Theorem elfzoel2 13633

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4334	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13631	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6729	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7593	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2968	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 496	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602   × cxp 5674  (class class class)co 7411  ℤcz 12560  ..^cfzo 13629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-neg 11449  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13634  elfzo2  13637  elfzole1  13642  elfzolt2  13643  elfzolt3  13644  elfzolt2b  13645  elfzolt3b  13646  elfzop1le2  13647  fzonel  13648  elfzouz2  13649  fzonnsub  13659  fzoss1  13661  fzospliti  13666  fzodisj  13668  fzoaddel  13687  fzo0addelr  13689  elfzoext  13691  elincfzoext  13692  fzosubel  13693  fzoend  13725  ssfzo12  13727  fzofzp1  13731  elfzo1elm1fzo0  13735  fzonfzoufzol  13737  elfznelfzob  13740  peano2fzor  13741  fzostep1  13750  modsumfzodifsn  13911  addmodlteq  13913  cshwidxm1  14759  cshimadifsn0  14783  fzomaxdiflem  15291  fzo0dvdseq  16268  fzocongeq  16269  addmodlteqALT  16270  efgsp1  19607  efgsres  19608  crctcshwlkn0lem2  29103  crctcshwlkn0lem3  29104  crctcshwlkn0lem5  29106  crctcshwlkn0lem6  29107  crctcshwlkn0  29113  crctcsh  29116  eucrctshift  29534  eucrct2eupth  29536  fzssfzo  33619  signsvfn  33662  elfzolem1  44110  dvnmul  44738  iblspltprt  44768  stoweidlem3  44798  fourierdlem12  44914  fourierdlem50  44951  fourierdlem64  44965  fourierdlem79  44980  natglobalincr  45670  fzoopth  46114  iccpartiltu  46169  iccpartgt  46174  bgoldbtbndlem2  46553