Theorem elfzle2 13473

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13466	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12792	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ≤ cle 11171  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11371  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13480  fzdisj  13496  ssfzunsnext  13514  fznatpl1  13523  fzp1disj  13528  uzdisj  13542  fzneuz  13553  fznuz  13554  elfzmlbm  13583  difelfznle  13587  nn0disj  13589  elfzolem1  13650  seqf1olem1  13994  seqf1olem2  13995  bcval4  14260  bcp1nk  14270  hashf1  14410  seqcoll  14417  seqcoll2  14418  isercolllem2  15619  isercoll  15621  summolem2a  15668  fsum0diaglem  15729  mertenslem1  15840  prodmolem2a  15890  binomrisefac  15998  bpoly4  16015  fzm1ndvds  16282  prmind2  16645  prmdvdsfz  16666  isprm7  16669  hashdvds  16736  prmdiveq  16747  prmreclem3  16880  prmreclem5  16882  4sqlem11  16917  4sqlem12  16918  vdwlem1  16943  vdwlem3  16945  vdwlem6  16948  vdwlem9  16951  vdwlem10  16952  mndodconglem  19507  oddvds  19513  gexdvds  19550  coe1tmmul  22263  lebnumii  24951  ovolicc2lem4  25505  voliunlem1  25535  dvfsumle  26006  dvfsumge  26007  dvfsumabs  26008  dvfsumlem3  26013  elply2  26179  coeeq2  26225  aaliou3lem6  26332  birthdaylem2  26934  birthdaylem3  26935  wilthlem1  27049  ftalem5  27058  basellem1  27062  basellem3  27064  ppiprm  27132  chtprm  27134  logfac2  27198  lgsval2lem  27288  lgsqrlem2  27328  lgseisenlem1  27356  lgseisenlem2  27357  lgseisenlem3  27358  lgsquadlem1  27361  lgsquadlem2  27362  2lgslem1a  27372  chebbnd1lem1  27450  dchrvmasumiflem1  27482  mulog2sumlem2  27516  pntrlog2bndlem6  27564  pntpbnd1  27567  pntpbnd2  27568  pntlemh  27580  pntlemj  27584  pntlemf  27586  axlowdimlem16  29044  crctcshwlkn0lem2  29897  crctcshlem4  29906  bcm1n  32887  psgnfzto1stlem  33181  cycpmco2lem6  33212  cycpmco2lem7  33213  smatrcl  33980  submateqlem1  33991  madjusmdetlem2  34012  ballotlemimin  34690  ballotlemsdom  34696  ballotlemsel1i  34697  ballotlemsima  34700  ballotlemfrceq  34713  ballotlemfrcn0  34714  fsum2dsub  34791  reprgt  34805  breprexplemc  34816  erdszelem8  35426  cvmliftlem2  35514  cvmliftlem7  35519  supfz  35957  bcprod  35966  bccolsum  35967  poimirlem2  37989  poimirlem3  37990  poimirlem4  37991  poimirlem6  37993  poimirlem7  37994  poimirlem8  37995  poimirlem12  37999  poimirlem13  38000  poimirlem14  38001  poimirlem15  38002  poimirlem16  38003  poimirlem17  38004  poimirlem19  38006  poimirlem20  38007  poimirlem21  38008  poimirlem22  38009  poimirlem23  38010  poimirlem24  38011  poimirlem26  38013  poimirlem28  38015  poimirlem29  38016  poimirlem31  38018  poimirlem32  38019  mblfinlem2  38025  aks4d1p5  42565  aks4d1p6  42566  aks4d1p8  42572  primrootlekpowne0  42590  aks6d1c1  42601  hashscontpow1  42606  aks6d1c5lem1  42621  sticksstones6  42636  sticksstones7  42637  sticksstones10  42640  sticksstones12a  42642  sticksstones12  42643  bcled  42663  bcle2d  42664  unitscyglem2  42681  unitscyglem4  42683  irrapxlem3  43269  irrapxlem4  43270  fzmaxdif  43426  jm2.23  43441  jm2.26lem3  43446  jm2.27dlem2  43455  binomcxplemnn0  44793  monoords  45745  fmul01lt1lem1  46029  fmul01lt1lem2  46030  sumnnodd  46075  dvnmul  46386  dvnprodlem1  46389  dvnprodlem2  46390  iblspltprt  46416  itgspltprt  46422  stoweidlem3  46446  stoweidlem17  46460  stoweidlem20  46463  stoweidlem26  46469  stoweidlem34  46477  fourierdlem11  46561  fourierdlem12  46562  fourierdlem15  46565  fourierdlem25  46575  fourierdlem41  46591  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem50  46599  fourierdlem52  46601  fourierdlem54  46603  fourierdlem79  46628  fourierdlem102  46651  fourierdlem114  46663  elaa2lem  46676  etransclem23  46700  etransclem28  46705  etransclem35  46712  etransclem38  46715  iundjiun  46903  2elfz2melfz  47781  elfzelfzlble  47784  iccpartgt  47902  fmtno4prm  48053