Theorem elfzoel2 13698

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4341	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13696	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6747	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7617	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2968	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600   × cxp 5683  (class class class)co 7431  ℤcz 12613  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13699  elfzo2  13702  elfzole1  13707  elfzolt2  13708  elfzolt3  13709  elfzolt2b  13710  elfzolt3b  13711  elfzop1le2  13712  fzonel  13713  elfzouz2  13714  fzonnsub  13724  fzoss1  13726  fzospliti  13731  fzodisj  13733  elfzolem1  13744  elfzo0subge1  13745  elfzo0suble  13746  fzoaddel  13756  fzo0addelr  13758  elfzoextl  13760  elfzoext  13761  elincfzoext  13762  fzosubel  13763  fzoend  13796  ssfzo12  13798  fzoopth  13801  fzofzp1  13803  elfzo1elm1fzo0  13807  fzonfzoufzol  13809  elfznelfzob  13812  peano2fzor  13813  fzostep1  13822  modsumfzodifsn  13985  addmodlteq  13987  cshwidxm1  14845  cshimadifsn0  14869  fzomaxdiflem  15381  fzo0dvdseq  16360  fzocongeq  16361  addmodlteqALT  16362  efgsp1  19755  efgsres  19756  crctcshwlkn0lem2  29831  crctcshwlkn0lem3  29832  crctcshwlkn0lem5  29834  crctcshwlkn0lem6  29835  crctcshwlkn0  29841  crctcsh  29844  eucrctshift  30262  eucrct2eupth  30264  fzssfzo  34554  signsvfn  34597  dvnmul  45958  iblspltprt  45988  stoweidlem3  46018  fourierdlem12  46134  fourierdlem50  46171  fourierdlem64  46185  fourierdlem79  46200  ormkglobd  46890  natglobalincr  46892  submodlt  47352  iccpartiltu  47409  iccpartgt  47414  bgoldbtbndlem2  47793  gpgedgvtx1  48020