Theorem iundjiun 45848

Description: Given a sequence 𝐸 of sets, a sequence 𝐹 of disjoint sets is built, such that the indexed union stays the same. As in the proof of Property 112C (d) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iundjiun.nph	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
iundjiun.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
iundjiun.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑉)
iundjiun.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
iundjiun	⊢ (𝜑 → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛) ∧ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑚,𝑛   𝑚,𝐹   𝑖,𝑁,𝑚,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛   𝜑,𝑖,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑉(𝑖,𝑚,𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiun

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 5000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
2	1	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
4		iundjiun.nph	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
5		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑥
6		nfiu1 5030	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛)
7	5, 6	nfel 2914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛)
8		simp2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚))
9		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → 𝜑)
10		elfzuz 13530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
11		iundjiun.z	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
12	11	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℤ≥‘𝑁) = 𝑍
13	10, 12	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ 𝑍)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → 𝑛 ∈ 𝑍)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
16		iundjiun.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝑉)
17	16	ffvelcdmda 7094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝑉)
18	17	difexd 5331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V)
19		iundjiun.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
20	19	fvmpt2 7016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ∈ V) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
21	15, 18, 20	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
22		difssd 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
23	21, 22	eqsstrd 4018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐸‘𝑛))
24	9, 14, 23	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐸‘𝑛))
25	24	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ⊆ (𝐸‘𝑛))
26		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
27	25, 26	sseldd 3981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛))
28		rspe 3243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛))
29	8, 27, 28	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛))
30		eliun 5000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛))
31	29, 30	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛))
32	31	3exp 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛))))
33	4, 7, 32	rexlimd 3260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛)))
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛)) → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛)))
35	3, 34	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛))
36	35	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛))
37		dfss3 3968	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛)𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛))
38	36, 37	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛) ⊆ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛))
39		fzssuz 13575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑁)
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛) → (𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑁))
41	30	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛))
42		nfv 1910	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)
43		fveq2 6897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑖))
44	43	eleq2d 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))
45	42, 44	uzwo4 44417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁...𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑁) ∧ ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))))
46	40, 41, 45	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))))
47	46	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))))
48		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))) → 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛))
49		nfv 1910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚))
50		nfra1 3278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))
51	49, 50	nfan 1895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))
52		elfzoelz 13665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ ℤ)
53	52	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ∈ ℝ)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℝ)
55		elfzelz 13534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ ℤ)
56	55	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ∈ ℝ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
58		1red 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
59	57, 58	resubcld 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
60		elfzolem1 44703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑖 ≤ (𝑛 − 1))
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ≤ (𝑛 − 1))
62	57	ltm1d 12177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) < 𝑛)
63	54, 59, 57, 61, 62	lelttrd 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑛)
64	63	ad4ant24 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑛)
65		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))
66		elfzel1 13533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑁 ∈ ℤ)
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑁 ∈ ℤ)
68		elfzel2 13532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑚 ∈ ℤ)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
70	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ ℤ)
71		elfzole1 13673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → 𝑁 ≤ 𝑖)
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑁 ≤ 𝑖)
73	69	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
74		1red 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 1 ∈ ℝ)
75	56, 74	resubcld 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
76	68	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑚 ∈ ℝ)
77	56	ltm1d 12177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) < 𝑛)
78		elfzle2 13538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → 𝑛 ≤ 𝑚)
79	75, 56, 76, 77, 78	ltletrd 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → (𝑛 − 1) < 𝑚)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑛 − 1) < 𝑚)
81	54, 59, 73, 61, 80	lelttrd 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 < 𝑚)
82	54, 73, 81	ltled 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ≤ 𝑚)
83	67, 69, 70, 72, 82	elfzd 13525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚))
84	83	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚))
85		rspa 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))
86	65, 84, 85	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))
87	86	adantlll 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → (𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))
88	64, 87	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))
89	88	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) → (𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))
90	51, 89	ralrimi 3251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))
91		ralnex 3069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛) ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))
92	90, 91	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) → ¬ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))
93		eliun 5000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))
94	92, 93	sylnibr 329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖))
95	94	adantrl 715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))) → ¬ 𝑥 ∈ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖))
96	48, 95	eldifd 3958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))) → 𝑥 ∈ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
97	14, 21	syldan 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → (𝐹‘𝑛) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
98	97	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = (𝐹‘𝑛))
99	98	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))) → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = (𝐹‘𝑛))
100	96, 99	eleqtrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) ∧ (𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖)))) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
101	100	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)) → ((𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)))
102	101	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑁...𝑚) → ((𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) → 𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))))
103	4, 102	reximdai 3255	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)))
104	103	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛)) → (∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑥 ∈ (𝐸‘𝑛) ∧ ∀𝑖 ∈ (𝑁...𝑚)(𝑖 < 𝑛 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸‘𝑖))) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛)))
105	47, 104	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛)) → ∃𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)𝑥 ∈ (𝐹‘𝑛))
106	105, 1	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛))
107	38, 106	eqelssd 4001	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛))
108	107	ralrimivw 3147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛))
109	11	iuneqfzuz 44717	. . 3 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛) → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
110	108, 109	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
111		fveq2 6897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑚))
112		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝑚))
113	112	iuneq1d 5023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖))
114	111, 113	difeq12d 4121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖)))
115	114	cbvmptv 5261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖)))
116	19, 115	eqtri 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖)))
117		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ 𝑍)
118		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ 𝑍)
119		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 < 𝑘)
120	11, 116, 117, 118, 119	iundjiunlem 45847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
121	120	adantlr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
122		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍))
123		neqne 2945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑛 = 𝑘 → 𝑛 ≠ 𝑘)
124		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑍)
125	124, 11	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
126		eluzelz 12863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
128	127	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℝ)
129	128	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℝ)
130	129	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≠ 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
131		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ 𝑍)
132	131, 11	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
133		eluzelz 12863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℤ)
135	134	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑛 ∈ ℝ)
136	135	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≠ 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
137		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ¬ 𝑛 < 𝑘)
138	129	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
139	135	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ∈ ℝ)
140	138, 139	lenltd 11391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → (𝑘 ≤ 𝑛 ↔ ¬ 𝑛 < 𝑘))
141	137, 140	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ≤ 𝑛)
142	141	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≠ 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 ≤ 𝑛)
143		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≠ 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑛 ≠ 𝑘)
144	130, 136, 142, 143	leneltd 11399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≠ 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
145	123, 144	sylanl2 680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
146	145	ad5ant2345 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → 𝑘 < 𝑛)
147		anass 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)))
148		incom 4201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ∩ (𝐹‘𝑛))
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) ∩ (𝐹‘𝑛)))
150		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑘 ∈ 𝑍)
151		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑛 ∈ 𝑍)
152		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → 𝑘 < 𝑛)
153	11, 116, 150, 151, 152	iundjiunlem 45847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹‘𝑘) ∩ (𝐹‘𝑛)) = ∅)
154	149, 153	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍)) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
155	147, 154	sylanb 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 < 𝑛) → ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
156	122, 146, 155	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) ∧ ¬ 𝑛 < 𝑘) → ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
157	121, 156	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑘) → ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
158	157	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (¬ 𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅))
159		df-or 847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅) ↔ (¬ 𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅))
160	158, 159	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅))
161	160	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅))
162	161	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)))
163	4, 162	ralrimi 3251	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅))
164		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑛)
165		nfmpt1 5256	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
166	19, 165	nfcxfr 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝐹
167		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
168	166, 167	nffv 6907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑚)
169		fveq2 6897	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑚))
170	164, 168, 169	cbvdisj 5123	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) ↔ Disj 𝑚 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑚))
171		fveq2 6897	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑘))
172	171	disjor 5128	. . . 4 ⊢ (Disj 𝑚 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑚) ↔ ∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑚) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅))
173		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝑍
174		nfv 1910	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑚 = 𝑘
175		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛𝑘
176	166, 175	nffv 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐹‘𝑘)
177	168, 176	nfin 4216	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘𝑚) ∩ (𝐹‘𝑘))
178		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛∅
179	177, 178	nfeq 2913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛((𝐹‘𝑚) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅
180	174, 179	nfor 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑚) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
181	173, 180	nfralw 3305	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑚) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
182		nfv 1910	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)
183		equequ1 2021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 = 𝑘 ↔ 𝑛 = 𝑘))
184		fveq2 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑛))
185	184	ineq1d 4211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑚) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)))
186	185	eqeq1d 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝐹‘𝑚) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅ ↔ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅))
187	183, 186	orbi12d 917	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑚) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅) ↔ (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)))
188	187	ralbidv 3174	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑚) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅)))
189	181, 182, 188	cbvralw 3300	. . . 4 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑚 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑚) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅))
190	170, 172, 189	3bitri 297	. . 3 ⊢ (Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑛 = 𝑘 ∨ ((𝐹‘𝑛) ∩ (𝐹‘𝑘)) = ∅))
191	163, 190	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛))
192	108, 110, 191	jca31 514	1 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑚 ∈ 𝑍 ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ (𝑁...𝑚)(𝐸‘𝑛) ∧ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∧ Disj 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑛)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3471   ∖ cdif 3944   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  ∪ ciun 4996  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  1c1 11140   < clt 11279   ≤ cle 11280   − cmin 11475  ℤcz 12589  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13517  ..^cfzo 13660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661

This theorem is referenced by:  meaiunlelem  45856  meaiuninclem  45868  carageniuncllem2  45910