Theorem xrgtned 13184

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrgtned.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrgtned.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrgtned.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xrgtned	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem xrgtned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrgtned.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrgtned.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrgtned.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		xrltne 13183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243

This theorem is referenced by:  vietadeg1  33968  xrge0nemnfd  46048  xrltned  46073  infxr  46082  pimxrneun  46202  liminflimsupxrre  46531  ioorrnopnxrlem  47020  gsumge0cl  47085  sge0pr  47108  sge0rpcpnf  47135  sge0isum  47141  pimiooltgt  47424