Theorem fzoval 13688

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7418	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7430	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13683	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7444	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7566	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13684	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6718	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7595	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 160	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13539	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6718	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7595	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 160	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 485	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 823	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4565   × cxp 5660  (class class class)co 7411  1c1 11101   − cmin 11441  ℤcz 12591  ...cfz 13535  ..^cfzo 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-neg 11444  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683

This theorem is referenced by:  elfzo  13689  fzon  13709  fzoss1  13715  fzoss2  13716  elfzolem1  13733  fz1fzo0m1  13739  fzval3  13763  fzo13pr  13778  fzo0to2pr  13779  fzo0to3tp  13781  fzo0to42pr  13782  fzo1to4tp  13783  fzoend  13786  fzofzp1b  13794  elfzom1b  13795  peano2fzor  13804  fzoshftral  13816  zmodfzo  13927  zmodidfzo  13933  fzofi  14010  hashfzo  14466  wrdffz  14572  revcl  14798  revlen  14799  revccat  14803  revrev  14804  revco  14871  fzosump1  15803  telfsumo  15854  fsumparts  15858  geoser  15921  pwdif  15922  pwm1geoser  15923  geo2sum2  15928  dfphi2  16833  reumodprminv  16864  gsumwsubmcl  18896  gsumsgrpccat  18899  gsumwmhm  18904  efgsdmi  19802  efgs1b  19806  efgredlemf  19811  efgredlemd  19814  efgredlemc  19815  efgredlem  19817  cpmadugsumlemF  23002  advlogexp  26786  dchrisumlem1  27619  redwlklem  29960  wlkiswwlks2lem3  30161  wlkiswwlksupgr2  30167  clwlkclwwlklem2a  30290  wlk2v2e  30449  eucrct2eupth  30537  gsummulsubdishift1  33329  cycpmco2  33394  submat1n  34140  eulerpartlemd  34701  fzssfzo  34874  signstfvn  34901  pthhashvtx  35553  remexz  42796  fzosumm1  42943  bccbc  44982  monoords  45943  stirlinglem12  46726  difltmodne  48009  muldvdsfacm1  48048  iccpartiltu  48095  iccpartigtl  48096  iccpartgt  48100  nprmmul1  48200  nnsum4primeseven  48489  nnsum4primesevenALTV  48490  nn0sumshdiglemA  49319  nn0sumshdiglemB  49320