Theorem xadd0ge 43803

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xadd0ge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xadd0ge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xadd0ge	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xadd0ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadd0ge.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddrid 13202	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
5		0xr 11243	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
7	1, 6	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*))
8		iccssxr 13389	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
9		xadd0ge.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	8, 9	sselid 3976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	1, 10	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
12	7, 11	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)))
13	1	xrleidd 13113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
14		pnfxr 11250	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
16		iccgelb 13362	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
17	6, 15, 9, 16	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
18	13, 17	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
19		xle2add 13220	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
20	12, 18, 19	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
21	4, 20	eqbrtrd 5163	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141  (class class class)co 7393  0cc0 11092  +∞cpnf 11227  ℝ^*cxr 11229   ≤ cle 11231   +_𝑒 cxad 13072  [,]cicc 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-xadd 13075  df-icc 13313

This theorem is referenced by:  xadd0ge2  43824  sge0xadd  44924  meassle  44952  ovnsubaddlem1  45059