Theorem elfzoel2 13386

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4268	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13384	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6612	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7456	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2971	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 496	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533   × cxp 5587  (class class class)co 7275  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-neg 11208  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13387  elfzo2  13390  elfzole1  13395  elfzolt2  13396  elfzolt3  13397  elfzolt2b  13398  elfzolt3b  13399  elfzop1le2  13400  fzonel  13401  elfzouz2  13402  fzonnsub  13412  fzoss1  13414  fzospliti  13419  fzodisj  13421  fzoaddel  13440  fzo0addelr  13442  elfzoext  13444  elincfzoext  13445  fzosubel  13446  fzoend  13478  ssfzo12  13480  fzofzp1  13484  elfzo1elm1fzo0  13488  fzonfzoufzol  13490  elfznelfzob  13493  peano2fzor  13494  fzostep1  13503  modsumfzodifsn  13664  addmodlteq  13666  cshwidxm1  14520  cshimadifsn0  14543  fzomaxdiflem  15054  fzo0dvdseq  16032  fzocongeq  16033  addmodlteqALT  16034  efgsp1  19343  efgsres  19344  crctcshwlkn0lem2  28176  crctcshwlkn0lem3  28177  crctcshwlkn0lem5  28179  crctcshwlkn0lem6  28180  crctcshwlkn0  28186  crctcsh  28189  eucrctshift  28607  eucrct2eupth  28609  fzssfzo  32518  signsvfn  32561  elfzolem1  42860  dvnmul  43484  iblspltprt  43514  stoweidlem3  43544  fourierdlem12  43660  fourierdlem50  43697  fourierdlem64  43711  fourierdlem79  43726  fzoopth  44819  iccpartiltu  44874  iccpartgt  44879  bgoldbtbndlem2  45258  natglobalincr  46512