Theorem elfzle2 13661

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13653	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12978	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ≤ cle 11344  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640

This theorem is used by:  elfz1eq  13668  fzdisj  13685  ssfzunsnext  13703  fznatpl1  13712  fzp1disj  13717  uzdisj  13731  fzneuz  13742  fznuz  13743  elfzmlbm  13772  difelfznle  13776  nn0disj  13778  elfzolem1  13839  seqf1olem1  14184  seqf1olem2  14185  bcval4  14451  bcp1nk  14461  hashf1  14602  seqcoll  14609  seqcoll2  14610  isercolllem2  15833  isercoll  15835  summolem2a  15881  fsum0diaglem  15942  mertenslem1  16053  prodmolem2a  16101  binomrisefac  16208  bpoly4  16225  fzm1ndvds  16492  prmind2  16860  prmdvdsfz  16881  isprm7  16884  hashdvds  16952  prmdiveq  16963  prmreclem3  17096  prmreclem5  17098  4sqlem11  17133  4sqlem12  17134  vdwlem1  17159  vdwlem3  17161  vdwlem6  17164  vdwlem9  17167  vdwlem10  17168  mndodconglem  19755  oddvds  19761  gexdvds  19798  coe1tmmul  22596  lebnumii  25287  ovolicc2lem4  25841  voliunlem1  25871  dvfsumle  26341  dvfsumge  26342  dvfsumabs  26343  dvfsumlem3  26348  elply2  26514  coeeq2  26561  aaliou3lem6  26675  birthdaylem2  27280  birthdaylem3  27281  wilthlem1  27395  ftalem5  27404  basellem1  27408  basellem3  27410  ppiprm  27478  chtprm  27480  logfac2  27544  lgsval2lem  27634  lgsqrlem2  27674  lgseisenlem1  27702  lgseisenlem2  27703  lgseisenlem3  27704  lgsquadlem1  27707  lgsquadlem2  27708  2lgslem1a  27718  chebbnd1lem1  27796  dchrvmasumiflem1  27828  mulog2sumlem2  27862  pntrlog2bndlem6  27910  pntpbnd1  27913  pntpbnd2  27914  pntlemh  27926  pntlemj  27930  pntlemf  27932  axlowdimlem16  29535  crctcshwlkn0lem2  30400  crctcshlem4  30409  bcm1n  33387  psgnfzto1stlem  33661  cycpmco2lem6  33692  cycpmco2lem7  33693  smatrcl  34428  submateqlem1  34439  madjusmdetlem2  34460  ballotlemimin  35138  ballotlemsdom  35144  ballotlemsel1i  35145  ballotlemsima  35148  ballotlemfrceq  35161  ballotlemfrcn0  35162  fsum2dsub  35236  reprgt  35250  breprexplemc  35261  erdszelem8  35963  cvmliftlem2  36051  cvmliftlem7  36056  supfz  36494  bcprod  36503  bccolsum  36504  poimirlem2  38540  poimirlem3  38541  poimirlem4  38542  poimirlem6  38544  poimirlem7  38545  poimirlem8  38546  poimirlem12  38550  poimirlem13  38551  poimirlem14  38552  poimirlem15  38553  poimirlem16  38554  poimirlem17  38555  poimirlem19  38557  poimirlem20  38558  poimirlem21  38559  poimirlem22  38560  poimirlem23  38561  poimirlem24  38562  poimirlem26  38564  poimirlem28  38566  poimirlem29  38567  poimirlem31  38569  poimirlem32  38570  mblfinlem2  38576  aks4d1p5  43130  aks4d1p6  43131  aks4d1p8  43137  primrootlekpowne0  43155  aks6d1c1  43166  hashscontpow1  43171  aks6d1c5lem1  43186  sticksstones6  43201  sticksstones7  43202  sticksstones10  43205  sticksstones12a  43207  sticksstones12  43208  bcled  43228  bcle2d  43229  unitscyglem2  43246  unitscyglem4  43248  irrapxlem3  43830  irrapxlem4  43831  fzmaxdif  43987  jm2.23  44002  jm2.26lem3  44007  jm2.27dlem2  44016  binomcxplemnn0  45332  monoords  46312  fmul01lt1lem1  46595  fmul01lt1lem2  46596  sumnnodd  46641  dvnmul  46952  dvnprodlem1  46955  dvnprodlem2  46956  iblspltprt  46982  itgspltprt  46988  stoweidlem3  47012  stoweidlem17  47026  stoweidlem20  47029  stoweidlem26  47035  stoweidlem34  47043  fourierdlem11  47127  fourierdlem12  47128  fourierdlem15  47131  fourierdlem25  47141  fourierdlem41  47157  fourierdlem48  47163  fourierdlem49  47164  fourierdlem50  47165  fourierdlem52  47167  fourierdlem54  47169  fourierdlem79  47194  fourierdlem102  47217  fourierdlem114  47229  elaa2lem  47242  etransclem23  47266  etransclem28  47271  etransclem35  47278  etransclem38  47281  iundjiun  47469  2elfz2melfz  48387  elfzelfzlble  48390  iccpartgt  48508  fmtno4prm  48659