Theorem fzoval 13583

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7369	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7381	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13578	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7395	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7515	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13579	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6685	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7543	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13438	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6685	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7543	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 481	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 810	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4565   × cxp 5636  (class class class)co 7362  1c1 11061   − cmin 11394  ℤcz 12508  ...cfz 13434  ..^cfzo 13577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-neg 11397  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578

This theorem is referenced by:  elfzo  13584  fzon  13603  fzoss1  13609  fzoss2  13610  fz1fzo0m1  13630  fzval3  13651  fzo13pr  13666  fzo0to2pr  13667  fzo0to3tp  13668  fzo0to42pr  13669  fzo1to4tp  13670  fzoend  13673  fzofzp1b  13680  elfzom1b  13681  peano2fzor  13689  fzoshftral  13699  zmodfzo  13809  zmodidfzo  13815  fzofi  13889  hashfzo  14339  wrdffz  14435  revcl  14661  revlen  14662  revccat  14666  revrev  14667  revco  14735  fzosump1  15648  telfsumo  15698  fsumparts  15702  geoser  15763  pwdif  15764  pwm1geoser  15765  geo2sum2  15770  dfphi2  16657  reumodprminv  16687  gsumwsubmcl  18661  gsumsgrpccat  18664  gsumwmhm  18669  efgsdmi  19528  efgs1b  19532  efgredlemf  19537  efgredlemd  19540  efgredlemc  19541  efgredlem  19543  cpmadugsumlemF  22262  advlogexp  26047  dchrisumlem1  26874  redwlklem  28682  wlkiswwlks2lem3  28879  wlkiswwlksupgr2  28885  clwlkclwwlklem2a  29005  wlk2v2e  29164  eucrct2eupth  29252  cycpmco2  32052  submat1n  32475  eulerpartlemd  33055  fzssfzo  33240  signstfvn  33270  pthhashvtx  33808  metakunt20  40669  fzosumm1  40737  bccbc  42747  monoords  43652  elfzolem1  43676  stirlinglem12  44446  iccpartiltu  45734  iccpartigtl  45735  iccpartgt  45739  nnsum4primeseven  46112  nnsum4primesevenALTV  46113  nn0sumshdiglemA  46825  nn0sumshdiglemB  46826