Theorem elfzoel2 13612

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4281	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13610	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6679	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7551	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2959	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541   × cxp 5629  (class class class)co 7367  ℤcz 12524  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13613  elfzo2  13616  elfzole1  13622  elfzolt2  13623  elfzolt3  13624  elfzolt2b  13625  elfzolt3b  13626  elfzop1le2  13627  fzonel  13628  elfzouz2  13629  fzonnsub  13639  fzoss1  13641  fzospliti  13646  fzodisj  13648  elfzolem1  13659  elfzo0subge1  13660  elfzo0suble  13661  fzoaddel  13672  fzo0addelr  13674  elfzoextl  13676  elfzoext  13677  elincfzoext  13678  fzosubel  13679  fzoend  13712  ssfzo12  13714  fzoopth  13717  fzofzp1  13719  elfzo1elm1fzo0  13723  fzonfzoufzol  13726  elfznelfzob  13729  peano2fzor  13730  fzostep1  13741  modsumfzodifsn  13906  addmodlteq  13908  cshwidxm1  14769  cshimadifsn0  14792  fzomaxdiflem  15305  fzo0dvdseq  16292  fzocongeq  16293  addmodlteqALT  16294  efgsp1  19712  efgsres  19713  crctcshwlkn0lem2  29879  crctcshwlkn0lem3  29880  crctcshwlkn0lem5  29882  crctcshwlkn0lem6  29883  crctcshwlkn0  29889  crctcsh  29892  eucrctshift  30313  eucrct2eupth  30315  fzssfzo  34683  signsvfn  34726  dvnmul  46371  iblspltprt  46401  stoweidlem3  46431  fourierdlem12  46547  fourierdlem50  46584  fourierdlem64  46598  fourierdlem79  46613  ormkglobd  47305  natglobalincr  47307  chnerlem2  47313  nnmul2  47778  submodlt  47804  muldvdsfacgt  47834  muldvdsfacm1  47835  iccpartiltu  47882  iccpartgt  47887  bgoldbtbndlem2  48282  gpgedgvtx1  48538