Theorem elfzle2 13568

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13561	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12891	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ≤ cle 11296  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13575  fzdisj  13591  ssfzunsnext  13609  fznatpl1  13618  fzp1disj  13623  uzdisj  13637  fzneuz  13648  fznuz  13649  elfzmlbm  13678  difelfznle  13682  nn0disj  13684  elfzolem1  13744  seqf1olem1  14082  seqf1olem2  14083  bcval4  14346  bcp1nk  14356  hashf1  14496  seqcoll  14503  seqcoll2  14504  isercolllem2  15702  isercoll  15704  summolem2a  15751  fsum0diaglem  15812  mertenslem1  15920  prodmolem2a  15970  binomrisefac  16078  bpoly4  16095  fzm1ndvds  16359  prmind2  16722  prmdvdsfz  16742  isprm7  16745  hashdvds  16812  prmdiveq  16823  prmreclem3  16956  prmreclem5  16958  4sqlem11  16993  4sqlem12  16994  vdwlem1  17019  vdwlem3  17021  vdwlem6  17024  vdwlem9  17027  vdwlem10  17028  mndodconglem  19559  oddvds  19565  gexdvds  19602  coe1tmmul  22280  lebnumii  24998  ovolicc2lem4  25555  voliunlem1  25585  dvfsumle  26060  dvfsumleOLD  26061  dvfsumge  26062  dvfsumabs  26063  dvfsumlem3  26069  elply2  26235  coeeq2  26281  aaliou3lem6  26390  birthdaylem2  26995  birthdaylem3  26996  wilthlem1  27111  ftalem5  27120  basellem1  27124  basellem3  27126  ppiprm  27194  chtprm  27196  logfac2  27261  lgsval2lem  27351  lgsqrlem2  27391  lgseisenlem1  27419  lgseisenlem2  27420  lgseisenlem3  27421  lgsquadlem1  27424  lgsquadlem2  27425  2lgslem1a  27435  chebbnd1lem1  27513  dchrvmasumiflem1  27545  mulog2sumlem2  27579  pntrlog2bndlem6  27627  pntpbnd1  27630  pntpbnd2  27631  pntlemh  27643  pntlemj  27647  pntlemf  27649  axlowdimlem16  28972  crctcshwlkn0lem2  29831  crctcshlem4  29840  bcm1n  32797  psgnfzto1stlem  33120  cycpmco2lem6  33151  cycpmco2lem7  33152  smatrcl  33795  submateqlem1  33806  madjusmdetlem2  33827  ballotlemimin  34508  ballotlemsdom  34514  ballotlemsel1i  34515  ballotlemsima  34518  ballotlemfrceq  34531  ballotlemfrcn0  34532  fsum2dsub  34622  reprgt  34636  breprexplemc  34647  erdszelem8  35203  cvmliftlem2  35291  cvmliftlem7  35296  supfz  35729  bcprod  35738  bccolsum  35739  poimirlem2  37629  poimirlem3  37630  poimirlem4  37631  poimirlem6  37633  poimirlem7  37634  poimirlem8  37635  poimirlem12  37639  poimirlem13  37640  poimirlem14  37641  poimirlem15  37642  poimirlem16  37643  poimirlem17  37644  poimirlem19  37646  poimirlem20  37647  poimirlem21  37648  poimirlem22  37649  poimirlem23  37650  poimirlem24  37651  poimirlem26  37653  poimirlem28  37655  poimirlem29  37656  poimirlem31  37658  poimirlem32  37659  mblfinlem2  37665  aks4d1p5  42081  aks4d1p6  42082  aks4d1p8  42088  primrootlekpowne0  42106  aks6d1c1  42117  hashscontpow1  42122  aks6d1c5lem1  42137  sticksstones6  42152  sticksstones7  42153  sticksstones10  42156  sticksstones12a  42158  sticksstones12  42159  bcled  42179  bcle2d  42180  unitscyglem2  42197  unitscyglem4  42199  metakunt1  42206  metakunt7  42212  metakunt15  42220  metakunt16  42221  metakunt22  42227  metakunt28  42233  metakunt30  42235  irrapxlem3  42835  irrapxlem4  42836  fzmaxdif  42993  jm2.23  43008  jm2.26lem3  43013  jm2.27dlem2  43022  binomcxplemnn0  44368  monoords  45309  fmul01lt1lem1  45599  fmul01lt1lem2  45600  sumnnodd  45645  dvnmul  45958  dvnprodlem1  45961  dvnprodlem2  45962  iblspltprt  45988  itgspltprt  45994  stoweidlem3  46018  stoweidlem17  46032  stoweidlem20  46035  stoweidlem26  46041  stoweidlem34  46049  fourierdlem11  46133  fourierdlem12  46134  fourierdlem15  46137  fourierdlem25  46147  fourierdlem41  46163  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem50  46171  fourierdlem52  46173  fourierdlem54  46175  fourierdlem79  46200  fourierdlem102  46223  fourierdlem114  46235  elaa2lem  46248  etransclem23  46272  etransclem28  46277  etransclem35  46284  etransclem38  46287  iundjiun  46475  2elfz2melfz  47330  elfzelfzlble  47333  iccpartgt  47414  fmtno4prm  47562  difmodm1lt  48443