Theorem elfzoel2 13674

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4296	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13672	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6707	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7584	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2987	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558   × cxp 5649  (class class class)co 7400  ℤcz 12579  ..^cfzo 13670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-neg 11432  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13675  elfzo2  13678  elfzole1  13684  elfzolt2  13685  elfzolt3  13686  elfzolt2b  13687  elfzolt3b  13688  elfzop1le2  13689  fzonel  13690  elfzouz2  13691  fzonnsub  13701  fzoss1  13703  fzospliti  13708  fzodisj  13710  elfzolem1  13721  elfzo0subge1  13722  elfzo0suble  13723  fzoaddel  13734  fzo0addelr  13736  elfzoextl  13738  elfzoext  13739  elincfzoext  13740  fzosubel  13741  fzoend  13774  ssfzo12  13776  fzoopth  13779  fzofzp1  13781  elfzo1elm1fzo0  13785  fzonfzoufzol  13788  elfznelfzob  13791  peano2fzor  13792  fzostep1  13803  modsumfzodifsn  13968  addmodlteq  13970  cshwidxm1  14832  cshimadifsn0  14855  fzomaxdiflem  15382  fzo0dvdseq  16369  fzocongeq  16370  addmodlteqALT  16371  efgsp1  19795  efgsres  19796  crctcshwlkn0lem2  30065  crctcshwlkn0lem3  30066  crctcshwlkn0lem5  30068  crctcshwlkn0lem6  30069  crctcshwlkn0  30075  crctcsh  30078  eucrctshift  30499  eucrct2eupth  30501  fzssfzo  34841  signsvfn  34881  dvnmul  46516  iblspltprt  46546  stoweidlem3  46576  fourierdlem12  46692  fourierdlem50  46729  fourierdlem64  46743  fourierdlem79  46758  ormkglobd  47450  natglobalincr  47452  chnerlem2  47458  nnmul2  47923  submodlt  47949  muldvdsfacgt  47979  muldvdsfacm1  47980  iccpartiltu  48027  iccpartgt  48032  bgoldbtbndlem2  48427  gpgedgvtx1  48683