Theorem fzoval 13590

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7377	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7389	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13585	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7403	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7525	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13586	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6683	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7554	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13441	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6683	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7554	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556   × cxp 5632  (class class class)co 7370  1c1 11041   − cmin 11378  ℤcz 12502  ...cfz 13437  ..^cfzo 13584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-neg 11381  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585

This theorem is referenced by:  elfzo  13591  fzon  13610  fzoss1  13616  fzoss2  13617  elfzolem1  13634  fz1fzo0m1  13640  fzval3  13664  fzo13pr  13679  fzo0to2pr  13680  fzo0to3tp  13682  fzo0to42pr  13683  fzo1to4tp  13684  fzoend  13687  fzofzp1b  13695  elfzom1b  13696  peano2fzor  13705  fzoshftral  13717  zmodfzo  13828  zmodidfzo  13834  fzofi  13911  hashfzo  14366  wrdffz  14472  revcl  14698  revlen  14699  revccat  14703  revrev  14704  revco  14771  fzosump1  15689  telfsumo  15739  fsumparts  15743  geoser  15804  pwdif  15805  pwm1geoser  15806  geo2sum2  15811  dfphi2  16715  reumodprminv  16746  gsumwsubmcl  18776  gsumsgrpccat  18779  gsumwmhm  18784  efgsdmi  19678  efgs1b  19682  efgredlemf  19687  efgredlemd  19690  efgredlemc  19691  efgredlem  19693  cpmadugsumlemF  22837  advlogexp  26637  dchrisumlem1  27473  redwlklem  29761  wlkiswwlks2lem3  29962  wlkiswwlksupgr2  29968  clwlkclwwlklem2a  30091  wlk2v2e  30250  eucrct2eupth  30338  gsummulsubdishift1  33168  cycpmco2  33233  submat1n  33989  eulerpartlemd  34550  fzssfzo  34723  signstfvn  34753  pthhashvtx  35350  remexz  42503  fzosumm1  42649  bccbc  44730  monoords  45688  stirlinglem12  46472  difltmodne  47731  iccpartiltu  47811  iccpartigtl  47812  iccpartgt  47816  nnsum4primeseven  48189  nnsum4primesevenALTV  48190  nn0sumshdiglemA  49008  nn0sumshdiglemB  49009