Theorem elfzoel2 13315

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4265	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13313	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6596	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7434	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2970	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530   × cxp 5578  (class class class)co 7255  ℤcz 12249  ..^cfzo 13311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13316  elfzo2  13319  elfzole1  13324  elfzolt2  13325  elfzolt3  13326  elfzolt2b  13327  elfzolt3b  13328  fzonel  13329  elfzouz2  13330  fzonnsub  13340  fzoss1  13342  fzospliti  13347  fzodisj  13349  fzoaddel  13368  fzo0addelr  13370  elfzoext  13372  elincfzoext  13373  fzosubel  13374  fzoend  13406  ssfzo12  13408  fzofzp1  13412  elfzo1elm1fzo0  13416  fzonfzoufzol  13418  elfznelfzob  13421  peano2fzor  13422  fzostep1  13431  modsumfzodifsn  13592  addmodlteq  13594  cshwidxm1  14448  cshimadifsn0  14471  fzomaxdiflem  14982  fzo0dvdseq  15960  fzocongeq  15961  addmodlteqALT  15962  efgsp1  19258  efgsres  19259  crctcshwlkn0lem2  28077  crctcshwlkn0lem3  28078  crctcshwlkn0lem5  28080  crctcshwlkn0lem6  28081  crctcshwlkn0  28087  crctcsh  28090  eucrctshift  28508  eucrct2eupth  28510  fzssfzo  32418  signsvfn  32461  elfzop1le2  42718  elfzolem1  42750  dvnmul  43374  iblspltprt  43404  stoweidlem3  43434  fourierdlem12  43550  fourierdlem50  43587  fourierdlem64  43601  fourierdlem79  43616  fzoopth  44707  iccpartiltu  44762  iccpartgt  44767  bgoldbtbndlem2  45146