Theorem elfzle2 13442

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13435	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12762	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ≤ cle 11165  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11365  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13449  fzdisj  13465  ssfzunsnext  13483  fznatpl1  13492  fzp1disj  13497  uzdisj  13511  fzneuz  13522  fznuz  13523  elfzmlbm  13552  difelfznle  13556  nn0disj  13558  elfzolem1  13618  seqf1olem1  13962  seqf1olem2  13963  bcval4  14228  bcp1nk  14238  hashf1  14378  seqcoll  14385  seqcoll2  14386  isercolllem2  15587  isercoll  15589  summolem2a  15636  fsum0diaglem  15697  mertenslem1  15805  prodmolem2a  15855  binomrisefac  15963  bpoly4  15980  fzm1ndvds  16247  prmind2  16610  prmdvdsfz  16630  isprm7  16633  hashdvds  16700  prmdiveq  16711  prmreclem3  16844  prmreclem5  16846  4sqlem11  16881  4sqlem12  16882  vdwlem1  16907  vdwlem3  16909  vdwlem6  16912  vdwlem9  16915  vdwlem10  16916  mndodconglem  19468  oddvds  19474  gexdvds  19511  coe1tmmul  22217  lebnumii  24919  ovolicc2lem4  25475  voliunlem1  25505  dvfsumle  25980  dvfsumleOLD  25981  dvfsumge  25982  dvfsumabs  25983  dvfsumlem3  25989  elply2  26155  coeeq2  26201  aaliou3lem6  26310  birthdaylem2  26916  birthdaylem3  26917  wilthlem1  27032  ftalem5  27041  basellem1  27045  basellem3  27047  ppiprm  27115  chtprm  27117  logfac2  27182  lgsval2lem  27272  lgsqrlem2  27312  lgseisenlem1  27340  lgseisenlem2  27341  lgseisenlem3  27342  lgsquadlem1  27345  lgsquadlem2  27346  2lgslem1a  27356  chebbnd1lem1  27434  dchrvmasumiflem1  27466  mulog2sumlem2  27500  pntrlog2bndlem6  27548  pntpbnd1  27551  pntpbnd2  27552  pntlemh  27564  pntlemj  27568  pntlemf  27570  axlowdimlem16  28979  crctcshwlkn0lem2  29833  crctcshlem4  29842  bcm1n  32824  psgnfzto1stlem  33131  cycpmco2lem6  33162  cycpmco2lem7  33163  smatrcl  33902  submateqlem1  33913  madjusmdetlem2  33934  ballotlemimin  34612  ballotlemsdom  34618  ballotlemsel1i  34619  ballotlemsima  34622  ballotlemfrceq  34635  ballotlemfrcn0  34636  fsum2dsub  34713  reprgt  34727  breprexplemc  34738  erdszelem8  35341  cvmliftlem2  35429  cvmliftlem7  35434  supfz  35872  bcprod  35881  bccolsum  35882  poimirlem2  37762  poimirlem3  37763  poimirlem4  37764  poimirlem6  37766  poimirlem7  37767  poimirlem8  37768  poimirlem12  37772  poimirlem13  37773  poimirlem14  37774  poimirlem15  37775  poimirlem16  37776  poimirlem17  37777  poimirlem19  37779  poimirlem20  37780  poimirlem21  37781  poimirlem22  37782  poimirlem23  37783  poimirlem24  37784  poimirlem26  37786  poimirlem28  37788  poimirlem29  37789  poimirlem31  37791  poimirlem32  37792  mblfinlem2  37798  aks4d1p5  42273  aks4d1p6  42274  aks4d1p8  42280  primrootlekpowne0  42298  aks6d1c1  42309  hashscontpow1  42314  aks6d1c5lem1  42329  sticksstones6  42344  sticksstones7  42345  sticksstones10  42348  sticksstones12a  42350  sticksstones12  42351  bcled  42371  bcle2d  42372  unitscyglem2  42389  unitscyglem4  42391  irrapxlem3  43008  irrapxlem4  43009  fzmaxdif  43165  jm2.23  43180  jm2.26lem3  43185  jm2.27dlem2  43194  binomcxplemnn0  44532  monoords  45487  fmul01lt1lem1  45772  fmul01lt1lem2  45773  sumnnodd  45818  dvnmul  46129  dvnprodlem1  46132  dvnprodlem2  46133  iblspltprt  46159  itgspltprt  46165  stoweidlem3  46189  stoweidlem17  46203  stoweidlem20  46206  stoweidlem26  46212  stoweidlem34  46220  fourierdlem11  46304  fourierdlem12  46305  fourierdlem15  46308  fourierdlem25  46318  fourierdlem41  46334  fourierdlem48  46340  fourierdlem49  46341  fourierdlem50  46342  fourierdlem52  46344  fourierdlem54  46346  fourierdlem79  46371  fourierdlem102  46394  fourierdlem114  46406  elaa2lem  46419  etransclem23  46443  etransclem28  46448  etransclem35  46455  etransclem38  46458  iundjiun  46646  2elfz2melfz  47506  elfzelfzlble  47509  iccpartgt  47615  fmtno4prm  47763