Theorem elfzoel2 13031

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 4299	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 13029	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 6518	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 7326	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 3043	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 498	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538   × cxp 5547  (class class class)co 7150  ℤcz 11975  ..^cfzo 13027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-neg 10867  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028

This theorem is referenced by:  elfzoelz  13032  elfzo2  13035  elfzole1  13040  elfzolt2  13041  elfzolt3  13042  elfzolt2b  13043  elfzolt3b  13044  fzonel  13045  elfzouz2  13046  fzonnsub  13056  fzoss1  13058  fzospliti  13063  fzodisj  13065  fzoaddel  13084  fzo0addelr  13086  elfzoext  13088  elincfzoext  13089  fzosubel  13090  fzoend  13122  ssfzo12  13124  fzofzp1  13128  elfzo1elm1fzo0  13132  fzonfzoufzol  13134  elfznelfzob  13137  peano2fzor  13138  fzostep1  13147  modsumfzodifsn  13306  addmodlteq  13308  cshwidxm1  14163  cshimadifsn0  14186  fzomaxdiflem  14696  fzo0dvdseq  15667  fzocongeq  15668  addmodlteqALT  15669  efgsp1  18857  efgsres  18858  crctcshwlkn0lem2  27583  crctcshwlkn0lem3  27584  crctcshwlkn0lem5  27586  crctcshwlkn0lem6  27587  crctcshwlkn0  27593  crctcsh  27596  eucrctshift  28016  eucrct2eupth  28018  fzssfzo  31804  signsvfn  31847  elfzop1le2  41549  elfzolem1  41582  dvnmul  42221  iblspltprt  42251  stoweidlem3  42282  fourierdlem12  42398  fourierdlem50  42435  fourierdlem64  42449  fourierdlem79  42464  fzoopth  43521  iccpartiltu  43576  iccpartgt  43581  bgoldbtbndlem2  43965