Theorem xadd0ge 42397

Description: A number is less than or equal to itself plus a nonnegative extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xadd0ge.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xadd0ge.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
xadd0ge	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xadd0ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xadd0ge.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xaddid1 12717	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
5		0xr 10766	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
7	1, 6	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*))
8		iccssxr 12904	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
9		xadd0ge.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
10	8, 9	sseldi 3875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
11	1, 10	jca 515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
12	7, 11	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)))
13	1	xrleidd 12628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
14		pnfxr 10773	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
16		iccgelb 12877	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
17	6, 15, 9, 16	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
18	13, 17	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
19		xle2add 12735	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*)) → ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵)))
20	12, 18, 19	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 0) ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))
21	4, 20	eqbrtrd 5052	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴 +𝑒 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  0cc0 10615  +∞cpnf 10750  ℝ^*cxr 10752   ≤ cle 10754   +_𝑒 cxad 12588  [,]cicc 12824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-xadd 12591  df-icc 12828

This theorem is referenced by:  xadd0ge2  42418  sge0xadd  43515  meassle  43543  ovnsubaddlem1  43650