Theorem elfzle2 13444

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13437	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12764	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ≤ cle 11167  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13451  fzdisj  13467  ssfzunsnext  13485  fznatpl1  13494  fzp1disj  13499  uzdisj  13513  fzneuz  13524  fznuz  13525  elfzmlbm  13554  difelfznle  13558  nn0disj  13560  elfzolem1  13620  seqf1olem1  13964  seqf1olem2  13965  bcval4  14230  bcp1nk  14240  hashf1  14380  seqcoll  14387  seqcoll2  14388  isercolllem2  15589  isercoll  15591  summolem2a  15638  fsum0diaglem  15699  mertenslem1  15807  prodmolem2a  15857  binomrisefac  15965  bpoly4  15982  fzm1ndvds  16249  prmind2  16612  prmdvdsfz  16632  isprm7  16635  hashdvds  16702  prmdiveq  16713  prmreclem3  16846  prmreclem5  16848  4sqlem11  16883  4sqlem12  16884  vdwlem1  16909  vdwlem3  16911  vdwlem6  16914  vdwlem9  16917  vdwlem10  16918  mndodconglem  19470  oddvds  19476  gexdvds  19513  coe1tmmul  22219  lebnumii  24921  ovolicc2lem4  25477  voliunlem1  25507  dvfsumle  25982  dvfsumleOLD  25983  dvfsumge  25984  dvfsumabs  25985  dvfsumlem3  25991  elply2  26157  coeeq2  26203  aaliou3lem6  26312  birthdaylem2  26918  birthdaylem3  26919  wilthlem1  27034  ftalem5  27043  basellem1  27047  basellem3  27049  ppiprm  27117  chtprm  27119  logfac2  27184  lgsval2lem  27274  lgsqrlem2  27314  lgseisenlem1  27342  lgseisenlem2  27343  lgseisenlem3  27344  lgsquadlem1  27347  lgsquadlem2  27348  2lgslem1a  27358  chebbnd1lem1  27436  dchrvmasumiflem1  27468  mulog2sumlem2  27502  pntrlog2bndlem6  27550  pntpbnd1  27553  pntpbnd2  27554  pntlemh  27566  pntlemj  27570  pntlemf  27572  axlowdimlem16  29030  crctcshwlkn0lem2  29884  crctcshlem4  29893  bcm1n  32875  psgnfzto1stlem  33182  cycpmco2lem6  33213  cycpmco2lem7  33214  smatrcl  33953  submateqlem1  33964  madjusmdetlem2  33985  ballotlemimin  34663  ballotlemsdom  34669  ballotlemsel1i  34670  ballotlemsima  34673  ballotlemfrceq  34686  ballotlemfrcn0  34687  fsum2dsub  34764  reprgt  34778  breprexplemc  34789  erdszelem8  35392  cvmliftlem2  35480  cvmliftlem7  35485  supfz  35923  bcprod  35932  bccolsum  35933  poimirlem2  37823  poimirlem3  37824  poimirlem4  37825  poimirlem6  37827  poimirlem7  37828  poimirlem8  37829  poimirlem12  37833  poimirlem13  37834  poimirlem14  37835  poimirlem15  37836  poimirlem16  37837  poimirlem17  37838  poimirlem19  37840  poimirlem20  37841  poimirlem21  37842  poimirlem22  37843  poimirlem23  37844  poimirlem24  37845  poimirlem26  37847  poimirlem28  37849  poimirlem29  37850  poimirlem31  37852  poimirlem32  37853  mblfinlem2  37859  aks4d1p5  42344  aks4d1p6  42345  aks4d1p8  42351  primrootlekpowne0  42369  aks6d1c1  42380  hashscontpow1  42385  aks6d1c5lem1  42400  sticksstones6  42415  sticksstones7  42416  sticksstones10  42419  sticksstones12a  42421  sticksstones12  42422  bcled  42442  bcle2d  42443  unitscyglem2  42460  unitscyglem4  42462  irrapxlem3  43076  irrapxlem4  43077  fzmaxdif  43233  jm2.23  43248  jm2.26lem3  43253  jm2.27dlem2  43262  binomcxplemnn0  44600  monoords  45555  fmul01lt1lem1  45840  fmul01lt1lem2  45841  sumnnodd  45886  dvnmul  46197  dvnprodlem1  46200  dvnprodlem2  46201  iblspltprt  46227  itgspltprt  46233  stoweidlem3  46257  stoweidlem17  46271  stoweidlem20  46274  stoweidlem26  46280  stoweidlem34  46288  fourierdlem11  46372  fourierdlem12  46373  fourierdlem15  46376  fourierdlem25  46386  fourierdlem41  46402  fourierdlem48  46408  fourierdlem49  46409  fourierdlem50  46410  fourierdlem52  46412  fourierdlem54  46414  fourierdlem79  46439  fourierdlem102  46462  fourierdlem114  46474  elaa2lem  46487  etransclem23  46511  etransclem28  46516  etransclem35  46523  etransclem38  46526  iundjiun  46714  2elfz2melfz  47574  elfzelfzlble  47577  iccpartgt  47683  fmtno4prm  47831