Theorem fzoval 13628

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7397	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7409	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13623	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7423	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7547	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13624	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6702	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7576	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13479	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6702	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7576	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566   × cxp 5639  (class class class)co 7390  1c1 11076   − cmin 11412  ℤcz 12536  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-neg 11415  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623

This theorem is referenced by:  elfzo  13629  fzon  13648  fzoss1  13654  fzoss2  13655  elfzolem1  13672  fz1fzo0m1  13678  fzval3  13702  fzo13pr  13717  fzo0to2pr  13718  fzo0to3tp  13720  fzo0to42pr  13721  fzo1to4tp  13722  fzoend  13725  fzofzp1b  13733  elfzom1b  13734  peano2fzor  13742  fzoshftral  13752  zmodfzo  13863  zmodidfzo  13869  fzofi  13946  hashfzo  14401  wrdffz  14507  revcl  14733  revlen  14734  revccat  14738  revrev  14739  revco  14807  fzosump1  15725  telfsumo  15775  fsumparts  15779  geoser  15840  pwdif  15841  pwm1geoser  15842  geo2sum2  15847  dfphi2  16751  reumodprminv  16782  gsumwsubmcl  18771  gsumsgrpccat  18774  gsumwmhm  18779  efgsdmi  19669  efgs1b  19673  efgredlemf  19678  efgredlemd  19681  efgredlemc  19682  efgredlem  19684  cpmadugsumlemF  22770  advlogexp  26571  dchrisumlem1  27407  redwlklem  29606  wlkiswwlks2lem3  29808  wlkiswwlksupgr2  29814  clwlkclwwlklem2a  29934  wlk2v2e  30093  eucrct2eupth  30181  cycpmco2  33097  submat1n  33802  eulerpartlemd  34364  fzssfzo  34537  signstfvn  34567  pthhashvtx  35122  remexz  42099  fzosumm1  42245  bccbc  44341  monoords  45302  stirlinglem12  46090  difltmodne  47347  iccpartiltu  47427  iccpartigtl  47428  iccpartgt  47432  nnsum4primeseven  47805  nnsum4primesevenALTV  47806  nn0sumshdiglemA  48612  nn0sumshdiglemB  48613