Theorem elfzoel2 13675

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4316	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13673	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6717	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7591	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2959	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575   × cxp 5652  (class class class)co 7405  ℤcz 12588  ..^cfzo 13671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-neg 11469  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13676  elfzo2  13679  elfzole1  13684  elfzolt2  13685  elfzolt3  13686  elfzolt2b  13687  elfzolt3b  13688  elfzop1le2  13689  fzonel  13690  elfzouz2  13691  fzonnsub  13701  fzoss1  13703  fzospliti  13708  fzodisj  13710  elfzolem1  13721  elfzo0subge1  13722  elfzo0suble  13723  fzoaddel  13733  fzo0addelr  13735  elfzoextl  13737  elfzoext  13738  elincfzoext  13739  fzosubel  13740  fzoend  13773  ssfzo12  13775  fzoopth  13778  fzofzp1  13780  elfzo1elm1fzo0  13784  fzonfzoufzol  13786  elfznelfzob  13789  peano2fzor  13790  fzostep1  13799  modsumfzodifsn  13962  addmodlteq  13964  cshwidxm1  14825  cshimadifsn0  14849  fzomaxdiflem  15361  fzo0dvdseq  16342  fzocongeq  16343  addmodlteqALT  16344  efgsp1  19718  efgsres  19719  crctcshwlkn0lem2  29793  crctcshwlkn0lem3  29794  crctcshwlkn0lem5  29796  crctcshwlkn0lem6  29797  crctcshwlkn0  29803  crctcsh  29806  eucrctshift  30224  eucrct2eupth  30226  fzssfzo  34571  signsvfn  34614  dvnmul  45972  iblspltprt  46002  stoweidlem3  46032  fourierdlem12  46148  fourierdlem50  46185  fourierdlem64  46199  fourierdlem79  46214  ormkglobd  46904  natglobalincr  46906  submodlt  47379  iccpartiltu  47436  iccpartgt  47441  bgoldbtbndlem2  47820  gpgedgvtx1  48066