Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xadd0ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadd0ge 44540
Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xadd0ge.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xadd0ge.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
xadd0ge (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xadd0ge
StepHypRef Expression
1 xadd0ge.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 xaddrid 13218 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
43eqcomd 2730 . 2 (𝜑𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
5 0xr 11259 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
71, 6jca 511 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*))
8 iccssxr 13405 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
9 xadd0ge.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
108, 9sselid 3973 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
111, 10jca 511 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
127, 11jca 511 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)))
131xrleidd 13129 . . . 4 (𝜑𝐴𝐴)
14 pnfxr 11266 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
16 iccgelb 13378 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
176, 15, 9, 16syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
1813, 17jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
19 xle2add 13236 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
2012, 18, 19sylc 65 . 2 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
214, 20eqbrtrd 5161 1 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  0cc0 11107  +∞cpnf 11243  *cxr 11245  cle 11247   +𝑒 cxad 13088  [,]cicc 13325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-xadd 13091  df-icc 13329
This theorem is referenced by:  xadd0ge2  44561  sge0xadd  45661  meassle  45689  ovnsubaddlem1  45796
  Copyright terms: Public domain W3C validator