Theorem elfzle2 13550

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13543	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12870	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≤ cle 11275  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-neg 11474  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13557  fzdisj  13573  ssfzunsnext  13591  fznatpl1  13600  fzp1disj  13605  uzdisj  13619  fzneuz  13630  fznuz  13631  elfzmlbm  13660  difelfznle  13664  nn0disj  13666  elfzolem1  13726  seqf1olem1  14064  seqf1olem2  14065  bcval4  14330  bcp1nk  14340  hashf1  14480  seqcoll  14487  seqcoll2  14488  isercolllem2  15687  isercoll  15689  summolem2a  15736  fsum0diaglem  15797  mertenslem1  15905  prodmolem2a  15955  binomrisefac  16063  bpoly4  16080  fzm1ndvds  16346  prmind2  16709  prmdvdsfz  16729  isprm7  16732  hashdvds  16799  prmdiveq  16810  prmreclem3  16943  prmreclem5  16945  4sqlem11  16980  4sqlem12  16981  vdwlem1  17006  vdwlem3  17008  vdwlem6  17011  vdwlem9  17014  vdwlem10  17015  mndodconglem  19527  oddvds  19533  gexdvds  19570  coe1tmmul  22219  lebnumii  24921  ovolicc2lem4  25478  voliunlem1  25508  dvfsumle  25983  dvfsumleOLD  25984  dvfsumge  25985  dvfsumabs  25986  dvfsumlem3  25992  elply2  26158  coeeq2  26204  aaliou3lem6  26313  birthdaylem2  26919  birthdaylem3  26920  wilthlem1  27035  ftalem5  27044  basellem1  27048  basellem3  27050  ppiprm  27118  chtprm  27120  logfac2  27185  lgsval2lem  27275  lgsqrlem2  27315  lgseisenlem1  27343  lgseisenlem2  27344  lgseisenlem3  27345  lgsquadlem1  27348  lgsquadlem2  27349  2lgslem1a  27359  chebbnd1lem1  27437  dchrvmasumiflem1  27469  mulog2sumlem2  27503  pntrlog2bndlem6  27551  pntpbnd1  27554  pntpbnd2  27555  pntlemh  27567  pntlemj  27571  pntlemf  27573  axlowdimlem16  28941  crctcshwlkn0lem2  29798  crctcshlem4  29807  bcm1n  32777  psgnfzto1stlem  33116  cycpmco2lem6  33147  cycpmco2lem7  33148  smatrcl  33832  submateqlem1  33843  madjusmdetlem2  33864  ballotlemimin  34543  ballotlemsdom  34549  ballotlemsel1i  34550  ballotlemsima  34553  ballotlemfrceq  34566  ballotlemfrcn0  34567  fsum2dsub  34644  reprgt  34658  breprexplemc  34669  erdszelem8  35225  cvmliftlem2  35313  cvmliftlem7  35318  supfz  35751  bcprod  35760  bccolsum  35761  poimirlem2  37651  poimirlem3  37652  poimirlem4  37653  poimirlem6  37655  poimirlem7  37656  poimirlem8  37657  poimirlem12  37661  poimirlem13  37662  poimirlem14  37663  poimirlem15  37664  poimirlem16  37665  poimirlem17  37666  poimirlem19  37668  poimirlem20  37669  poimirlem21  37670  poimirlem22  37671  poimirlem23  37672  poimirlem24  37673  poimirlem26  37675  poimirlem28  37677  poimirlem29  37678  poimirlem31  37680  poimirlem32  37681  mblfinlem2  37687  aks4d1p5  42098  aks4d1p6  42099  aks4d1p8  42105  primrootlekpowne0  42123  aks6d1c1  42134  hashscontpow1  42139  aks6d1c5lem1  42154  sticksstones6  42169  sticksstones7  42170  sticksstones10  42173  sticksstones12a  42175  sticksstones12  42176  bcled  42196  bcle2d  42197  unitscyglem2  42214  unitscyglem4  42216  irrapxlem3  42814  irrapxlem4  42815  fzmaxdif  42972  jm2.23  42987  jm2.26lem3  42992  jm2.27dlem2  43001  binomcxplemnn0  44340  monoords  45293  fmul01lt1lem1  45580  fmul01lt1lem2  45581  sumnnodd  45626  dvnmul  45939  dvnprodlem1  45942  dvnprodlem2  45943  iblspltprt  45969  itgspltprt  45975  stoweidlem3  45999  stoweidlem17  46013  stoweidlem20  46016  stoweidlem26  46022  stoweidlem34  46030  fourierdlem11  46114  fourierdlem12  46115  fourierdlem15  46118  fourierdlem25  46128  fourierdlem41  46144  fourierdlem48  46150  fourierdlem49  46151  fourierdlem50  46152  fourierdlem52  46154  fourierdlem54  46156  fourierdlem79  46181  fourierdlem102  46204  fourierdlem114  46216  elaa2lem  46229  etransclem23  46253  etransclem28  46258  etransclem35  46265  etransclem38  46268  iundjiun  46456  2elfz2melfz  47314  elfzelfzlble  47317  iccpartgt  47408  fmtno4prm  47556  difmodm1lt  48469