Theorem fzoval 13794

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7439	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13789	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7453	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7575	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13790	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6721	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7605	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 160	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13643	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6721	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7605	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 160	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 486	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 824	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556   × cxp 5648  (class class class)co 7420  1c1 11201   − cmin 11541  ℤcz 12693  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789

This theorem is used by:  elfzo  13795  fzon  13815  fzoss1  13821  fzoss2  13822  elfzolem1  13839  fz1fzo0m1  13845  fzval3  13869  fzo13pr  13884  fzo0to2pr  13885  fzo0to3tp  13887  fzo0to42pr  13888  fzo1to4tp  13889  fzoend  13892  fzofzp1b  13900  elfzom1b  13901  peano2fzor  13910  fzoshftral  13922  zmodfzo  14034  zmodidfzo  14040  fzofi  14117  hashfzo  14574  wrdffz  14680  revcl  14910  revlen  14911  revccat  14915  revrev  14916  revco  14985  fzosump1  15918  telfsumo  15969  fsumparts  15973  geoser  16036  pwdif  16037  pwm1geoser  16038  geo2sum2  16043  dfphi2  16951  reumodprminv  16982  gsumwsubmcl  19033  gsumsgrpccat  19036  gsumwmhm  19041  efgsdmi  19946  efgs1b  19950  efgredlemf  19955  efgredlemd  19958  efgredlemc  19959  efgredlem  19961  cpmadugsumlemF  23194  advlogexp  26983  dchrisumlem1  27816  redwlklem  30250  pthhashvtx  30315  wlkiswwlks2lem3  30460  wlkiswwlksupgr2  30466  clwlkclwwlklem2a  30589  wlk2v2e  30758  eucrct2eupth  30846  gsummulsubdishift1  33629  cycpmco2  33694  submat1n  34437  eulerpartlemd  34998  fzssfzo  35171  signstfvn  35198  remexz  43155  fzosumm1  43302  bccbc  45329  monoords  46313  stirlinglem12  47095  difltmodne  48418  muldvdsfacm1  48457  iccpartiltu  48504  iccpartigtl  48505  iccpartgt  48509  nprmmul1  48609  nnsum4primeseven  48898  nnsum4primesevenALTV  48899  nn0sumshdiglemA  49731  nn0sumshdiglemB  49732