Theorem fzoval 13609

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7367	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7379	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13604	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7393	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7515	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13605	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6670	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7544	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13460	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6670	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7544	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 482	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 818	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∅c0 4264  𝒫 cpw 4532   × cxp 5619  (class class class)co 7360  1c1 11034   − cmin 11372  ℤcz 12519  ...cfz 13456  ..^cfzo 13603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604

This theorem is referenced by:  elfzo  13610  fzon  13630  fzoss1  13636  fzoss2  13637  elfzolem1  13654  fz1fzo0m1  13660  fzval3  13684  fzo13pr  13699  fzo0to2pr  13700  fzo0to3tp  13702  fzo0to42pr  13703  fzo1to4tp  13704  fzoend  13707  fzofzp1b  13715  elfzom1b  13716  peano2fzor  13725  fzoshftral  13737  zmodfzo  13848  zmodidfzo  13854  fzofi  13931  hashfzo  14386  wrdffz  14492  revcl  14718  revlen  14719  revccat  14723  revrev  14724  revco  14791  fzosump1  15709  telfsumo  15760  fsumparts  15764  geoser  15827  pwdif  15828  pwm1geoser  15829  geo2sum2  15834  dfphi2  16739  reumodprminv  16770  gsumwsubmcl  18800  gsumsgrpccat  18803  gsumwmhm  18808  efgsdmi  19702  efgs1b  19706  efgredlemf  19711  efgredlemd  19714  efgredlemc  19715  efgredlem  19717  cpmadugsumlemF  22863  advlogexp  26641  dchrisumlem1  27474  redwlklem  29760  wlkiswwlks2lem3  29961  wlkiswwlksupgr2  29967  clwlkclwwlklem2a  30090  wlk2v2e  30249  eucrct2eupth  30337  gsummulsubdishift1  33153  cycpmco2  33218  submat1n  34001  eulerpartlemd  34562  fzssfzo  34735  signstfvn  34765  pthhashvtx  35371  remexz  42604  fzosumm1  42749  bccbc  44804  monoords  45759  stirlinglem12  46542  difltmodne  47825  muldvdsfacm1  47864  iccpartiltu  47911  iccpartigtl  47912  iccpartgt  47916  nprmmul1  48016  nnsum4primeseven  48305  nnsum4primesevenALTV  48306  nn0sumshdiglemA  49124  nn0sumshdiglemB  49125