MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzoel2 13030
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2
StepHypRef Expression
1 ne0i 4281 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2 fzof 13028 . . . . . 6 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
32fdmi 6505 . . . . 5 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
43ndmov 7315 . . . 4 (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
54necon1ai 3040 . . 3 ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
61, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
76simprd 499 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wne 3013  c0 4274  𝒫 cpw 4520   × cxp 5534  (class class class)co 7138  cz 11967  ..^cfzo 13026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-neg 10858  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-fzo 13027
This theorem is referenced by:  elfzoelz  13031  elfzo2  13034  elfzole1  13039  elfzolt2  13040  elfzolt3  13041  elfzolt2b  13042  elfzolt3b  13043  fzonel  13044  elfzouz2  13045  fzonnsub  13055  fzoss1  13057  fzospliti  13062  fzodisj  13064  fzoaddel  13083  fzo0addelr  13085  elfzoext  13087  elincfzoext  13088  fzosubel  13089  fzoend  13121  ssfzo12  13123  fzofzp1  13127  elfzo1elm1fzo0  13131  fzonfzoufzol  13133  elfznelfzob  13136  peano2fzor  13137  fzostep1  13146  modsumfzodifsn  13305  addmodlteq  13307  cshwidxm1  14158  cshimadifsn0  14181  fzomaxdiflem  14691  fzo0dvdseq  15662  fzocongeq  15663  addmodlteqALT  15664  efgsp1  18852  efgsres  18853  crctcshwlkn0lem2  27586  crctcshwlkn0lem3  27587  crctcshwlkn0lem5  27589  crctcshwlkn0lem6  27590  crctcshwlkn0  27596  crctcsh  27599  eucrctshift  28017  eucrct2eupth  28019  fzssfzo  31827  signsvfn  31870  elfzop1le2  41763  elfzolem1  41795  dvnmul  42427  iblspltprt  42457  stoweidlem3  42487  fourierdlem12  42603  fourierdlem50  42640  fourierdlem64  42654  fourierdlem79  42669  fzoopth  43726  iccpartiltu  43781  iccpartgt  43786  bgoldbtbndlem2  44166
  Copyright terms: Public domain W3C validator