Theorem elfzoel2 13713

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4287	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13711	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6714	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7598	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2982	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 501	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   × cxp 5653  (class class class)co 7413  ℤcz 12615  ..^cfzo 13709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-neg 11468  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710

This theorem is used by:  elfzoelz  13714  elfzo2  13717  elfzole1  13723  elfzolt2  13724  elfzolt3  13725  elfzolt2b  13726  elfzolt3b  13727  elfzop1le2  13728  fzonel  13729  elfzouz2  13730  fzonnsub  13740  fzoss1  13742  fzospliti  13747  fzodisj  13749  elfzolem1  13760  elfzo0subge1  13761  elfzo0suble  13762  fzoaddel  13773  fzo0addelr  13775  elfzoextl  13777  elfzoext  13778  elincfzoext  13779  fzosubel  13780  fzoend  13813  ssfzo12  13815  fzoopth  13818  fzofzp1  13820  elfzo1elm1fzo0  13824  fzonfzoufzol  13827  elfznelfzob  13830  peano2fzor  13831  fzostep1  13842  modsumfzodifsn  14008  addmodlteq  14010  cshwidxm1  14878  cshimadifsn0  14901  fzomaxdiflem  15430  fzo0dvdseq  16413  fzocongeq  16414  addmodlteqALT  16415  efgsp1  19864  efgsres  19865  crctcshwlkn0lem2  30279  crctcshwlkn0lem3  30280  crctcshwlkn0lem5  30282  crctcshwlkn0lem6  30283  crctcshwlkn0  30289  crctcsh  30292  eucrctshift  30723  eucrct2eupth  30725  fzssfzo  35050  signsvfn  35090  dvnmul  46771  iblspltprt  46801  stoweidlem3  46831  fourierdlem12  46947  fourierdlem50  46984  fourierdlem64  46998  fourierdlem79  47013  ormkglobd  47705  chnerlem2  47711  nnmul2  48218  submodlt  48244  muldvdsfacgt  48274  muldvdsfacm1  48275  iccpartiltu  48322  iccpartgt  48327  bgoldbtbndlem2  48722  gpgedgvtx1  48978