Theorem elfzoel2 13581

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4299	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13579	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6685	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7543	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2967	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 496	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4565   × cxp 5636  (class class class)co 7362  ℤcz 12508  ..^cfzo 13577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-neg 11397  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13582  elfzo2  13585  elfzole1  13590  elfzolt2  13591  elfzolt3  13592  elfzolt2b  13593  elfzolt3b  13594  elfzop1le2  13595  fzonel  13596  elfzouz2  13597  fzonnsub  13607  fzoss1  13609  fzospliti  13614  fzodisj  13616  fzoaddel  13635  fzo0addelr  13637  elfzoext  13639  elincfzoext  13640  fzosubel  13641  fzoend  13673  ssfzo12  13675  fzofzp1  13679  elfzo1elm1fzo0  13683  fzonfzoufzol  13685  elfznelfzob  13688  peano2fzor  13689  fzostep1  13698  modsumfzodifsn  13859  addmodlteq  13861  cshwidxm1  14707  cshimadifsn0  14731  fzomaxdiflem  15239  fzo0dvdseq  16216  fzocongeq  16217  addmodlteqALT  16218  efgsp1  19533  efgsres  19534  crctcshwlkn0lem2  28819  crctcshwlkn0lem3  28820  crctcshwlkn0lem5  28822  crctcshwlkn0lem6  28823  crctcshwlkn0  28829  crctcsh  28832  eucrctshift  29250  eucrct2eupth  29252  fzssfzo  33240  signsvfn  33283  elfzolem1  43676  dvnmul  44304  iblspltprt  44334  stoweidlem3  44364  fourierdlem12  44480  fourierdlem50  44517  fourierdlem64  44531  fourierdlem79  44546  natglobalincr  45236  fzoopth  45679  iccpartiltu  45734  iccpartgt  45739  bgoldbtbndlem2  46118