Theorem fzoval 13576

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7365	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7377	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13571	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7391	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7513	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13572	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6673	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7542	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13427	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6673	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7542	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554   × cxp 5622  (class class class)co 7358  1c1 11027   − cmin 11364  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571

This theorem is referenced by:  elfzo  13577  fzon  13596  fzoss1  13602  fzoss2  13603  elfzolem1  13620  fz1fzo0m1  13626  fzval3  13650  fzo13pr  13665  fzo0to2pr  13666  fzo0to3tp  13668  fzo0to42pr  13669  fzo1to4tp  13670  fzoend  13673  fzofzp1b  13681  elfzom1b  13682  peano2fzor  13691  fzoshftral  13703  zmodfzo  13814  zmodidfzo  13820  fzofi  13897  hashfzo  14352  wrdffz  14458  revcl  14684  revlen  14685  revccat  14689  revrev  14690  revco  14757  fzosump1  15675  telfsumo  15725  fsumparts  15729  geoser  15790  pwdif  15791  pwm1geoser  15792  geo2sum2  15797  dfphi2  16701  reumodprminv  16732  gsumwsubmcl  18762  gsumsgrpccat  18765  gsumwmhm  18770  efgsdmi  19661  efgs1b  19665  efgredlemf  19670  efgredlemd  19673  efgredlemc  19674  efgredlem  19676  cpmadugsumlemF  22820  advlogexp  26620  dchrisumlem1  27456  redwlklem  29743  wlkiswwlks2lem3  29944  wlkiswwlksupgr2  29950  clwlkclwwlklem2a  30073  wlk2v2e  30232  eucrct2eupth  30320  gsummulsubdishift1  33151  cycpmco2  33215  submat1n  33962  eulerpartlemd  34523  fzssfzo  34696  signstfvn  34726  pthhashvtx  35322  remexz  42358  fzosumm1  42505  bccbc  44586  monoords  45545  stirlinglem12  46329  difltmodne  47588  iccpartiltu  47668  iccpartigtl  47669  iccpartgt  47673  nnsum4primeseven  48046  nnsum4primesevenALTV  48047  nn0sumshdiglemA  48865  nn0sumshdiglemB  48866