Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundjiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundjiun 41314
Description: Given a sequence 𝐸 of sets, a sequence 𝐹 of disjoint sets is built, such that the indexed union stays the same. As in the proof of Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iundjiun.nph 𝑛𝜑
iundjiun.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
iundjiun.e (𝜑𝐸:𝑍𝑉)
iundjiun.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
iundjiun (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑚,𝑛   𝑚,𝐹   𝑖,𝑁,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛   𝜑,𝑖,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑉(𝑖,𝑚,𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiun
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eliun 4680 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
21biimpi 207 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
32adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
4 iundjiun.nph . . . . . . . . 9 𝑛𝜑
5 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑥
6 nfiu1 4706 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)
75, 6nfel 2920 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)
8 simp2 1167 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚))
9 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → 𝜑)
10 elfzuz 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
11 iundjiun.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑍 = (ℤ𝑁)
1211eqcomi 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑁) = 𝑍
1310, 12syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛𝑍)
1413adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → 𝑛𝑍)
15 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
16 iundjiun.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐸:𝑍𝑉)
1716ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝑉)
18 difexg 4969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐸𝑛) ∈ 𝑉 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V)
20 iundjiun.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2120fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍 ∧ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ∈ V) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2215, 19, 21syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
23 difssd 3900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) ⊆ (𝐸𝑛))
2422, 23eqsstrd 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
259, 14, 24syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
26253adant3 1162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → (𝐹𝑛) ⊆ (𝐸𝑛))
27 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
2826, 27sseldd 3762 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
29 rspe 3149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
308, 28, 29syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
31 eliun 4680 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
3230, 31sylibr 225 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
33323exp 1148 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))))
344, 7, 33rexlimd 3173 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)))
3534adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)) → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)))
363, 35mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
3736ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
38 dfss3 3750 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛)𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
3937, 38sylibr 225 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) ⊆ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
40 fzssuz 12589 . . . . . . . . 9 (𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ𝑁)
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → (𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ𝑁))
4231biimpi 207 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
43 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)
44 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑖))
4544eleq2d 2830 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
4643, 45uzwo4 39872 . . . . . . . 8 (((𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))))
4741, 42, 46syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))))
4847adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))))
49 simprl 787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑛))
50 nfv 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑖(𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚))
51 nfra1 3088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑖𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
5250, 51nfan 1998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
53 elfzoelz 12678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ ℤ)
5453zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ ℝ)
5554adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℝ)
56 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ ℤ)
5756zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ ℝ)
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
59 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
6058, 59resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
61 elfzolem1 40175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ≤ (𝑛 − 1))
6261adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ≤ (𝑛 − 1))
6358ltm1d 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) < 𝑛)
6455, 60, 58, 62, 63lelttrd 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑛)
6564ad4ant24 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑛)
66 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
67 elfzel1 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑁 ∈ ℤ)
6867adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
69 elfzel2 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑚 ∈ ℤ)
7069adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
7153adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℤ)
7268, 70, 713jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
73 elfzole1 12686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑁𝑖)
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑁𝑖)
7570zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
76 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 1 ∈ ℝ)
7757, 76resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
7869zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
7957ltm1d 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) < 𝑛)
80 elfzle2 12552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛𝑚)
8177, 57, 78, 79, 80ltletrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) < 𝑚)
8281adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) < 𝑚)
8355, 60, 75, 62, 82lelttrd 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑚)
8455, 75, 83ltled 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖𝑚)
8572, 74, 84jca32 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑖𝑖𝑚)))
86 elfz2 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑚) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑖𝑖𝑚)))
8785, 86sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚))
8887adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚))
89 rspa 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9066, 88, 89syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9190adantlll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9265, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
9392ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))
9452, 93ralrimi 3104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
95 ralnex 3139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
9694, 95sylib 209 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ¬ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
97 eliun 4680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸𝑖))
9896, 97sylnibr 320 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))
9998adantrl 707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))
10049, 99eldifd 3743 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
10114, 22syldan 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝐹𝑛) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
102101eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = (𝐹𝑛))
103102adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = (𝐹𝑛))
104100, 103eleqtrd 2846 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖)))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
105104ex 401 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → ((𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛)))
106105ex 401 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → ((𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑛))))
1074, 106reximdai 3158 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛)))
108107adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝑖))) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛)))
10948, 108mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹𝑛))
110109, 1sylibr 225 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛)) → 𝑥 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛))
11139, 110eqelssd 3782 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
112111ralrimivw 3114 . 2 (𝜑 → ∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛))
11311iuneqfzuz 40189 . . 3 (∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) → 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
114112, 113syl 17 . 2 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
115 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝑚))
116 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝑚))
117116iuneq1d 4701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖))
118115, 117difeq12d 3891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
119118cbvmptv 4909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
12020, 119eqtri 2787 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
121 simpllr 793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛𝑍)
122 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘𝑍)
123 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 < 𝑘)
12411, 120, 121, 122, 123iundjiunlem 41313 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
125124adantlr 706 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
126 simpll 783 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍))
127 neqne 2945 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 = 𝑘𝑛𝑘)
128 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑍𝑘𝑍)
129128, 11syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
130 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
132131zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℝ)
133132adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛𝑍𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
134133ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
135 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
136135, 11syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
137 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
139138zred 11729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℝ)
140139ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
141 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ¬ 𝑛 < 𝑘)
142133adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
143139ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
144142, 143lenltd 10437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → (𝑘𝑛 ↔ ¬ 𝑛 < 𝑘))
145141, 144mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘𝑛)
146145adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘𝑛)
147 simplr 785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛𝑘)
148134, 140, 146, 147leneltd 10445 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ 𝑛𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
149127, 148sylanl2 671 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛𝑍𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
150149ad5ant2345 1489 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
151 anass 460 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)))
152 incom 3967 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ∩ (𝐹𝑛))
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘) ∩ (𝐹𝑛)))
154 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑘𝑍)
155 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑛𝑍)
156 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑘 < 𝑛)
15711, 120, 154, 155, 156iundjiunlem 41313 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑘) ∩ (𝐹𝑛)) = ∅)
158153, 157eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑘𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
159151, 158sylanb 576 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
160126, 150, 159syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
161125, 160pm2.61dan 847 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
162161ex 401 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (¬ 𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
163 df-or 874 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ (¬ 𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
164162, 163sylibr 225 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
165164ralrimiva 3113 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ∀𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
166165ex 401 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 → ∀𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)))
1674, 166ralrimi 3104 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛𝑍𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
168 nfcv 2907 . . . . 5 𝑚(𝐹𝑛)
169 nfmpt1 4906 . . . . . . 7 𝑛(𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
17020, 169nfcxfr 2905 . . . . . 6 𝑛𝐹
171 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑛𝑚
172170, 171nffv 6385 . . . . 5 𝑛(𝐹𝑚)
173 fveq2 6375 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
174168, 172, 173cbvdisj 4787 . . . 4 (Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ↔ Disj 𝑚𝑍 (𝐹𝑚))
175 fveq2 6375 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
176175disjor 4791 . . . 4 (Disj 𝑚𝑍 (𝐹𝑚) ↔ ∀𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
177 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑛𝑍
178 nfv 2009 . . . . . . 7 𝑛 𝑚 = 𝑘
179 nfcv 2907 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑘
180170, 179nffv 6385 . . . . . . . . 9 𝑛(𝐹𝑘)
181172, 180nfin 3980 . . . . . . . 8 𝑛((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘))
182 nfcv 2907 . . . . . . . 8 𝑛
183181, 182nfeq 2919 . . . . . . 7 𝑛((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅
184178, 183nfor 2003 . . . . . 6 𝑛(𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
185177, 184nfral 3092 . . . . 5 𝑛𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
186 nfv 2009 . . . . 5 𝑚𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)
187 equequ1 2122 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑘𝑛 = 𝑘))
188 fveq2 6375 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑛))
189188ineq1d 3975 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)))
190189eqeq1d 2767 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅ ↔ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
191187, 190orbi12d 942 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)))
192191ralbidv 3133 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ ∀𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅)))
193185, 186, 192cbvral 3315 . . . 4 (∀𝑚𝑍𝑘𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑚) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅) ↔ ∀𝑛𝑍𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
194174, 176, 1933bitri 288 . . 3 (Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) ↔ ∀𝑛𝑍𝑘𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹𝑛) ∩ (𝐹𝑘)) = ∅))
195167, 194sylibr 225 . 2 (𝜑Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
196112, 114, 195jca31 510 1 (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wnf 1878  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  c0 4079   ciun 4676  Disj wdisj 4777   class class class wbr 4809  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  1c1 10190   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674
This theorem is referenced by:  meaiunlelem  41322  meaiuninclem  41334  carageniuncllem2  41376
  Copyright terms: Public domain W3C validator