Theorem elfzle2 13482

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13475	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12801	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ≤ cle 11180  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13489  fzdisj  13505  ssfzunsnext  13523  fznatpl1  13532  fzp1disj  13537  uzdisj  13551  fzneuz  13562  fznuz  13563  elfzmlbm  13592  difelfznle  13596  nn0disj  13598  elfzolem1  13659  seqf1olem1  14003  seqf1olem2  14004  bcval4  14269  bcp1nk  14279  hashf1  14419  seqcoll  14426  seqcoll2  14427  isercolllem2  15628  isercoll  15630  summolem2a  15677  fsum0diaglem  15738  mertenslem1  15849  prodmolem2a  15899  binomrisefac  16007  bpoly4  16024  fzm1ndvds  16291  prmind2  16654  prmdvdsfz  16675  isprm7  16678  hashdvds  16745  prmdiveq  16756  prmreclem3  16889  prmreclem5  16891  4sqlem11  16926  4sqlem12  16927  vdwlem1  16952  vdwlem3  16954  vdwlem6  16957  vdwlem9  16960  vdwlem10  16961  mndodconglem  19516  oddvds  19522  gexdvds  19559  coe1tmmul  22242  lebnumii  24933  ovolicc2lem4  25487  voliunlem1  25517  dvfsumle  25988  dvfsumge  25989  dvfsumabs  25990  dvfsumlem3  25995  elply2  26161  coeeq2  26207  aaliou3lem6  26314  birthdaylem2  26916  birthdaylem3  26917  wilthlem1  27031  ftalem5  27040  basellem1  27044  basellem3  27046  ppiprm  27114  chtprm  27116  logfac2  27180  lgsval2lem  27270  lgsqrlem2  27310  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  lgseisenlem3  27340  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  2lgslem1a  27354  chebbnd1lem1  27432  dchrvmasumiflem1  27464  mulog2sumlem2  27498  pntrlog2bndlem6  27546  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  pntlemh  27562  pntlemj  27566  pntlemf  27568  axlowdimlem16  29026  crctcshwlkn0lem2  29879  crctcshlem4  29888  bcm1n  32868  psgnfzto1stlem  33161  cycpmco2lem6  33192  cycpmco2lem7  33193  smatrcl  33940  submateqlem1  33951  madjusmdetlem2  33972  ballotlemimin  34650  ballotlemsdom  34656  ballotlemsel1i  34657  ballotlemsima  34660  ballotlemfrceq  34673  ballotlemfrcn0  34674  fsum2dsub  34751  reprgt  34765  breprexplemc  34776  erdszelem8  35380  cvmliftlem2  35468  cvmliftlem7  35473  supfz  35911  bcprod  35920  bccolsum  35921  poimirlem2  37943  poimirlem3  37944  poimirlem4  37945  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem8  37949  poimirlem12  37953  poimirlem13  37954  poimirlem14  37955  poimirlem15  37956  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  poimirlem21  37962  poimirlem22  37963  poimirlem23  37964  poimirlem24  37965  poimirlem26  37967  poimirlem28  37969  poimirlem29  37970  poimirlem31  37972  poimirlem32  37973  mblfinlem2  37979  aks4d1p5  42519  aks4d1p6  42520  aks4d1p8  42526  primrootlekpowne0  42544  aks6d1c1  42555  hashscontpow1  42560  aks6d1c5lem1  42575  sticksstones6  42590  sticksstones7  42591  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  bcled  42617  bcle2d  42618  unitscyglem2  42635  unitscyglem4  42637  irrapxlem3  43252  irrapxlem4  43253  fzmaxdif  43409  jm2.23  43424  jm2.26lem3  43429  jm2.27dlem2  43438  binomcxplemnn0  44776  monoords  45730  fmul01lt1lem1  46014  fmul01lt1lem2  46015  sumnnodd  46060  dvnmul  46371  dvnprodlem1  46374  dvnprodlem2  46375  iblspltprt  46401  itgspltprt  46407  stoweidlem3  46431  stoweidlem17  46445  stoweidlem20  46448  stoweidlem26  46454  stoweidlem34  46462  fourierdlem11  46546  fourierdlem12  46547  fourierdlem15  46550  fourierdlem25  46560  fourierdlem41  46576  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem50  46584  fourierdlem52  46586  fourierdlem54  46588  fourierdlem79  46613  fourierdlem102  46636  fourierdlem114  46648  elaa2lem  46661  etransclem23  46685  etransclem28  46690  etransclem35  46697  etransclem38  46700  iundjiun  46888  2elfz2melfz  47766  elfzelfzlble  47769  iccpartgt  47887  fmtno4prm  48038