Theorem elfzoel2 13032

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13030	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6498	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7312	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 3014	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 499	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497   × cxp 5517  (class class class)co 7135  ℤcz 11969  ..^cfzo 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13033  elfzo2  13036  elfzole1  13041  elfzolt2  13042  elfzolt3  13043  elfzolt2b  13044  elfzolt3b  13045  fzonel  13046  elfzouz2  13047  fzonnsub  13057  fzoss1  13059  fzospliti  13064  fzodisj  13066  fzoaddel  13085  fzo0addelr  13087  elfzoext  13089  elincfzoext  13090  fzosubel  13091  fzoend  13123  ssfzo12  13125  fzofzp1  13129  elfzo1elm1fzo0  13133  fzonfzoufzol  13135  elfznelfzob  13138  peano2fzor  13139  fzostep1  13148  modsumfzodifsn  13307  addmodlteq  13309  cshwidxm1  14160  cshimadifsn0  14183  fzomaxdiflem  14694  fzo0dvdseq  15665  fzocongeq  15666  addmodlteqALT  15667  efgsp1  18855  efgsres  18856  crctcshwlkn0lem2  27597  crctcshwlkn0lem3  27598  crctcshwlkn0lem5  27600  crctcshwlkn0lem6  27601  crctcshwlkn0  27607  crctcsh  27610  eucrctshift  28028  eucrct2eupth  28030  fzssfzo  31919  signsvfn  31962  elfzop1le2  41921  elfzolem1  41953  dvnmul  42585  iblspltprt  42615  stoweidlem3  42645  fourierdlem12  42761  fourierdlem50  42798  fourierdlem64  42812  fourierdlem79  42827  fzoopth  43884  iccpartiltu  43939  iccpartgt  43944  bgoldbtbndlem2  44324