Theorem elfzoel2 13694

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4346	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13692	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6747	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7616	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2965	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∅c0 4338  𝒫 cpw 4604   × cxp 5686  (class class class)co 7430  ℤcz 12610  ..^cfzo 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13695  elfzo2  13698  elfzole1  13703  elfzolt2  13704  elfzolt3  13705  elfzolt2b  13706  elfzolt3b  13707  elfzop1le2  13708  fzonel  13709  elfzouz2  13710  fzonnsub  13720  fzoss1  13722  fzospliti  13727  fzodisj  13729  elfzolem1  13740  elfzo0subge1  13741  elfzo0suble  13742  fzoaddel  13752  fzo0addelr  13754  elfzoextl  13756  elfzoext  13757  elincfzoext  13758  fzosubel  13759  fzoend  13792  ssfzo12  13794  fzoopth  13797  fzofzp1  13799  elfzo1elm1fzo0  13803  fzonfzoufzol  13805  elfznelfzob  13808  peano2fzor  13809  fzostep1  13818  modsumfzodifsn  13981  addmodlteq  13983  cshwidxm1  14841  cshimadifsn0  14865  fzomaxdiflem  15377  fzo0dvdseq  16356  fzocongeq  16357  addmodlteqALT  16358  efgsp1  19769  efgsres  19770  crctcshwlkn0lem2  29840  crctcshwlkn0lem3  29841  crctcshwlkn0lem5  29843  crctcshwlkn0lem6  29844  crctcshwlkn0  29850  crctcsh  29853  eucrctshift  30271  eucrct2eupth  30273  fzssfzo  34532  signsvfn  34575  dvnmul  45898  iblspltprt  45928  stoweidlem3  45958  fourierdlem12  46074  fourierdlem50  46111  fourierdlem64  46125  fourierdlem79  46140  natglobalincr  46830  submodlt  47289  iccpartiltu  47346  iccpartgt  47351  bgoldbtbndlem2  47730  gpgedgvtx1  47954