13765  fzofzp1b  13773  elfzom1b  13774  peano2fzor  13783  fzoshftral  13795  zmodfzo  13906  zmodidfzo  13912  fzofi  13989  hashfzo  14444  wrdffz  14550  revcl  14776  revlen  14777  revccat  14781  revrev  14782  revco  14849  fzosump1  15781  telfsumo  15832  fsumparts  15836  geoser  15899  pwdif  15900  pwm1geoser  15901  geo2sum2  15906  dfphi2  16811  reumodprminv  16842  gsumwsubmcl  18873  gsumsgrpccat  18876  gsumwmhm  18881  efgsdmi  19774  efgs1b  19778  efgredlemf  19783  efgredlemd  19786  efgredlemc  19787  efgredlem  19789  cpmadugsumlemF  22938  advlogexp  26722  dchrisumlem1  27555  redwlklem  29872  wlkiswwlks2lem3  30073  wlkiswwlksupgr2  30079  clwlkclwwlklem2a  30202  wlk2v2e  30361  eucrct2eupth  30449  gsummulsubdishift1  33250  cycpmco2  33315  submat1n  34104  eulerpartlemd  34665  fzssfzo  34838  signstfvn  34865  pthhashvtx  35483  remexz  42726  fzosumm1  42871  bccbc  44926  monoords  45881  stirlinglem12  46664  difltmodne  47947  muldvdsfacm1  47986  iccpartiltu  48033  iccpartigtl  48034  iccpartgt  48038  nprmmul1  48138  nnsum4primeseven  48427  nnsum4primesevenALTV  48428  nn0sumshdiglemA  49246  nn0sumshdiglemB  49247