Theorem xadd0ge 40448

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xadd0ge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xadd0ge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xadd0ge	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xadd0ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadd0ge.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddid1 12384	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
5		0xr 10423	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
7	1, 6	jca 507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*))
8		iccssxr 12568	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
9		xadd0ge.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	8, 9	sseldi 3819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	1, 10	jca 507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
12	7, 11	jca 507	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)))
13	1	xrleidd 12295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
14		pnfxr 10430	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
16		iccgelb 12542	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
17	6, 15, 9, 16	syl3anc 1439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
18	13, 17	jca 507	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
19		xle2add 12401	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
20	12, 18, 19	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
21	4, 20	eqbrtrd 4908	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  0cc0 10272  +∞cpnf 10408  ℝ^*cxr 10410   ≤ cle 10412   +_𝑒 cxad 12255  [,]cicc 12490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-xadd 12258  df-icc 12494

This theorem is referenced by:  xadd0ge2  40469  sge0xadd  41580  meassle  41608  ovnsubaddlem1  41715