Theorem fzoval 13717

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7435	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13712	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7449	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7571	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13713	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6718	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7601	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 160	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13567	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6718	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7601	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 160	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 486	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 824	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560   × cxp 5657  (class class class)co 7416  1c1 11128   − cmin 11468  ℤcz 12618  ...cfz 13563  ..^cfzo 13711

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-neg 11471  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712

This theorem is used by:  elfzo  13718  fzon  13738  fzoss1  13744  fzoss2  13745  elfzolem1  13762  fz1fzo0m1  13768  fzval3  13792  fzo13pr  13807  fzo0to2pr  13808  fzo0to3tp  13810  fzo0to42pr  13811  fzo1to4tp  13812  fzoend  13815  fzofzp1b  13823  elfzom1b  13824  peano2fzor  13833  fzoshftral  13845  zmodfzo  13957  zmodidfzo  13963  fzofi  14040  hashfzo  14496  wrdffz  14602  revcl  14832  revlen  14833  revccat  14837  revrev  14838  revco  14907  fzosump1  15840  telfsumo  15891  fsumparts  15895  geoser  15958  pwdif  15959  pwm1geoser  15960  geo2sum2  15965  dfphi2  16869  reumodprminv  16900  gsumwsubmcl  18947  gsumsgrpccat  18950  gsumwmhm  18955  efgsdmi  19860  efgs1b  19864  efgredlemf  19869  efgredlemd  19872  efgredlemc  19873  efgredlem  19875  cpmadugsumlemF  23102  advlogexp  26890  dchrisumlem1  27723  redwlklem  30115  pthhashvtx  30180  wlkiswwlks2lem3  30325  wlkiswwlksupgr2  30331  clwlkclwwlklem2a  30454  wlk2v2e  30623  eucrct2eupth  30711  gsummulsubdishift1  33495  cycpmco2  33560  submat1n  34302  eulerpartlemd  34864  fzssfzo  35037  signstfvn  35064  remexz  42957  fzosumm1  43104  bccbc  45156  monoords  46117  stirlinglem12  46900  difltmodne  48223  muldvdsfacm1  48262  iccpartiltu  48309  iccpartigtl  48310  iccpartgt  48314  nprmmul1  48414  nnsum4primeseven  48703  nnsum4primesevenALTV  48704  nn0sumshdiglemA  49536  nn0sumshdiglemB  49537