Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressiocsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressiocsup 41984
 Description: If the supremum belongs to a set of reals, the set is a subset of the unbounded below, right-closed interval, with upper bound equal to the supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ressiocsup.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ressiocsup.s 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
ressiocsup.e (𝜑𝑆𝐴)
ressiocsup.5 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
ressiocsup (𝜑𝐴𝐼)

Proof of Theorem ressiocsup
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10675 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3 ressiocsup.s . . . . . 6 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
4 ressiocsup.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
5 ressxr 10662 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
74, 6sstrd 3953 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
87adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
98supxrcld 41530 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
103, 9eqeltrid 2916 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
117sselda 3943 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
124adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1412, 13sseldd 3944 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1514mnfltd 12497 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ < 𝑥)
16 supxrub 12695 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
178, 13, 16syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
183a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918eqcomd 2827 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝑆)
2017, 19breqtrd 5065 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
212, 10, 11, 15, 20eliocd 41937 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
22 ressiocsup.5 . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
2321, 22eleqtrrdi 2923 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐼)
2423ralrimiva 3170 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
25 dfss3 3932 . 2 (𝐴𝐼 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
2624, 25sylibr 237 1 (𝜑𝐴𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5039  (class class class)co 7130  supcsup 8880  ℝcr 10513  -∞cmnf 10650  ℝ*cxr 10651   < clt 10652   ≤ cle 10653  (,]cioc 12717 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-ioc 12721 This theorem is referenced by:  pimdecfgtioc  43143  pimincfltioc  43144
 Copyright terms: Public domain W3C validator