Theorem fzoval 13209

Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzoval	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Proof of Theorem fzoval

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → 𝑚 = 𝑀)
2		oveq1 7198	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 1) = (𝑁 − 1))
3	1, 2	oveqan12d 7210	. . 3 ⊢ ((𝑚 = 𝑀 ∧ 𝑛 = 𝑁) → (𝑚...(𝑛 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
4		df-fzo 13204	. . 3 ⊢ ..^ = (𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑚...(𝑛 − 1)))
5		ovex 7224	. . 3 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ∈ V
6	3, 4, 5	ovmpoa 7342	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
7		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
8		fzof 13205	. . . . . . 7 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
9	8	fdmi 6535	. . . . . 6 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
10	9	ndmov 7370	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
11	7, 10	nsyl5 162	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = ∅)
12		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
13		fzf 13064	. . . . . . 7 ⊢ ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
14	13	fdmi 6535	. . . . . 6 ⊢ dom ... = (ℤ × ℤ)
15	14	ndmov 7370	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
16	12, 15	nsyl5 162	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 − 1)) = ∅)
17	11, 16	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
18	17	adantr 484	. 2 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
19	6, 18	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∅c0 4223  𝒫 cpw 4499   × cxp 5534  (class class class)co 7191  1c1 10695   − cmin 11027  ℤcz 12141  ...cfz 13060  ..^cfzo 13203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-neg 11030  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-fzo 13204

This theorem is referenced by:  elfzo  13210  fzon  13228  fzoss1  13234  fzoss2  13235  fz1fzo0m1  13255  fzval3  13276  fzo13pr  13291  fzo0to2pr  13292  fzo0to3tp  13293  fzo0to42pr  13294  fzo1to4tp  13295  fzoend  13298  fzofzp1b  13305  elfzom1b  13306  peano2fzor  13314  fzoshftral  13324  zmodfzo  13432  zmodidfzo  13438  fzofi  13512  hashfzo  13961  wrdffz  14055  revcl  14291  revlen  14292  revccat  14296  revrev  14297  revco  14364  fzosump1  15279  telfsumo  15329  fsumparts  15333  geoser  15394  pwdif  15395  pwm1geoser  15396  geo2sum2  15401  dfphi2  16290  reumodprminv  16320  gsumwsubmcl  18217  gsumsgrpccat  18220  gsumccatOLD  18221  gsumwmhm  18226  efgsdmi  19076  efgs1b  19080  efgredlemf  19085  efgredlemd  19088  efgredlemc  19089  efgredlem  19091  cpmadugsumlemF  21727  advlogexp  25497  dchrisumlem1  26324  redwlklem  27713  wlkiswwlks2lem3  27909  wlkiswwlksupgr2  27915  clwlkclwwlklem2a  28035  wlk2v2e  28194  eucrct2eupth  28282  cycpmco2  31073  submat1n  31423  eulerpartlemd  31999  fzssfzo  32184  signstfvn  32214  pthhashvtx  32756  metakunt20  39807  fzosumm1  39872  bccbc  41577  monoords  42450  elfzolem1  42474  stirlinglem12  43244  iccpartiltu  44490  iccpartigtl  44491  iccpartgt  44495  nnsum4primeseven  44868  nnsum4primesevenALTV  44869  nn0sumshdiglemA  45581  nn0sumshdiglemB  45582