Theorem fzoval 13614

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7386	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13609	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7400	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7522	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13610	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6679	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7551	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13465	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6679	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7551	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541   × cxp 5629  (class class class)co 7367  1c1 11039   − cmin 11377  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  elfzo  13615  fzon  13635  fzoss1  13641  fzoss2  13642  elfzolem1  13659  fz1fzo0m1  13665  fzval3  13689  fzo13pr  13704  fzo0to2pr  13705  fzo0to3tp  13707  fzo0to42pr  13708  fzo1to4tp  13709  fzoend  13712  fzofzp1b  13720  elfzom1b  13721  peano2fzor  13730  fzoshftral  13742  zmodfzo  13853  zmodidfzo  13859  fzofi  13936  hashfzo  14391  wrdffz  14497  revcl  14723  revlen  14724  revccat  14728  revrev  14729  revco  14796  fzosump1  15714  telfsumo  15765  fsumparts  15769  geoser  15832  pwdif  15833  pwm1geoser  15834  geo2sum2  15839  dfphi2  16744  reumodprminv  16775  gsumwsubmcl  18805  gsumsgrpccat  18808  gsumwmhm  18813  efgsdmi  19707  efgs1b  19711  efgredlemf  19716  efgredlemd  19719  efgredlemc  19720  efgredlem  19722  cpmadugsumlemF  22841  advlogexp  26619  dchrisumlem1  27452  redwlklem  29738  wlkiswwlks2lem3  29939  wlkiswwlksupgr2  29945  clwlkclwwlklem2a  30068  wlk2v2e  30227  eucrct2eupth  30315  gsummulsubdishift1  33129  cycpmco2  33194  submat1n  33949  eulerpartlemd  34510  fzssfzo  34683  signstfvn  34713  pthhashvtx  35310  remexz  42543  fzosumm1  42689  bccbc  44772  monoords  45730  stirlinglem12  46513  difltmodne  47796  muldvdsfacm1  47835  iccpartiltu  47882  iccpartigtl  47883  iccpartgt  47887  nprmmul1  47987  nnsum4primeseven  48276  nnsum4primesevenALTV  48277  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096