Theorem elfzoel2 13785

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4287	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13783	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6719	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7603	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2983	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 501	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   × cxp 5649  (class class class)co 7418  ℤcz 12686  ..^cfzo 13781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-neg 11537  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782

This theorem is used by:  elfzoelz  13786  elfzo2  13789  elfzole1  13795  elfzolt2  13796  elfzolt3  13797  elfzolt2b  13798  elfzolt3b  13799  elfzop1le2  13800  fzonel  13801  elfzouz2  13802  fzonnsub  13812  fzoss1  13814  fzospliti  13819  fzodisj  13821  elfzolem1  13832  elfzo0subge1  13833  elfzo0suble  13834  fzoaddel  13845  fzo0addelr  13847  elfzoextl  13849  elfzoext  13850  elincfzoext  13851  fzosubel  13852  fzoend  13885  ssfzo12  13887  fzoopth  13890  fzofzp1  13892  elfzo1elm1fzo0  13896  fzonfzoufzol  13899  elfznelfzob  13902  peano2fzor  13903  fzostep1  13914  modsumfzodifsn  14080  addmodlteq  14082  cshwidxm1  14951  cshimadifsn0  14974  fzomaxdiflem  15503  fzo0dvdseq  16486  fzocongeq  16487  addmodlteqALT  16488  efgsp1  19944  efgsres  19945  crctcshwlkn0lem2  30393  crctcshwlkn0lem3  30394  crctcshwlkn0lem5  30396  crctcshwlkn0lem6  30397  crctcshwlkn0  30403  crctcsh  30406  eucrctshift  30837  eucrct2eupth  30839  fzssfzo  35164  signsvfn  35204  dvnmul  46922  iblspltprt  46952  stoweidlem3  46982  fourierdlem12  47098  fourierdlem50  47135  fourierdlem64  47149  fourierdlem79  47164  ormkglobd  47856  chnerlem2  47862  nnmul2  48369  submodlt  48395  muldvdsfacgt  48425  muldvdsfacm1  48426  iccpartiltu  48473  iccpartgt  48478  bgoldbtbndlem2  48873  gpgedgvtx1  49129