Theorem xrgtned 13286

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrgtned.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrgtned.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrgtned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrgtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem xrgtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrgtned.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrgtned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrgtned.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		xrltne 13285	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341

This theorem is used by:  vietadeg1  34203  xrge0nemnfd  46313  xrltned  46338  infxr  46347  pimxrneun  46467  liminflimsupxrre  46796  ioorrnopnxrlem  47285  gsumge0cl  47350  sge0pr  47373  sge0rpcpnf  47400  sge0isum  47406  pimiooltgt  47689