Theorem elfzle2 13116

Description: A member of a finite set of sequential integer is less than or equal to the upper bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 13109	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzle 12451	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝐾 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ≤ cle 10868  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-neg 11065  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096

This theorem is referenced by:  elfz1eq  13123  fzdisj  13139  ssfzunsnext  13157  fznatpl1  13166  fzp1disj  13171  uzdisj  13185  fzneuz  13193  fznuz  13194  elfzmlbm  13222  difelfznle  13226  nn0disj  13228  seqf1olem1  13615  seqf1olem2  13616  bcval4  13873  bcp1nk  13883  hashf1  14023  seqcoll  14030  seqcoll2  14031  isercolllem2  15229  isercoll  15231  summolem2a  15279  fsum0diaglem  15340  mertenslem1  15448  prodmolem2a  15496  binomrisefac  15604  bpoly4  15621  fzm1ndvds  15883  prmind2  16242  prmdvdsfz  16262  isprm7  16265  hashdvds  16328  prmdiveq  16339  prmreclem3  16471  prmreclem5  16473  4sqlem11  16508  4sqlem12  16509  vdwlem1  16534  vdwlem3  16536  vdwlem6  16539  vdwlem9  16542  vdwlem10  16543  mndodconglem  18933  oddvds  18939  gexdvds  18973  coe1tmmul  21198  lebnumii  23863  ovolicc2lem4  24417  voliunlem1  24447  dvfsumle  24918  dvfsumge  24919  dvfsumabs  24920  dvfsumlem3  24925  elply2  25090  coeeq2  25136  aaliou3lem6  25241  birthdaylem2  25835  birthdaylem3  25836  wilthlem1  25950  ftalem5  25959  basellem1  25963  basellem3  25965  ppiprm  26033  chtprm  26035  logfac2  26098  lgsval2lem  26188  lgsqrlem2  26228  lgseisenlem1  26256  lgseisenlem2  26257  lgseisenlem3  26258  lgsquadlem1  26261  lgsquadlem2  26262  2lgslem1a  26272  chebbnd1lem1  26350  dchrvmasumiflem1  26382  mulog2sumlem2  26416  pntrlog2bndlem6  26464  pntpbnd1  26467  pntpbnd2  26468  pntlemh  26480  pntlemj  26484  pntlemf  26486  axlowdimlem16  27048  crctcshwlkn0lem2  27895  crctcshlem4  27904  bcm1n  30836  psgnfzto1stlem  31086  cycpmco2lem6  31117  cycpmco2lem7  31118  smatrcl  31460  submateqlem1  31471  madjusmdetlem2  31492  ballotlemimin  32184  ballotlemsdom  32190  ballotlemsel1i  32191  ballotlemsima  32194  ballotlemfrceq  32207  ballotlemfrcn0  32208  fsum2dsub  32299  reprgt  32313  breprexplemc  32324  erdszelem8  32873  cvmliftlem2  32961  cvmliftlem7  32966  supfz  33412  bcprod  33422  bccolsum  33423  poimirlem2  35516  poimirlem3  35517  poimirlem4  35518  poimirlem6  35520  poimirlem7  35521  poimirlem8  35522  poimirlem12  35526  poimirlem13  35527  poimirlem14  35528  poimirlem15  35529  poimirlem16  35530  poimirlem17  35531  poimirlem19  35533  poimirlem20  35534  poimirlem21  35535  poimirlem22  35536  poimirlem23  35537  poimirlem24  35538  poimirlem26  35540  poimirlem28  35542  poimirlem29  35543  poimirlem31  35545  poimirlem32  35546  mblfinlem2  35552  sticksstones6  39829  sticksstones7  39830  sticksstones10  39833  sticksstones12a  39835  sticksstones12  39836  metakunt1  39847  metakunt7  39853  metakunt15  39861  metakunt16  39862  metakunt22  39868  metakunt28  39874  metakunt30  39876  irrapxlem3  40349  irrapxlem4  40350  fzmaxdif  40506  jm2.23  40521  jm2.26lem3  40526  jm2.27dlem2  40535  binomcxplemnn0  41640  monoords  42509  elfzolem1  42533  fmul01lt1lem1  42800  fmul01lt1lem2  42801  sumnnodd  42846  dvnmul  43159  dvnprodlem1  43162  dvnprodlem2  43163  iblspltprt  43189  itgspltprt  43195  stoweidlem3  43219  stoweidlem17  43233  stoweidlem20  43236  stoweidlem26  43242  stoweidlem34  43250  fourierdlem11  43334  fourierdlem12  43335  fourierdlem15  43338  fourierdlem25  43348  fourierdlem41  43364  fourierdlem48  43370  fourierdlem49  43371  fourierdlem50  43372  fourierdlem52  43374  fourierdlem54  43376  fourierdlem79  43401  fourierdlem102  43424  fourierdlem114  43436  elaa2lem  43449  etransclem23  43473  etransclem28  43478  etransclem35  43485  etransclem38  43488  iundjiun  43673  2elfz2melfz  44483  elfzelfzlble  44486  iccpartgt  44552  fmtno4prm  44700  difmodm1lt  45541