Theorem elfzoel2 13558

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4288	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13556	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6662	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7530	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2955	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4280  𝒫 cpw 4547   × cxp 5612  (class class class)co 7346  ℤcz 12468  ..^cfzo 13554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13559  elfzo2  13562  elfzole1  13567  elfzolt2  13568  elfzolt3  13569  elfzolt2b  13570  elfzolt3b  13571  elfzop1le2  13572  fzonel  13573  elfzouz2  13574  fzonnsub  13584  fzoss1  13586  fzospliti  13591  fzodisj  13593  elfzolem1  13604  elfzo0subge1  13605  elfzo0suble  13606  fzoaddel  13617  fzo0addelr  13619  elfzoextl  13621  elfzoext  13622  elincfzoext  13623  fzosubel  13624  fzoend  13657  ssfzo12  13659  fzoopth  13662  fzofzp1  13664  elfzo1elm1fzo0  13668  fzonfzoufzol  13671  elfznelfzob  13674  peano2fzor  13675  fzostep1  13686  modsumfzodifsn  13851  addmodlteq  13853  cshwidxm1  14714  cshimadifsn0  14737  fzomaxdiflem  15250  fzo0dvdseq  16234  fzocongeq  16235  addmodlteqALT  16236  efgsp1  19649  efgsres  19650  crctcshwlkn0lem2  29789  crctcshwlkn0lem3  29790  crctcshwlkn0lem5  29792  crctcshwlkn0lem6  29793  crctcshwlkn0  29799  crctcsh  29802  eucrctshift  30223  eucrct2eupth  30225  fzssfzo  34552  signsvfn  34595  dvnmul  45989  iblspltprt  46019  stoweidlem3  46049  fourierdlem12  46165  fourierdlem50  46202  fourierdlem64  46216  fourierdlem79  46231  ormkglobd  46921  natglobalincr  46923  submodlt  47389  iccpartiltu  47461  iccpartgt  47466  bgoldbtbndlem2  47845  gpgedgvtx1  48101