Theorem elfzoel2 13586

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4295	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13584	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6681	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7552	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2960	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556   × cxp 5630  (class class class)co 7368  ℤcz 12500  ..^cfzo 13582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-neg 11379  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13587  elfzo2  13590  elfzole1  13595  elfzolt2  13596  elfzolt3  13597  elfzolt2b  13598  elfzolt3b  13599  elfzop1le2  13600  fzonel  13601  elfzouz2  13602  fzonnsub  13612  fzoss1  13614  fzospliti  13619  fzodisj  13621  elfzolem1  13632  elfzo0subge1  13633  elfzo0suble  13634  fzoaddel  13645  fzo0addelr  13647  elfzoextl  13649  elfzoext  13650  elincfzoext  13651  fzosubel  13652  fzoend  13685  ssfzo12  13687  fzoopth  13690  fzofzp1  13692  elfzo1elm1fzo0  13696  fzonfzoufzol  13699  elfznelfzob  13702  peano2fzor  13703  fzostep1  13714  modsumfzodifsn  13879  addmodlteq  13881  cshwidxm1  14742  cshimadifsn0  14765  fzomaxdiflem  15278  fzo0dvdseq  16262  fzocongeq  16263  addmodlteqALT  16264  efgsp1  19678  efgsres  19679  crctcshwlkn0lem2  29896  crctcshwlkn0lem3  29897  crctcshwlkn0lem5  29899  crctcshwlkn0lem6  29900  crctcshwlkn0  29906  crctcsh  29909  eucrctshift  30330  eucrct2eupth  30332  fzssfzo  34717  signsvfn  34760  dvnmul  46301  iblspltprt  46331  stoweidlem3  46361  fourierdlem12  46477  fourierdlem50  46514  fourierdlem64  46528  fourierdlem79  46543  ormkglobd  47233  natglobalincr  47235  chnerlem2  47241  submodlt  47710  iccpartiltu  47782  iccpartgt  47787  bgoldbtbndlem2  48166  gpgedgvtx1  48422