Theorem ressiocsup 46131

Description: If the supremum belongs to a set of reals, the set is a subset of the unbounded below, right-closed interval, with upper bound equal to the supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressiocsup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
ressiocsup.s	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
ressiocsup.e	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
ressiocsup.5	⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressiocsup	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Proof of Theorem ressiocsup

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11240	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3		ressiocsup.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
4		ressiocsup.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		ressxr 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
7	4, 6	sstrd 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
9	8	supxrcld 45686	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
10	3, 9	eqeltrid 2867	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
11	7	sselda 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
15	14	mnfltd 13127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < 𝑥)
16		supxrub 13328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
17	8, 13, 16	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
18	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < ))
19	18	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝑆)
20	17, 19	breqtrd 5127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑆)
21	2, 10, 11, 15, 20	eliocd 46084	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
22		ressiocsup.5	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
23	21, 22	eleqtrrdi 2874	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐼)
24	23	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
25		dfss3 3926	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐼)
26	24, 25	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5101  (class class class)co 7397  supcsup 9387  ℝcr 11073  -∞cmnf 11215  ℝ^*cxr 11216   < clt 11217   ≤ cle 11218  (,]cioc 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-sup 9389  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-ioc 13355

This theorem is referenced by:  pimdecfgtioc  47290  pimincfltioc  47291