Theorem xrgtned 42861

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrgtned.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrgtned.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrgtned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrgtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem xrgtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrgtned.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrgtned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrgtned.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		xrltne 12897	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  xrge0nemnfd  42871  xrltned  42896  infxr  42906  liminflimsupxrre  43358  ioorrnopnxrlem  43847  gsumge0cl  43909  sge0pr  43932  sge0rpcpnf  43959  sge0isum  43965