Theorem elfzle2 13489

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13482	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12806	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ≤ cle 11209  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-neg 11408  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13496  fzdisj  13512  ssfzunsnext  13530  fznatpl1  13539  fzp1disj  13544  uzdisj  13558  fzneuz  13569  fznuz  13570  elfzmlbm  13599  difelfznle  13603  nn0disj  13605  elfzolem1  13665  seqf1olem1  14006  seqf1olem2  14007  bcval4  14272  bcp1nk  14282  hashf1  14422  seqcoll  14429  seqcoll2  14430  isercolllem2  15632  isercoll  15634  summolem2a  15681  fsum0diaglem  15742  mertenslem1  15850  prodmolem2a  15900  binomrisefac  16008  bpoly4  16025  fzm1ndvds  16292  prmind2  16655  prmdvdsfz  16675  isprm7  16678  hashdvds  16745  prmdiveq  16756  prmreclem3  16889  prmreclem5  16891  4sqlem11  16926  4sqlem12  16927  vdwlem1  16952  vdwlem3  16954  vdwlem6  16957  vdwlem9  16960  vdwlem10  16961  mndodconglem  19471  oddvds  19477  gexdvds  19514  coe1tmmul  22163  lebnumii  24865  ovolicc2lem4  25421  voliunlem1  25451  dvfsumle  25926  dvfsumleOLD  25927  dvfsumge  25928  dvfsumabs  25929  dvfsumlem3  25935  elply2  26101  coeeq2  26147  aaliou3lem6  26256  birthdaylem2  26862  birthdaylem3  26863  wilthlem1  26978  ftalem5  26987  basellem1  26991  basellem3  26993  ppiprm  27061  chtprm  27063  logfac2  27128  lgsval2lem  27218  lgsqrlem2  27258  lgseisenlem1  27286  lgseisenlem2  27287  lgseisenlem3  27288  lgsquadlem1  27291  lgsquadlem2  27292  2lgslem1a  27302  chebbnd1lem1  27380  dchrvmasumiflem1  27412  mulog2sumlem2  27446  pntrlog2bndlem6  27494  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntlemh  27510  pntlemj  27514  pntlemf  27516  axlowdimlem16  28884  crctcshwlkn0lem2  29741  crctcshlem4  29750  bcm1n  32718  psgnfzto1stlem  33057  cycpmco2lem6  33088  cycpmco2lem7  33089  smatrcl  33786  submateqlem1  33797  madjusmdetlem2  33818  ballotlemimin  34497  ballotlemsdom  34503  ballotlemsel1i  34504  ballotlemsima  34507  ballotlemfrceq  34520  ballotlemfrcn0  34521  fsum2dsub  34598  reprgt  34612  breprexplemc  34623  erdszelem8  35185  cvmliftlem2  35273  cvmliftlem7  35278  supfz  35716  bcprod  35725  bccolsum  35726  poimirlem2  37616  poimirlem3  37617  poimirlem4  37618  poimirlem6  37620  poimirlem7  37621  poimirlem8  37622  poimirlem12  37626  poimirlem13  37627  poimirlem14  37628  poimirlem15  37629  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  poimirlem21  37635  poimirlem22  37636  poimirlem23  37637  poimirlem24  37638  poimirlem26  37640  poimirlem28  37642  poimirlem29  37643  poimirlem31  37645  poimirlem32  37646  mblfinlem2  37652  aks4d1p5  42068  aks4d1p6  42069  aks4d1p8  42075  primrootlekpowne0  42093  aks6d1c1  42104  hashscontpow1  42109  aks6d1c5lem1  42124  sticksstones6  42139  sticksstones7  42140  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  sticksstones12  42146  bcled  42166  bcle2d  42167  unitscyglem2  42184  unitscyglem4  42186  irrapxlem3  42812  irrapxlem4  42813  fzmaxdif  42970  jm2.23  42985  jm2.26lem3  42990  jm2.27dlem2  42999  binomcxplemnn0  44338  monoords  45295  fmul01lt1lem1  45582  fmul01lt1lem2  45583  sumnnodd  45628  dvnmul  45941  dvnprodlem1  45944  dvnprodlem2  45945  iblspltprt  45971  itgspltprt  45977  stoweidlem3  46001  stoweidlem17  46015  stoweidlem20  46018  stoweidlem26  46024  stoweidlem34  46032  fourierdlem11  46116  fourierdlem12  46117  fourierdlem15  46120  fourierdlem25  46130  fourierdlem41  46146  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem50  46154  fourierdlem52  46156  fourierdlem54  46158  fourierdlem79  46183  fourierdlem102  46206  fourierdlem114  46218  elaa2lem  46231  etransclem23  46255  etransclem28  46260  etransclem35  46267  etransclem38  46270  iundjiun  46458  2elfz2melfz  47316  elfzelfzlble  47319  iccpartgt  47425  fmtno4prm  47573