Theorem xadd0ge 44693

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xadd0ge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xadd0ge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xadd0ge	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xadd0ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadd0ge.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddrid 13247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
5		0xr 11286	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
7	1, 6	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*))
8		iccssxr 13434	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
9		xadd0ge.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	8, 9	sselid 3977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	1, 10	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
12	7, 11	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)))
13	1	xrleidd 13158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
14		pnfxr 11293	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
16		iccgelb 13407	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
17	6, 15, 9, 16	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
18	13, 17	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
19		xle2add 13265	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
20	12, 18, 19	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
21	4, 20	eqbrtrd 5165	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  0cc0 11133  +∞cpnf 11270  ℝ^*cxr 11272   ≤ cle 11274   +_𝑒 cxad 13117  [,]cicc 13354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-xadd 13120  df-icc 13358

This theorem is referenced by:  xadd0ge2  44714  sge0xadd  45814  meassle  45842  ovnsubaddlem1  45949