Theorem elfzle2 13533

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13526	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12852	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ≤ cle 11217  ℤ_≥cuz 12839  ...cfz 13512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-neg 11417  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13540  fzdisj  13556  ssfzunsnext  13574  fznatpl1  13583  fzp1disj  13588  uzdisj  13602  fzneuz  13613  fznuz  13614  elfzmlbm  13643  difelfznle  13647  nn0disj  13649  elfzolem1  13710  seqf1olem1  14054  seqf1olem2  14055  bcval4  14320  bcp1nk  14330  hashf1  14470  seqcoll  14477  seqcoll2  14478  isercolllem2  15693  isercoll  15695  summolem2a  15742  fsum0diaglem  15803  mertenslem1  15914  prodmolem2a  15964  binomrisefac  16072  bpoly4  16089  fzm1ndvds  16356  prmind2  16719  prmdvdsfz  16740  isprm7  16743  hashdvds  16810  prmdiveq  16821  prmreclem3  16954  prmreclem5  16956  4sqlem11  16991  4sqlem12  16992  vdwlem1  17017  vdwlem3  17019  vdwlem6  17022  vdwlem9  17025  vdwlem10  17026  mndodconglem  19581  oddvds  19587  gexdvds  19624  coe1tmmul  22340  lebnumii  25028  ovolicc2lem4  25582  voliunlem1  25612  dvfsumle  26083  dvfsumge  26084  dvfsumabs  26085  dvfsumlem3  26090  elply2  26256  coeeq2  26302  aaliou3lem6  26412  birthdaylem2  27017  birthdaylem3  27018  wilthlem1  27132  ftalem5  27141  basellem1  27145  basellem3  27147  ppiprm  27215  chtprm  27217  logfac2  27281  lgsval2lem  27371  lgsqrlem2  27411  lgseisenlem1  27439  lgseisenlem2  27440  lgseisenlem3  27441  lgsquadlem1  27444  lgsquadlem2  27445  2lgslem1a  27455  chebbnd1lem1  27533  dchrvmasumiflem1  27565  mulog2sumlem2  27599  pntrlog2bndlem6  27647  pntpbnd1  27650  pntpbnd2  27651  pntlemh  27663  pntlemj  27667  pntlemf  27669  axlowdimlem16  29158  crctcshwlkn0lem2  30011  crctcshlem4  30020  bcm1n  32997  psgnfzto1stlem  33280  cycpmco2lem6  33311  cycpmco2lem7  33312  smatrcl  34093  submateqlem1  34104  madjusmdetlem2  34125  ballotlemimin  34803  ballotlemsdom  34809  ballotlemsel1i  34810  ballotlemsima  34813  ballotlemfrceq  34826  ballotlemfrcn0  34827  fsum2dsub  34901  reprgt  34915  breprexplemc  34926  erdszelem8  35548  cvmliftlem2  35636  cvmliftlem7  35641  supfz  36079  bcprod  36088  bccolsum  36089  poimirlem2  38121  poimirlem3  38122  poimirlem4  38123  poimirlem6  38125  poimirlem7  38126  poimirlem8  38127  poimirlem12  38131  poimirlem13  38132  poimirlem14  38133  poimirlem15  38134  poimirlem16  38135  poimirlem17  38136  poimirlem19  38138  poimirlem20  38139  poimirlem21  38140  poimirlem22  38141  poimirlem23  38142  poimirlem24  38143  poimirlem26  38145  poimirlem28  38147  poimirlem29  38148  poimirlem31  38150  poimirlem32  38151  mblfinlem2  38157  aks4d1p5  42697  aks4d1p6  42698  aks4d1p8  42704  primrootlekpowne0  42722  aks6d1c1  42733  hashscontpow1  42738  aks6d1c5lem1  42753  sticksstones6  42768  sticksstones7  42769  sticksstones10  42772  sticksstones12a  42774  sticksstones12  42775  bcled  42795  bcle2d  42796  unitscyglem2  42813  unitscyglem4  42815  irrapxlem3  43401  irrapxlem4  43402  fzmaxdif  43558  jm2.23  43573  jm2.26lem3  43578  jm2.27dlem2  43587  binomcxplemnn0  44925  monoords  45876  fmul01lt1lem1  46160  fmul01lt1lem2  46161  sumnnodd  46206  dvnmul  46517  dvnprodlem1  46520  dvnprodlem2  46521  iblspltprt  46547  itgspltprt  46553  stoweidlem3  46577  stoweidlem17  46591  stoweidlem20  46594  stoweidlem26  46600  stoweidlem34  46608  fourierdlem11  46692  fourierdlem12  46693  fourierdlem15  46696  fourierdlem25  46706  fourierdlem41  46722  fourierdlem48  46728  fourierdlem49  46729  fourierdlem50  46730  fourierdlem52  46732  fourierdlem54  46734  fourierdlem79  46759  fourierdlem102  46782  fourierdlem114  46794  elaa2lem  46807  etransclem23  46831  etransclem28  46836  etransclem35  46843  etransclem38  46846  iundjiun  47034  2elfz2melfz  47912  elfzelfzlble  47915  iccpartgt  48033  fmtno4prm  48184