Theorem fzoval 13597

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7388	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13592	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7402	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7524	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13593	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6681	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7553	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13448	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6681	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7553	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559   × cxp 5629  (class class class)co 7369  1c1 11045   − cmin 11381  ℤcz 12505  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  elfzo  13598  fzon  13617  fzoss1  13623  fzoss2  13624  elfzolem1  13641  fz1fzo0m1  13647  fzval3  13671  fzo13pr  13686  fzo0to2pr  13687  fzo0to3tp  13689  fzo0to42pr  13690  fzo1to4tp  13691  fzoend  13694  fzofzp1b  13702  elfzom1b  13703  peano2fzor  13711  fzoshftral  13721  zmodfzo  13832  zmodidfzo  13838  fzofi  13915  hashfzo  14370  wrdffz  14476  revcl  14702  revlen  14703  revccat  14707  revrev  14708  revco  14776  fzosump1  15694  telfsumo  15744  fsumparts  15748  geoser  15809  pwdif  15810  pwm1geoser  15811  geo2sum2  15816  dfphi2  16720  reumodprminv  16751  gsumwsubmcl  18746  gsumsgrpccat  18749  gsumwmhm  18754  efgsdmi  19646  efgs1b  19650  efgredlemf  19655  efgredlemd  19658  efgredlemc  19659  efgredlem  19661  cpmadugsumlemF  22796  advlogexp  26597  dchrisumlem1  27433  redwlklem  29650  wlkiswwlks2lem3  29851  wlkiswwlksupgr2  29857  clwlkclwwlklem2a  29977  wlk2v2e  30136  eucrct2eupth  30224  cycpmco2  33105  submat1n  33788  eulerpartlemd  34350  fzssfzo  34523  signstfvn  34553  pthhashvtx  35108  remexz  42085  fzosumm1  42231  bccbc  44327  monoords  45288  stirlinglem12  46076  difltmodne  47336  iccpartiltu  47416  iccpartigtl  47417  iccpartgt  47421  nnsum4primeseven  47794  nnsum4primesevenALTV  47795  nn0sumshdiglemA  48601  nn0sumshdiglemB  48602