Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressiocsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressiocsup 45572
Description: If the supremum belongs to a set of reals, the set is a subset of the unbounded below, right-closed interval, with upper bound equal to the supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ressiocsup.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ressiocsup.s 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
ressiocsup.e (𝜑𝑆𝐴)
ressiocsup.5 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
ressiocsup (𝜑𝐴𝐼)

Proof of Theorem ressiocsup
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11319 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3 ressiocsup.s . . . . . 6 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
4 ressiocsup.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
5 ressxr 11306 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
74, 6sstrd 3993 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
98supxrcld 45117 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
103, 9eqeltrid 2844 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
117sselda 3982 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
124adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1412, 13sseldd 3983 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1514mnfltd 13167 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ < 𝑥)
16 supxrub 13367 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
178, 13, 16syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
183a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918eqcomd 2742 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝑆)
2017, 19breqtrd 5168 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
212, 10, 11, 15, 20eliocd 45525 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
22 ressiocsup.5 . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
2321, 22eleqtrrdi 2851 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐼)
2423ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
25 dfss3 3971 . 2 (𝐴𝐼 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
2624, 25sylibr 234 1 (𝜑𝐴𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wss 3950   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  supcsup 9481  cr 11155  -∞cmnf 11294  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  (,]cioc 13389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-ioc 13393
This theorem is referenced by:  pimdecfgtioc  46735  pimincfltioc  46736
  Copyright terms: Public domain W3C validator