Theorem elfzle2 13428

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13421	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12745	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ≤ cle 11147  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13435  fzdisj  13451  ssfzunsnext  13469  fznatpl1  13478  fzp1disj  13483  uzdisj  13497  fzneuz  13508  fznuz  13509  elfzmlbm  13538  difelfznle  13542  nn0disj  13544  elfzolem1  13604  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  bcval4  14214  bcp1nk  14224  hashf1  14364  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  isercolllem2  15573  isercoll  15575  summolem2a  15622  fsum0diaglem  15683  mertenslem1  15791  prodmolem2a  15841  binomrisefac  15949  bpoly4  15966  fzm1ndvds  16233  prmind2  16596  prmdvdsfz  16616  isprm7  16619  hashdvds  16686  prmdiveq  16697  prmreclem3  16830  prmreclem5  16832  4sqlem11  16867  4sqlem12  16868  vdwlem1  16893  vdwlem3  16895  vdwlem6  16898  vdwlem9  16901  vdwlem10  16902  mndodconglem  19453  oddvds  19459  gexdvds  19496  coe1tmmul  22191  lebnumii  24892  ovolicc2lem4  25448  voliunlem1  25478  dvfsumle  25953  dvfsumleOLD  25954  dvfsumge  25955  dvfsumabs  25956  dvfsumlem3  25962  elply2  26128  coeeq2  26174  aaliou3lem6  26283  birthdaylem2  26889  birthdaylem3  26890  wilthlem1  27005  ftalem5  27014  basellem1  27018  basellem3  27020  ppiprm  27088  chtprm  27090  logfac2  27155  lgsval2lem  27245  lgsqrlem2  27285  lgseisenlem1  27313  lgseisenlem2  27314  lgseisenlem3  27315  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem2  27319  2lgslem1a  27329  chebbnd1lem1  27407  dchrvmasumiflem1  27439  mulog2sumlem2  27473  pntrlog2bndlem6  27521  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  pntlemh  27537  pntlemj  27541  pntlemf  27543  axlowdimlem16  28935  crctcshwlkn0lem2  29789  crctcshlem4  29798  bcm1n  32777  psgnfzto1stlem  33069  cycpmco2lem6  33100  cycpmco2lem7  33101  smatrcl  33809  submateqlem1  33820  madjusmdetlem2  33841  ballotlemimin  34519  ballotlemsdom  34525  ballotlemsel1i  34526  ballotlemsima  34529  ballotlemfrceq  34542  ballotlemfrcn0  34543  fsum2dsub  34620  reprgt  34634  breprexplemc  34645  erdszelem8  35242  cvmliftlem2  35330  cvmliftlem7  35335  supfz  35773  bcprod  35782  bccolsum  35783  poimirlem2  37672  poimirlem3  37673  poimirlem4  37674  poimirlem6  37676  poimirlem7  37677  poimirlem8  37678  poimirlem12  37682  poimirlem13  37683  poimirlem14  37684  poimirlem15  37685  poimirlem16  37686  poimirlem17  37687  poimirlem19  37689  poimirlem20  37690  poimirlem21  37691  poimirlem22  37692  poimirlem23  37693  poimirlem24  37694  poimirlem26  37696  poimirlem28  37698  poimirlem29  37699  poimirlem31  37701  poimirlem32  37702  mblfinlem2  37708  aks4d1p5  42183  aks4d1p6  42184  aks4d1p8  42190  primrootlekpowne0  42208  aks6d1c1  42219  hashscontpow1  42224  aks6d1c5lem1  42239  sticksstones6  42254  sticksstones7  42255  sticksstones10  42258  sticksstones12a  42260  sticksstones12  42261  bcled  42281  bcle2d  42282  unitscyglem2  42299  unitscyglem4  42301  irrapxlem3  42927  irrapxlem4  42928  fzmaxdif  43084  jm2.23  43099  jm2.26lem3  43104  jm2.27dlem2  43113  binomcxplemnn0  44452  monoords  45408  fmul01lt1lem1  45694  fmul01lt1lem2  45695  sumnnodd  45740  dvnmul  46051  dvnprodlem1  46054  dvnprodlem2  46055  iblspltprt  46081  itgspltprt  46087  stoweidlem3  46111  stoweidlem17  46125  stoweidlem20  46128  stoweidlem26  46134  stoweidlem34  46142  fourierdlem11  46226  fourierdlem12  46227  fourierdlem15  46230  fourierdlem25  46240  fourierdlem41  46256  fourierdlem48  46262  fourierdlem49  46263  fourierdlem50  46264  fourierdlem52  46266  fourierdlem54  46268  fourierdlem79  46293  fourierdlem102  46316  fourierdlem114  46328  elaa2lem  46341  etransclem23  46365  etransclem28  46370  etransclem35  46377  etransclem38  46380  iundjiun  46568  2elfz2melfz  47428  elfzelfzlble  47431  iccpartgt  47537  fmtno4prm  47685