Theorem elfzoel2 13574

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4293	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13572	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6673	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7542	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2959	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554   × cxp 5622  (class class class)co 7358  ℤcz 12488  ..^cfzo 13570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13575  elfzo2  13578  elfzole1  13583  elfzolt2  13584  elfzolt3  13585  elfzolt2b  13586  elfzolt3b  13587  elfzop1le2  13588  fzonel  13589  elfzouz2  13590  fzonnsub  13600  fzoss1  13602  fzospliti  13607  fzodisj  13609  elfzolem1  13620  elfzo0subge1  13621  elfzo0suble  13622  fzoaddel  13633  fzo0addelr  13635  elfzoextl  13637  elfzoext  13638  elincfzoext  13639  fzosubel  13640  fzoend  13673  ssfzo12  13675  fzoopth  13678  fzofzp1  13680  elfzo1elm1fzo0  13684  fzonfzoufzol  13687  elfznelfzob  13690  peano2fzor  13691  fzostep1  13702  modsumfzodifsn  13867  addmodlteq  13869  cshwidxm1  14730  cshimadifsn0  14753  fzomaxdiflem  15266  fzo0dvdseq  16250  fzocongeq  16251  addmodlteqALT  16252  efgsp1  19666  efgsres  19667  crctcshwlkn0lem2  29884  crctcshwlkn0lem3  29885  crctcshwlkn0lem5  29887  crctcshwlkn0lem6  29888  crctcshwlkn0  29894  crctcsh  29897  eucrctshift  30318  eucrct2eupth  30320  fzssfzo  34696  signsvfn  34739  dvnmul  46187  iblspltprt  46217  stoweidlem3  46247  fourierdlem12  46363  fourierdlem50  46400  fourierdlem64  46414  fourierdlem79  46429  ormkglobd  47119  natglobalincr  47121  chnerlem2  47127  submodlt  47596  iccpartiltu  47668  iccpartgt  47673  bgoldbtbndlem2  48052  gpgedgvtx1  48308