Theorem elfzoel2 13561

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4292	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13559	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6663	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7533	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2952	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551   × cxp 5617  (class class class)co 7349  ℤcz 12471  ..^cfzo 13557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13562  elfzo2  13565  elfzole1  13570  elfzolt2  13571  elfzolt3  13572  elfzolt2b  13573  elfzolt3b  13574  elfzop1le2  13575  fzonel  13576  elfzouz2  13577  fzonnsub  13587  fzoss1  13589  fzospliti  13594  fzodisj  13596  elfzolem1  13607  elfzo0subge1  13608  elfzo0suble  13609  fzoaddel  13620  fzo0addelr  13622  elfzoextl  13624  elfzoext  13625  elincfzoext  13626  fzosubel  13627  fzoend  13660  ssfzo12  13662  fzoopth  13665  fzofzp1  13667  elfzo1elm1fzo0  13671  fzonfzoufzol  13673  elfznelfzob  13676  peano2fzor  13677  fzostep1  13686  modsumfzodifsn  13851  addmodlteq  13853  cshwidxm1  14713  cshimadifsn0  14737  fzomaxdiflem  15250  fzo0dvdseq  16234  fzocongeq  16235  addmodlteqALT  16236  efgsp1  19616  efgsres  19617  crctcshwlkn0lem2  29756  crctcshwlkn0lem3  29757  crctcshwlkn0lem5  29759  crctcshwlkn0lem6  29760  crctcshwlkn0  29766  crctcsh  29769  eucrctshift  30187  eucrct2eupth  30189  fzssfzo  34507  signsvfn  34550  dvnmul  45924  iblspltprt  45954  stoweidlem3  45984  fourierdlem12  46100  fourierdlem50  46137  fourierdlem64  46151  fourierdlem79  46166  ormkglobd  46856  natglobalincr  46858  submodlt  47334  iccpartiltu  47406  iccpartgt  47411  bgoldbtbndlem2  47790  gpgedgvtx1  48046