Theorem fzoval 13677

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7424	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13672	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7438	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7562	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13673	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6717	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7591	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13528	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6717	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7591	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 159	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2773	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575   × cxp 5652  (class class class)co 7405  1c1 11130   − cmin 11466  ℤcz 12588  ...cfz 13524  ..^cfzo 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-neg 11469  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672

This theorem is referenced by:  elfzo  13678  fzon  13697  fzoss1  13703  fzoss2  13704  elfzolem1  13721  fz1fzo0m1  13727  fzval3  13750  fzo13pr  13765  fzo0to2pr  13766  fzo0to3tp  13768  fzo0to42pr  13769  fzo1to4tp  13770  fzoend  13773  fzofzp1b  13781  elfzom1b  13782  peano2fzor  13790  fzoshftral  13800  zmodfzo  13911  zmodidfzo  13917  fzofi  13992  hashfzo  14447  wrdffz  14553  revcl  14779  revlen  14780  revccat  14784  revrev  14785  revco  14853  fzosump1  15768  telfsumo  15818  fsumparts  15822  geoser  15883  pwdif  15884  pwm1geoser  15885  geo2sum2  15890  dfphi2  16793  reumodprminv  16824  gsumwsubmcl  18815  gsumsgrpccat  18818  gsumwmhm  18823  efgsdmi  19713  efgs1b  19717  efgredlemf  19722  efgredlemd  19725  efgredlemc  19726  efgredlem  19728  cpmadugsumlemF  22814  advlogexp  26616  dchrisumlem1  27452  redwlklem  29651  wlkiswwlks2lem3  29853  wlkiswwlksupgr2  29859  clwlkclwwlklem2a  29979  wlk2v2e  30138  eucrct2eupth  30226  cycpmco2  33144  submat1n  33836  eulerpartlemd  34398  fzssfzo  34571  signstfvn  34601  pthhashvtx  35150  remexz  42117  metakunt20  42237  fzosumm1  42301  bccbc  44369  monoords  45326  stirlinglem12  46114  difltmodne  47371  iccpartiltu  47436  iccpartigtl  47437  iccpartgt  47441  nnsum4primeseven  47814  nnsum4primesevenALTV  47815  nn0sumshdiglemA  48599  nn0sumshdiglemB  48600