Theorem fzoval 13696

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7437	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13691	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7463	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7587	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13692	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6747	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7616	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13547	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6747	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7616	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∅c0 4338  𝒫 cpw 4604   × cxp 5686  (class class class)co 7430  1c1 11153   − cmin 11489  ℤcz 12610  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691

This theorem is referenced by:  elfzo  13697  fzon  13716  fzoss1  13722  fzoss2  13723  elfzolem1  13740  fz1fzo0m1  13746  fzval3  13769  fzo13pr  13784  fzo0to2pr  13785  fzo0to3tp  13787  fzo0to42pr  13788  fzo1to4tp  13789  fzoend  13792  fzofzp1b  13800  elfzom1b  13801  peano2fzor  13809  fzoshftral  13819  zmodfzo  13930  zmodidfzo  13936  fzofi  14011  hashfzo  14464  wrdffz  14569  revcl  14795  revlen  14796  revccat  14800  revrev  14801  revco  14869  fzosump1  15784  telfsumo  15834  fsumparts  15838  geoser  15899  pwdif  15900  pwm1geoser  15901  geo2sum2  15906  dfphi2  16807  reumodprminv  16837  gsumwsubmcl  18862  gsumsgrpccat  18865  gsumwmhm  18870  efgsdmi  19764  efgs1b  19768  efgredlemf  19773  efgredlemd  19776  efgredlemc  19777  efgredlem  19779  cpmadugsumlemF  22897  advlogexp  26711  dchrisumlem1  27547  redwlklem  29703  wlkiswwlks2lem3  29900  wlkiswwlksupgr2  29906  clwlkclwwlklem2a  30026  wlk2v2e  30185  eucrct2eupth  30273  cycpmco2  33135  submat1n  33765  eulerpartlemd  34347  fzssfzo  34532  signstfvn  34562  pthhashvtx  35111  remexz  42085  metakunt20  42205  fzosumm1  42269  bccbc  44340  monoords  45247  stirlinglem12  46040  difltmodne  47281  iccpartiltu  47346  iccpartigtl  47347  iccpartgt  47351  nnsum4primeseven  47724  nnsum4primesevenALTV  47725  nn0sumshdiglemA  48468  nn0sumshdiglemB  48469