Theorem elfzle2 13431

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13424	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12748	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ≤ cle 11150  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13438  fzdisj  13454  ssfzunsnext  13472  fznatpl1  13481  fzp1disj  13486  uzdisj  13500  fzneuz  13511  fznuz  13512  elfzmlbm  13541  difelfznle  13545  nn0disj  13547  elfzolem1  13607  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  bcval4  14214  bcp1nk  14224  hashf1  14364  seqcoll  14371  seqcoll2  14372  isercolllem2  15573  isercoll  15575  summolem2a  15622  fsum0diaglem  15683  mertenslem1  15791  prodmolem2a  15841  binomrisefac  15949  bpoly4  15966  fzm1ndvds  16233  prmind2  16596  prmdvdsfz  16616  isprm7  16619  hashdvds  16686  prmdiveq  16697  prmreclem3  16830  prmreclem5  16832  4sqlem11  16867  4sqlem12  16868  vdwlem1  16893  vdwlem3  16895  vdwlem6  16898  vdwlem9  16901  vdwlem10  16902  mndodconglem  19420  oddvds  19426  gexdvds  19463  coe1tmmul  22161  lebnumii  24863  ovolicc2lem4  25419  voliunlem1  25449  dvfsumle  25924  dvfsumleOLD  25925  dvfsumge  25926  dvfsumabs  25927  dvfsumlem3  25933  elply2  26099  coeeq2  26145  aaliou3lem6  26254  birthdaylem2  26860  birthdaylem3  26861  wilthlem1  26976  ftalem5  26985  basellem1  26989  basellem3  26991  ppiprm  27059  chtprm  27061  logfac2  27126  lgsval2lem  27216  lgsqrlem2  27256  lgseisenlem1  27284  lgseisenlem2  27285  lgseisenlem3  27286  lgsquadlem1  27289  lgsquadlem2  27290  2lgslem1a  27300  chebbnd1lem1  27378  dchrvmasumiflem1  27410  mulog2sumlem2  27444  pntrlog2bndlem6  27492  pntpbnd1  27495  pntpbnd2  27496  pntlemh  27508  pntlemj  27512  pntlemf  27514  axlowdimlem16  28902  crctcshwlkn0lem2  29756  crctcshlem4  29765  bcm1n  32738  psgnfzto1stlem  33042  cycpmco2lem6  33073  cycpmco2lem7  33074  smatrcl  33763  submateqlem1  33774  madjusmdetlem2  33795  ballotlemimin  34474  ballotlemsdom  34480  ballotlemsel1i  34481  ballotlemsima  34484  ballotlemfrceq  34497  ballotlemfrcn0  34498  fsum2dsub  34575  reprgt  34589  breprexplemc  34600  erdszelem8  35175  cvmliftlem2  35263  cvmliftlem7  35268  supfz  35706  bcprod  35715  bccolsum  35716  poimirlem2  37606  poimirlem3  37607  poimirlem4  37608  poimirlem6  37610  poimirlem7  37611  poimirlem8  37612  poimirlem12  37616  poimirlem13  37617  poimirlem14  37618  poimirlem15  37619  poimirlem16  37620  poimirlem17  37621  poimirlem19  37623  poimirlem20  37624  poimirlem21  37625  poimirlem22  37626  poimirlem23  37627  poimirlem24  37628  poimirlem26  37630  poimirlem28  37632  poimirlem29  37633  poimirlem31  37635  poimirlem32  37636  mblfinlem2  37642  aks4d1p5  42057  aks4d1p6  42058  aks4d1p8  42064  primrootlekpowne0  42082  aks6d1c1  42093  hashscontpow1  42098  aks6d1c5lem1  42113  sticksstones6  42128  sticksstones7  42129  sticksstones10  42132  sticksstones12a  42134  sticksstones12  42135  bcled  42155  bcle2d  42156  unitscyglem2  42173  unitscyglem4  42175  irrapxlem3  42801  irrapxlem4  42802  fzmaxdif  42958  jm2.23  42973  jm2.26lem3  42978  jm2.27dlem2  42987  binomcxplemnn0  44326  monoords  45283  fmul01lt1lem1  45569  fmul01lt1lem2  45570  sumnnodd  45615  dvnmul  45928  dvnprodlem1  45931  dvnprodlem2  45932  iblspltprt  45958  itgspltprt  45964  stoweidlem3  45988  stoweidlem17  46002  stoweidlem20  46005  stoweidlem26  46011  stoweidlem34  46019  fourierdlem11  46103  fourierdlem12  46104  fourierdlem15  46107  fourierdlem25  46117  fourierdlem41  46133  fourierdlem48  46139  fourierdlem49  46140  fourierdlem50  46141  fourierdlem52  46143  fourierdlem54  46145  fourierdlem79  46170  fourierdlem102  46193  fourierdlem114  46205  elaa2lem  46218  etransclem23  46242  etransclem28  46247  etransclem35  46254  etransclem38  46257  iundjiun  46445  2elfz2melfz  47306  elfzelfzlble  47309  iccpartgt  47415  fmtno4prm  47563