MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzoval 13527
Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoval (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝑚 = 𝑀𝑚 = 𝑀)
2 oveq1 7358 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
31, 2oveqan12d 7370 . . 3 ((𝑚 = 𝑀𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4 df-fzo 13522 . . 3 ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5 ovex 7384 . . 3 (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
63, 4, 5ovmpoa 7504 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7 simpl 483 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8 fzof 13523 . . . . . . 7 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
98fdmi 6677 . . . . . 6 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
109ndmov 7532 . . . . 5 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
117, 10nsyl5 159 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12 simpl 483 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 fzf 13382 . . . . . . 7 ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
1413fdmi 6677 . . . . . 6 dom ... = (ℤ × ℤ)
1514ndmov 7532 . . . . 5 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
1612, 15nsyl5 159 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
1711, 16eqtr4d 2780 . . 3 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
1817adantr 481 . 2 ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
196, 18pm2.61ian 810 1 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  c0 4280  𝒫 cpw 4558   × cxp 5629  (class class class)co 7351  1c1 11010  cmin 11343  cz 12457  ...cfz 13378  ..^cfzo 13521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-neg 11346  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522
This theorem is referenced by:  elfzo  13528  fzon  13547  fzoss1  13553  fzoss2  13554  fz1fzo0m1  13574  fzval3  13595  fzo13pr  13610  fzo0to2pr  13611  fzo0to3tp  13612  fzo0to42pr  13613  fzo1to4tp  13614  fzoend  13617  fzofzp1b  13624  elfzom1b  13625  peano2fzor  13633  fzoshftral  13643  zmodfzo  13753  zmodidfzo  13759  fzofi  13833  hashfzo  14283  wrdffz  14377  revcl  14607  revlen  14608  revccat  14612  revrev  14613  revco  14681  fzosump1  15597  telfsumo  15647  fsumparts  15651  geoser  15712  pwdif  15713  pwm1geoser  15714  geo2sum2  15719  dfphi2  16606  reumodprminv  16636  gsumwsubmcl  18607  gsumsgrpccat  18610  gsumwmhm  18615  efgsdmi  19473  efgs1b  19477  efgredlemf  19482  efgredlemd  19485  efgredlemc  19486  efgredlem  19488  cpmadugsumlemF  22177  advlogexp  25962  dchrisumlem1  26789  redwlklem  28448  wlkiswwlks2lem3  28645  wlkiswwlksupgr2  28651  clwlkclwwlklem2a  28771  wlk2v2e  28930  eucrct2eupth  29018  cycpmco2  31808  submat1n  32198  eulerpartlemd  32778  fzssfzo  32963  signstfvn  32993  pthhashvtx  33533  metakunt20  40534  fzosumm1  40603  bccbc  42536  monoords  43436  elfzolem1  43460  stirlinglem12  44227  iccpartiltu  45515  iccpartigtl  45516  iccpartgt  45520  nnsum4primeseven  45893  nnsum4primesevenALTV  45894  nn0sumshdiglemA  46606  nn0sumshdiglemB  46607
  Copyright terms: Public domain W3C validator