Theorem elfzoel2 13626

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4307	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13624	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6702	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7576	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2953	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566   × cxp 5639  (class class class)co 7390  ℤcz 12536  ..^cfzo 13622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-neg 11415  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13627  elfzo2  13630  elfzole1  13635  elfzolt2  13636  elfzolt3  13637  elfzolt2b  13638  elfzolt3b  13639  elfzop1le2  13640  fzonel  13641  elfzouz2  13642  fzonnsub  13652  fzoss1  13654  fzospliti  13659  fzodisj  13661  elfzolem1  13672  elfzo0subge1  13673  elfzo0suble  13674  fzoaddel  13685  fzo0addelr  13687  elfzoextl  13689  elfzoext  13690  elincfzoext  13691  fzosubel  13692  fzoend  13725  ssfzo12  13727  fzoopth  13730  fzofzp1  13732  elfzo1elm1fzo0  13736  fzonfzoufzol  13738  elfznelfzob  13741  peano2fzor  13742  fzostep1  13751  modsumfzodifsn  13916  addmodlteq  13918  cshwidxm1  14779  cshimadifsn0  14803  fzomaxdiflem  15316  fzo0dvdseq  16300  fzocongeq  16301  addmodlteqALT  16302  efgsp1  19674  efgsres  19675  crctcshwlkn0lem2  29748  crctcshwlkn0lem3  29749  crctcshwlkn0lem5  29751  crctcshwlkn0lem6  29752  crctcshwlkn0  29758  crctcsh  29761  eucrctshift  30179  eucrct2eupth  30181  fzssfzo  34537  signsvfn  34580  dvnmul  45948  iblspltprt  45978  stoweidlem3  46008  fourierdlem12  46124  fourierdlem50  46161  fourierdlem64  46175  fourierdlem79  46190  ormkglobd  46880  natglobalincr  46882  submodlt  47355  iccpartiltu  47427  iccpartgt  47432  bgoldbtbndlem2  47811  gpgedgvtx1  48057