Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xadd0ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadd0ge 44971
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xadd0ge.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xadd0ge.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xadd0ge (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xadd0ge
StepHypRef Expression
1 xadd0ge.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xaddrid 13268 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
43eqcomd 2732 . 2 (𝜑𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
5 0xr 11302 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
71, 6jca 510 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*))
8 iccssxr 13455 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
9 xadd0ge.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
108, 9sselid 3976 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
111, 10jca 510 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
127, 11jca 510 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)))
131xrleidd 13179 . . . 4 (𝜑𝐴𝐴)
14 pnfxr 11309 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
16 iccgelb 13428 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
176, 15, 9, 16syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
1813, 17jca 510 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
19 xle2add 13286 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
2012, 18, 19sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
214, 20eqbrtrd 5167 1 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  0cc0 11149  +∞cpnf 11286  *cxr 11288  cle 11290   +𝑒 cxad 13138  [,]cicc 13375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-xadd 13141  df-icc 13379
This theorem is referenced by:  xadd0ge2  44992  sge0xadd  46092  meassle  46120  ovnsubaddlem1  46227
  Copyright terms: Public domain W3C validator