Theorem elfzle2 13574

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13567	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12893	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ≤ cle 11261  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-neg 11461  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554

This theorem is used by:  elfz1eq  13581  fzdisj  13598  ssfzunsnext  13616  fznatpl1  13625  fzp1disj  13630  uzdisj  13644  fzneuz  13655  fznuz  13656  elfzmlbm  13685  difelfznle  13689  nn0disj  13691  elfzolem1  13752  seqf1olem1  14097  seqf1olem2  14098  bcval4  14363  bcp1nk  14373  hashf1  14514  seqcoll  14521  seqcoll2  14522  isercolllem2  15743  isercoll  15745  summolem2a  15791  fsum0diaglem  15852  mertenslem1  15963  prodmolem2a  16013  binomrisefac  16120  bpoly4  16137  fzm1ndvds  16404  prmind2  16767  prmdvdsfz  16788  isprm7  16791  hashdvds  16858  prmdiveq  16869  prmreclem3  17002  prmreclem5  17004  4sqlem11  17039  4sqlem12  17040  vdwlem1  17065  vdwlem3  17067  vdwlem6  17070  vdwlem9  17073  vdwlem10  17074  mndodconglem  19657  oddvds  19663  gexdvds  19700  coe1tmmul  22490  lebnumii  25178  ovolicc2lem4  25732  voliunlem1  25762  dvfsumle  26233  dvfsumge  26234  dvfsumabs  26235  dvfsumlem3  26240  elply2  26406  coeeq2  26452  aaliou3lem6  26564  birthdaylem2  27170  birthdaylem3  27171  wilthlem1  27285  ftalem5  27294  basellem1  27298  basellem3  27300  ppiprm  27368  chtprm  27370  logfac2  27434  lgsval2lem  27524  lgsqrlem2  27564  lgseisenlem1  27592  lgseisenlem2  27593  lgseisenlem3  27594  lgsquadlem1  27597  lgsquadlem2  27598  2lgslem1a  27608  chebbnd1lem1  27686  dchrvmasumiflem1  27718  mulog2sumlem2  27752  pntrlog2bndlem6  27800  pntpbnd1  27803  pntpbnd2  27804  pntlemh  27816  pntlemj  27820  pntlemf  27822  axlowdimlem16  29364  crctcshwlkn0lem2  30229  crctcshlem4  30238  bcm1n  33212  psgnfzto1stlem  33486  cycpmco2lem6  33517  cycpmco2lem7  33518  smatrcl  34252  submateqlem1  34263  madjusmdetlem2  34284  ballotlemimin  34963  ballotlemsdom  34969  ballotlemsel1i  34970  ballotlemsima  34973  ballotlemfrceq  34986  ballotlemfrcn0  34987  fsum2dsub  35061  reprgt  35075  breprexplemc  35086  erdszelem8  35729  cvmliftlem2  35817  cvmliftlem7  35822  supfz  36260  bcprod  36269  bccolsum  36270  poimirlem2  38332  poimirlem3  38333  poimirlem4  38334  poimirlem6  38336  poimirlem7  38337  poimirlem8  38338  poimirlem12  38342  poimirlem13  38343  poimirlem14  38344  poimirlem15  38345  poimirlem16  38346  poimirlem17  38347  poimirlem19  38349  poimirlem20  38350  poimirlem21  38351  poimirlem22  38352  poimirlem23  38353  poimirlem24  38354  poimirlem26  38356  poimirlem28  38358  poimirlem29  38359  poimirlem31  38361  poimirlem32  38362  mblfinlem2  38368  aks4d1p5  42907  aks4d1p6  42908  aks4d1p8  42914  primrootlekpowne0  42932  aks6d1c1  42943  hashscontpow1  42948  aks6d1c5lem1  42963  sticksstones6  42978  sticksstones7  42979  sticksstones10  42982  sticksstones12a  42984  sticksstones12  42985  bcled  43005  bcle2d  43006  unitscyglem2  43023  unitscyglem4  43025  irrapxlem3  43611  irrapxlem4  43612  fzmaxdif  43768  jm2.23  43783  jm2.26lem3  43788  jm2.27dlem2  43797  binomcxplemnn0  45119  monoords  46076  fmul01lt1lem1  46360  fmul01lt1lem2  46361  sumnnodd  46406  dvnmul  46717  dvnprodlem1  46720  dvnprodlem2  46721  iblspltprt  46747  itgspltprt  46753  stoweidlem3  46777  stoweidlem17  46791  stoweidlem20  46794  stoweidlem26  46800  stoweidlem34  46808  fourierdlem11  46892  fourierdlem12  46893  fourierdlem15  46896  fourierdlem25  46906  fourierdlem41  46922  fourierdlem48  46928  fourierdlem49  46929  fourierdlem50  46930  fourierdlem52  46932  fourierdlem54  46934  fourierdlem79  46959  fourierdlem102  46982  fourierdlem114  46994  elaa2lem  47007  etransclem23  47031  etransclem28  47036  etransclem35  47043  etransclem38  47046  iundjiun  47234  2elfz2melfz  48115  elfzelfzlble  48118  iccpartgt  48236  fmtno4prm  48387