Theorem fzoval 13717

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7455	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7467	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13712	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7481	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7605	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13713	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6758	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7634	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13571	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6758	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7634	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622   × cxp 5698  (class class class)co 7448  1c1 11185   − cmin 11520  ℤcz 12639  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712

This theorem is referenced by:  elfzo  13718  fzon  13737  fzoss1  13743  fzoss2  13744  fz1fzo0m1  13764  fzval3  13785  fzo13pr  13800  fzo0to2pr  13801  fzo0to3tp  13802  fzo0to42pr  13803  fzo1to4tp  13804  fzoend  13807  fzofzp1b  13815  elfzom1b  13816  peano2fzor  13824  fzoshftral  13834  zmodfzo  13945  zmodidfzo  13951  fzofi  14025  hashfzo  14478  wrdffz  14583  revcl  14809  revlen  14810  revccat  14814  revrev  14815  revco  14883  fzosump1  15800  telfsumo  15850  fsumparts  15854  geoser  15915  pwdif  15916  pwm1geoser  15917  geo2sum2  15922  dfphi2  16821  reumodprminv  16851  gsumwsubmcl  18872  gsumsgrpccat  18875  gsumwmhm  18880  efgsdmi  19774  efgs1b  19778  efgredlemf  19783  efgredlemd  19786  efgredlemc  19787  efgredlem  19789  cpmadugsumlemF  22903  advlogexp  26715  dchrisumlem1  27551  redwlklem  29707  wlkiswwlks2lem3  29904  wlkiswwlksupgr2  29910  clwlkclwwlklem2a  30030  wlk2v2e  30189  eucrct2eupth  30277  cycpmco2  33126  submat1n  33751  eulerpartlemd  34331  fzssfzo  34516  signstfvn  34546  pthhashvtx  35095  remexz  42061  metakunt20  42181  fzosumm1  42245  bccbc  44314  monoords  45212  elfzolem1  45236  stirlinglem12  46006  iccpartiltu  47296  iccpartigtl  47297  iccpartgt  47301  nnsum4primeseven  47674  nnsum4primesevenALTV  47675  nn0sumshdiglemA  48353  nn0sumshdiglemB  48354