Theorem elfzoel2 13603

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4269	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13601	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6666	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7540	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2961	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 496	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4261  𝒫 cpw 4529   × cxp 5616  (class class class)co 7356  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-neg 11371  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13604  elfzo2  13607  elfzole1  13613  elfzolt2  13614  elfzolt3  13615  elfzolt2b  13616  elfzolt3b  13617  elfzop1le2  13618  fzonel  13619  elfzouz2  13620  fzonnsub  13630  fzoss1  13632  fzospliti  13637  fzodisj  13639  elfzolem1  13650  elfzo0subge1  13651  elfzo0suble  13652  fzoaddel  13663  fzo0addelr  13665  elfzoextl  13667  elfzoext  13668  elincfzoext  13669  fzosubel  13670  fzoend  13703  ssfzo12  13705  fzoopth  13708  fzofzp1  13710  elfzo1elm1fzo0  13714  fzonfzoufzol  13717  elfznelfzob  13720  peano2fzor  13721  fzostep1  13732  modsumfzodifsn  13897  addmodlteq  13899  cshwidxm1  14760  cshimadifsn0  14783  fzomaxdiflem  15296  fzo0dvdseq  16283  fzocongeq  16284  addmodlteqALT  16285  efgsp1  19703  efgsres  19704  crctcshwlkn0lem2  29897  crctcshwlkn0lem3  29898  crctcshwlkn0lem5  29900  crctcshwlkn0lem6  29901  crctcshwlkn0  29907  crctcsh  29910  eucrctshift  30331  eucrct2eupth  30333  fzssfzo  34723  signsvfn  34766  dvnmul  46386  iblspltprt  46416  stoweidlem3  46446  fourierdlem12  46562  fourierdlem50  46599  fourierdlem64  46613  fourierdlem79  46628  ormkglobd  47320  natglobalincr  47322  chnerlem2  47328  nnmul2  47793  submodlt  47819  muldvdsfacgt  47849  muldvdsfacm1  47850  iccpartiltu  47897  iccpartgt  47902  bgoldbtbndlem2  48297  gpgedgvtx1  48553