Theorem elfzle2 13189

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13182	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12524	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ≤ cle 10941  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13196  fzdisj  13212  ssfzunsnext  13230  fznatpl1  13239  fzp1disj  13244  uzdisj  13258  fzneuz  13266  fznuz  13267  elfzmlbm  13295  difelfznle  13299  nn0disj  13301  seqf1olem1  13690  seqf1olem2  13691  bcval4  13949  bcp1nk  13959  hashf1  14099  seqcoll  14106  seqcoll2  14107  isercolllem2  15305  isercoll  15307  summolem2a  15355  fsum0diaglem  15416  mertenslem1  15524  prodmolem2a  15572  binomrisefac  15680  bpoly4  15697  fzm1ndvds  15959  prmind2  16318  prmdvdsfz  16338  isprm7  16341  hashdvds  16404  prmdiveq  16415  prmreclem3  16547  prmreclem5  16549  4sqlem11  16584  4sqlem12  16585  vdwlem1  16610  vdwlem3  16612  vdwlem6  16615  vdwlem9  16618  vdwlem10  16619  mndodconglem  19064  oddvds  19070  gexdvds  19104  coe1tmmul  21358  lebnumii  24035  ovolicc2lem4  24589  voliunlem1  24619  dvfsumle  25090  dvfsumge  25091  dvfsumabs  25092  dvfsumlem3  25097  elply2  25262  coeeq2  25308  aaliou3lem6  25413  birthdaylem2  26007  birthdaylem3  26008  wilthlem1  26122  ftalem5  26131  basellem1  26135  basellem3  26137  ppiprm  26205  chtprm  26207  logfac2  26270  lgsval2lem  26360  lgsqrlem2  26400  lgseisenlem1  26428  lgseisenlem2  26429  lgseisenlem3  26430  lgsquadlem1  26433  lgsquadlem2  26434  2lgslem1a  26444  chebbnd1lem1  26522  dchrvmasumiflem1  26554  mulog2sumlem2  26588  pntrlog2bndlem6  26636  pntpbnd1  26639  pntpbnd2  26640  pntlemh  26652  pntlemj  26656  pntlemf  26658  axlowdimlem16  27228  crctcshwlkn0lem2  28077  crctcshlem4  28086  bcm1n  31018  psgnfzto1stlem  31269  cycpmco2lem6  31300  cycpmco2lem7  31301  smatrcl  31648  submateqlem1  31659  madjusmdetlem2  31680  ballotlemimin  32372  ballotlemsdom  32378  ballotlemsel1i  32379  ballotlemsima  32382  ballotlemfrceq  32395  ballotlemfrcn0  32396  fsum2dsub  32487  reprgt  32501  breprexplemc  32512  erdszelem8  33060  cvmliftlem2  33148  cvmliftlem7  33153  supfz  33600  bcprod  33610  bccolsum  33611  poimirlem2  35706  poimirlem3  35707  poimirlem4  35708  poimirlem6  35710  poimirlem7  35711  poimirlem8  35712  poimirlem12  35716  poimirlem13  35717  poimirlem14  35718  poimirlem15  35719  poimirlem16  35720  poimirlem17  35721  poimirlem19  35723  poimirlem20  35724  poimirlem21  35725  poimirlem22  35726  poimirlem23  35727  poimirlem24  35728  poimirlem26  35730  poimirlem28  35732  poimirlem29  35733  poimirlem31  35735  poimirlem32  35736  mblfinlem2  35742  aks4d1p5  40016  aks4d1p6  40017  aks4d1p8  40023  sticksstones6  40035  sticksstones7  40036  sticksstones10  40039  sticksstones12a  40041  sticksstones12  40042  metakunt1  40053  metakunt7  40059  metakunt15  40067  metakunt16  40068  metakunt22  40074  metakunt28  40080  metakunt30  40082  irrapxlem3  40562  irrapxlem4  40563  fzmaxdif  40719  jm2.23  40734  jm2.26lem3  40739  jm2.27dlem2  40748  binomcxplemnn0  41856  monoords  42726  elfzolem1  42750  fmul01lt1lem1  43015  fmul01lt1lem2  43016  sumnnodd  43061  dvnmul  43374  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem2  43378  iblspltprt  43404  itgspltprt  43410  stoweidlem3  43434  stoweidlem17  43448  stoweidlem20  43451  stoweidlem26  43457  stoweidlem34  43465  fourierdlem11  43549  fourierdlem12  43550  fourierdlem15  43553  fourierdlem25  43563  fourierdlem41  43579  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem50  43587  fourierdlem52  43589  fourierdlem54  43591  fourierdlem79  43616  fourierdlem102  43639  fourierdlem114  43651  elaa2lem  43664  etransclem23  43688  etransclem28  43693  etransclem35  43700  etransclem38  43703  iundjiun  43888  2elfz2melfz  44698  elfzelfzlble  44701  iccpartgt  44767  fmtno4prm  44915  difmodm1lt  45756