Theorem elfzle2 13465

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13458	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12782	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ≤ cle 11185  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13472  fzdisj  13488  ssfzunsnext  13506  fznatpl1  13515  fzp1disj  13520  uzdisj  13534  fzneuz  13545  fznuz  13546  elfzmlbm  13575  difelfznle  13579  nn0disj  13581  elfzolem1  13641  seqf1olem1  13982  seqf1olem2  13983  bcval4  14248  bcp1nk  14258  hashf1  14398  seqcoll  14405  seqcoll2  14406  isercolllem2  15608  isercoll  15610  summolem2a  15657  fsum0diaglem  15718  mertenslem1  15826  prodmolem2a  15876  binomrisefac  15984  bpoly4  16001  fzm1ndvds  16268  prmind2  16631  prmdvdsfz  16651  isprm7  16654  hashdvds  16721  prmdiveq  16732  prmreclem3  16865  prmreclem5  16867  4sqlem11  16902  4sqlem12  16903  vdwlem1  16928  vdwlem3  16930  vdwlem6  16933  vdwlem9  16936  vdwlem10  16937  mndodconglem  19455  oddvds  19461  gexdvds  19498  coe1tmmul  22196  lebnumii  24898  ovolicc2lem4  25454  voliunlem1  25484  dvfsumle  25959  dvfsumleOLD  25960  dvfsumge  25961  dvfsumabs  25962  dvfsumlem3  25968  elply2  26134  coeeq2  26180  aaliou3lem6  26289  birthdaylem2  26895  birthdaylem3  26896  wilthlem1  27011  ftalem5  27020  basellem1  27024  basellem3  27026  ppiprm  27094  chtprm  27096  logfac2  27161  lgsval2lem  27251  lgsqrlem2  27291  lgseisenlem1  27319  lgseisenlem2  27320  lgseisenlem3  27321  lgsquadlem1  27324  lgsquadlem2  27325  2lgslem1a  27335  chebbnd1lem1  27413  dchrvmasumiflem1  27445  mulog2sumlem2  27479  pntrlog2bndlem6  27527  pntpbnd1  27530  pntpbnd2  27531  pntlemh  27543  pntlemj  27547  pntlemf  27549  axlowdimlem16  28937  crctcshwlkn0lem2  29791  crctcshlem4  29800  bcm1n  32768  psgnfzto1stlem  33072  cycpmco2lem6  33103  cycpmco2lem7  33104  smatrcl  33779  submateqlem1  33790  madjusmdetlem2  33811  ballotlemimin  34490  ballotlemsdom  34496  ballotlemsel1i  34497  ballotlemsima  34500  ballotlemfrceq  34513  ballotlemfrcn0  34514  fsum2dsub  34591  reprgt  34605  breprexplemc  34616  erdszelem8  35178  cvmliftlem2  35266  cvmliftlem7  35271  supfz  35709  bcprod  35718  bccolsum  35719  poimirlem2  37609  poimirlem3  37610  poimirlem4  37611  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem8  37615  poimirlem12  37619  poimirlem13  37620  poimirlem14  37621  poimirlem15  37622  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem21  37628  poimirlem22  37629  poimirlem23  37630  poimirlem24  37631  poimirlem26  37633  poimirlem28  37635  poimirlem29  37636  poimirlem31  37638  poimirlem32  37639  mblfinlem2  37645  aks4d1p5  42061  aks4d1p6  42062  aks4d1p8  42068  primrootlekpowne0  42086  aks6d1c1  42097  hashscontpow1  42102  aks6d1c5lem1  42117  sticksstones6  42132  sticksstones7  42133  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  sticksstones12  42139  bcled  42159  bcle2d  42160  unitscyglem2  42177  unitscyglem4  42179  irrapxlem3  42805  irrapxlem4  42806  fzmaxdif  42963  jm2.23  42978  jm2.26lem3  42983  jm2.27dlem2  42992  binomcxplemnn0  44331  monoords  45288  fmul01lt1lem1  45575  fmul01lt1lem2  45576  sumnnodd  45621  dvnmul  45934  dvnprodlem1  45937  dvnprodlem2  45938  iblspltprt  45964  itgspltprt  45970  stoweidlem3  45994  stoweidlem17  46008  stoweidlem20  46011  stoweidlem26  46017  stoweidlem34  46025  fourierdlem11  46109  fourierdlem12  46110  fourierdlem15  46113  fourierdlem25  46123  fourierdlem41  46139  fourierdlem48  46145  fourierdlem49  46146  fourierdlem50  46147  fourierdlem52  46149  fourierdlem54  46151  fourierdlem79  46176  fourierdlem102  46199  fourierdlem114  46211  elaa2lem  46224  etransclem23  46248  etransclem28  46253  etransclem35  46260  etransclem38  46263  iundjiun  46451  2elfz2melfz  47312  elfzelfzlble  47315  iccpartgt  47421  fmtno4prm  47569