Theorem elfzle2 13269

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13262	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12604	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   ≤ cle 11019  ℤ_≥cuz 12591  ...cfz 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-fv 6445  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-neg 11217  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13276  fzdisj  13292  ssfzunsnext  13310  fznatpl1  13319  fzp1disj  13324  uzdisj  13338  fzneuz  13346  fznuz  13347  elfzmlbm  13375  difelfznle  13379  nn0disj  13381  seqf1olem1  13771  seqf1olem2  13772  bcval4  14030  bcp1nk  14040  hashf1  14180  seqcoll  14187  seqcoll2  14188  isercolllem2  15386  isercoll  15388  summolem2a  15436  fsum0diaglem  15497  mertenslem1  15605  prodmolem2a  15653  binomrisefac  15761  bpoly4  15778  fzm1ndvds  16040  prmind2  16399  prmdvdsfz  16419  isprm7  16422  hashdvds  16485  prmdiveq  16496  prmreclem3  16628  prmreclem5  16630  4sqlem11  16665  4sqlem12  16666  vdwlem1  16691  vdwlem3  16693  vdwlem6  16696  vdwlem9  16699  vdwlem10  16700  mndodconglem  19158  oddvds  19164  gexdvds  19198  coe1tmmul  21457  lebnumii  24138  ovolicc2lem4  24693  voliunlem1  24723  dvfsumle  25194  dvfsumge  25195  dvfsumabs  25196  dvfsumlem3  25201  elply2  25366  coeeq2  25412  aaliou3lem6  25517  birthdaylem2  26111  birthdaylem3  26112  wilthlem1  26226  ftalem5  26235  basellem1  26239  basellem3  26241  ppiprm  26309  chtprm  26311  logfac2  26374  lgsval2lem  26464  lgsqrlem2  26504  lgseisenlem1  26532  lgseisenlem2  26533  lgseisenlem3  26534  lgsquadlem1  26537  lgsquadlem2  26538  2lgslem1a  26548  chebbnd1lem1  26626  dchrvmasumiflem1  26658  mulog2sumlem2  26692  pntrlog2bndlem6  26740  pntpbnd1  26743  pntpbnd2  26744  pntlemh  26756  pntlemj  26760  pntlemf  26762  axlowdimlem16  27334  crctcshwlkn0lem2  28185  crctcshlem4  28194  bcm1n  31125  psgnfzto1stlem  31376  cycpmco2lem6  31407  cycpmco2lem7  31408  smatrcl  31755  submateqlem1  31766  madjusmdetlem2  31787  ballotlemimin  32481  ballotlemsdom  32487  ballotlemsel1i  32488  ballotlemsima  32491  ballotlemfrceq  32504  ballotlemfrcn0  32505  fsum2dsub  32596  reprgt  32610  breprexplemc  32621  erdszelem8  33169  cvmliftlem2  33257  cvmliftlem7  33262  supfz  33703  bcprod  33713  bccolsum  33714  poimirlem2  35788  poimirlem3  35789  poimirlem4  35790  poimirlem6  35792  poimirlem7  35793  poimirlem8  35794  poimirlem12  35798  poimirlem13  35799  poimirlem14  35800  poimirlem15  35801  poimirlem16  35802  poimirlem17  35803  poimirlem19  35805  poimirlem20  35806  poimirlem21  35807  poimirlem22  35808  poimirlem23  35809  poimirlem24  35810  poimirlem26  35812  poimirlem28  35814  poimirlem29  35815  poimirlem31  35817  poimirlem32  35818  mblfinlem2  35824  aks4d1p5  40095  aks4d1p6  40096  aks4d1p8  40102  sticksstones6  40114  sticksstones7  40115  sticksstones10  40118  sticksstones12a  40120  sticksstones12  40121  metakunt1  40132  metakunt7  40138  metakunt15  40146  metakunt16  40147  metakunt22  40153  metakunt28  40159  metakunt30  40161  irrapxlem3  40653  irrapxlem4  40654  fzmaxdif  40810  jm2.23  40825  jm2.26lem3  40830  jm2.27dlem2  40839  binomcxplemnn0  41974  monoords  42843  elfzolem1  42867  fmul01lt1lem1  43132  fmul01lt1lem2  43133  sumnnodd  43178  dvnmul  43491  dvnprodlem1  43494  dvnprodlem2  43495  iblspltprt  43521  itgspltprt  43527  stoweidlem3  43551  stoweidlem17  43565  stoweidlem20  43568  stoweidlem26  43574  stoweidlem34  43582  fourierdlem11  43666  fourierdlem12  43667  fourierdlem15  43670  fourierdlem25  43680  fourierdlem41  43696  fourierdlem48  43702  fourierdlem49  43703  fourierdlem50  43704  fourierdlem52  43706  fourierdlem54  43708  fourierdlem79  43733  fourierdlem102  43756  fourierdlem114  43768  elaa2lem  43781  etransclem23  43805  etransclem28  43810  etransclem35  43817  etransclem38  43820  iundjiun  44005  2elfz2melfz  44821  elfzelfzlble  44824  iccpartgt  44890  fmtno4prm  45038  difmodm1lt  45879