Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressiocsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressiocsup 45001
Description: If the supremum belongs to a set of reals, the set is a subset of the unbounded below, right-closed interval, with upper bound equal to the supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ressiocsup.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ressiocsup.s 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
ressiocsup.e (𝜑𝑆𝐴)
ressiocsup.5 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
ressiocsup (𝜑𝐴𝐼)

Proof of Theorem ressiocsup
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11299 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3 ressiocsup.s . . . . . 6 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
4 ressiocsup.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
5 ressxr 11286 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
74, 6sstrd 3983 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
87adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
98supxrcld 44537 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
103, 9eqeltrid 2829 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
117sselda 3972 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
124adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1412, 13sseldd 3973 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1514mnfltd 13134 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ < 𝑥)
16 supxrub 13333 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
178, 13, 16syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
183a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918eqcomd 2731 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝑆)
2017, 19breqtrd 5169 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
212, 10, 11, 15, 20eliocd 44954 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
22 ressiocsup.5 . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
2321, 22eleqtrrdi 2836 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐼)
2423ralrimiva 3136 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
25 dfss3 3961 . 2 (𝐴𝐼 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
2624, 25sylibr 233 1 (𝜑𝐴𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  wss 3940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  supcsup 9461  cr 11135  -∞cmnf 11274  *cxr 11275   < clt 11276  cle 11277  (,]cioc 13355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-ioc 13359
This theorem is referenced by:  pimdecfgtioc  46165  pimincfltioc  46166
  Copyright terms: Public domain W3C validator